1、- 1 -南昌十中 20172018 学年上学期期末考试 高一数学试题 一 、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ,则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，所以 ，故选 D。2. 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选 B。3. 已知角 的终边上一点的坐标为( )，则角 的最小正值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以点 在第四象限又因为，所以角 的最小正值为 故应选 B考点：任意角的三角函数的定义4. 要得到 的图像, 需要将函
2、数 的图像（ ）A 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位- 2 -C. 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位【答案】A【解析】 ，所以是左移 个单位，故选 A。5. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，得 ，故选 C。6. 函数 的最小值和最大值分别为（ ）A. 3，1 B. 2，2 C. 3， D. 2，【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以当时， ；当 时， ，故选 C考点：三角函数的恒等变换及应用视频7. 下列四个式子中是恒等式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由和差公式可知，A、B、C 都错误，正确。故选 D。8. 已知 （ ）A.
3、3 B. 3 C. 1 D. 1【答案】B- 3 -【解析】 ， ，所以 ，所以当 时取最小值，故选 B。9. 已知向量 ，若 与 垂直，则的值等于（ ）A. B. C. 6 D. 2【答案】B所以 ，则 ，故选 B。10. 设 为 所在平面内一点，若 ，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选 A。点睛：本题考查平面向量的线性表示。利用向量加法的三角形法则，以及题目条件，得到，再利用向量减法的三角形法则， ，代入得到答案，11. 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由 4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角
4、为，大正方形的面积是 ，小正方形的面积是 ,则 的值等于（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】由题易知，直角三角形的直角边边长为 ，所以 ，- 4 -所以 ，故选 B。点睛：本题考查三角函数的实际应用。根据会标的具体条件，利用方程思想，求得小直角三角形的直角边长，则得到 ，解得答案。主要考查学生的实际应用能力。12. 已知 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 的最小值是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图， ，设 ，所以 ，所以最小值为 。故选 B。点睛：本题考查平面向量的最值问题。采取建立平面直角坐标系，根据条件求出对应向量的坐标，将几
5、何问题转化为代数问题，利用数形结合的思想解决平面向量问题。坐标法是解决平面向量数量积问题的常用方法。第 II 卷（非选择题, 共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）13. 已知扇形半径为 8, 弧长为 12, 则扇形面积是_【答案】【解析】 。14. 已知函数 ，若 ，则 _- 5 -【答案】【解析】 ，得 ； ，得 （舍） ，所以 。15. 已知函数 =_【答案】2【解析】 ，所以 。点睛：本题考查函数对称性的应用。由题目问题可以猜想 为定值，所以只需代入计算，得 。函数对称性的问题要大胆猜想，小心求证。.【答案】【解析】如图，若 时
6、，可知 与 有 9 个交点，所以，解得的取值范围是 。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知 ，且 ，求 的值.- 6 -【答案】【解析】试题分析：利用角度的整体思想， ，展开计算。试题解析：18. 已知向量 .(1)求向量 与 夹角的余弦值；(2)若向量 与 平行，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用数量积的公式 求解；（2）利用平面向量平行的坐标计算公式，得 ，解得答案。试题解析：（1）因为 ，所以 所以 （2）因为 ，所以 因为向量 与 平行，所以 解得： - 7 -19. 已知函数 . （1）求 的定义
7、域；（2）若角 在第一象限且 ，求 的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由分母部位 0，得 ；（2）化简得，由条件计算，得 。试题解析：（1）由 ，得 ， ;故 的定义域为 （2）由已知条件得 ； 从而 20. 已知 的图象上相邻两对称轴的距离为 .（1）若 ，求 的递增区间；（2）若 时， ，求的值.【答案】(1) 增区间是 k , k , kZ (2) 【解析】试题分析：（1）由题意， ，得增区间是 k , k , kZ；（2）sin(2x ) , 1，得 。试题解析：- 8 -已知 由 ，则 T ， w2（1）令 2 k2x 2 k 则 kx k故 f(x)的增区间是
8、k , k , kZ（2）当 x0, 时， 2x sin(2x ) , 1 21. 已知： ， 设函数 求：（1） 的最小正周期；（2）（3）若 ，且 ，求 【答案】(1) (2) （kZ）(3)【解析】试题分析：（1）解：由题意， ，（1）函数 的最小正周期为 ；（2） ，得 ，所以对称中心是 ；（3）由题意， ，得 或 ，所以 或 。点睛：本题考查三角函数的恒等关系的综合应用。本题中，由向量的数量积，同时利用三角函数化简的基本方法，得到 ，利用三角函数的性质，求出周期、对称中心等。22. 已知函数 ， （ ）是偶函数- 9 -（1）求 的值；（2）设函数 ，其中 若函数 与 的图象有且只有
9、一个交点，求的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由 ；（2）由已知可得方程只有一个解 只有一个解，又，设 ，则有关于的方程，然后对 、 和 分类讨论得：实数的取值范围是 或 .试题解析：（1）函数 是偶函数， 恒成立， ，则 .（2） ，函数 与 的图象有且只有一个公共点，即方程 只有一个解，由已知得 ， 方程等价于 ，设 ，则有关于的方程 ，若 ，即 ，则需关于的方程 只有一个大于 的正数解，设 ， ， ，恰好有一个大于 的正解， 满足题意；若 ，即 时，解得 ，不满足题意；- 10 -若 ，即 时，由 ，得 或 ，当 时，则需关于的方程 只有一个小于 的整数解，解得 满足题意；当 时， 不满足题意，综上所述，实数的取值范围是 或 .考点：1、函数的奇偶性；2、函数与方程.【方法点晴】本题考查函数的奇偶、函数与方程，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.第一小题由.第二小题由已知可得方程 只有一个解 只有一个解，又 ，设 ，则有关于的方程 ，然后对 、 和 ，分类讨论得：实数的取值范围是或 .
