1、- 1 -20172018 高一下学期 5月考数学（文）试卷一、选择题（本大题共 12小题，共 60.0分）1.函数 的定义域是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不等式 的解集就是函数的定义域.【详解】不等式 的解为 或 .故函数的定义域为 ，故选 D.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号 （ ， 为偶数）中， ；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为 1.注意，定义域一般写成集合或区间的形式.2.数列 的前 n项和为 ，若 ，则 的值为A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033【答案】A【解析】
2、【分析】利用 计算 .【详解】 ，故选 A.【点睛】数列的通项 与前 项和 的关系式是 ，我们常利用这个关系式实现 与 之间的相互转化.- 2 -3.有下列调查方式：（1）学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽 2人进行座谈；（2）一次数学竞赛中，某班有 15人在 100分以上，35 人在 分，10 人低于 90分 现在从中抽取 12人座谈了解情况；（3）运动会中工作人员为参加 400m比赛的 6名同学公平安排跑道就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为A. 分层抽样，系统抽样，简单随机抽样 B. 系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C. 分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D. 系统抽样，
3、分层抽样，简单随机抽样【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样，系统抽样，简单随机抽样的定义进行判断【详解】 （1）是系统抽样，因为各班人数相等，每班抽取 2人；（2）是分层抽样，因为 60人中分数有明显差异；（3）是简单随机抽样，因为 6名同学中每个同学都是等可能地被安排在相应的赛道上，故选 D【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；（2）系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列） ；（3）分成抽样就是按比例抽取4.如果 ，那么下面一定成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐个检验即可
4、.【详解】因为 ，所以 ，故 A错；又当 时， ，故 B错；，因为 ，故 ，故 ，所以 C错；- 3 -，因为 ，故 ，而 ，故 ，所以 D正确，故选 D.【点睛】本题考查不等式性质，属于基础题.5.已知 中， ，则 B等于A. B. 或 C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理计算 ，注意有两个解.【详解】由正弦定理得 ，故 ，所以 ，又 ，故 或 .所以选 D.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径） ，一般地，知道其中的三个量（除三个角外） ，可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也
5、可以用余弦定理求第三条边） ；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.6.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 A. 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B. 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C. 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D. 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【答案】C- 4 -【解析】【分析】从条形图上可以估算平均数、中位数，也可以直观地得到两者的方差的大小关系和极差的大小关系.【详解】从条形图上可以看出甲的平均成绩为 ，而乙的平均成绩大约为 5，故 A错；甲的成绩的中位数为 6，乙的成绩的中位数为 5，故 B错；甲的成绩的方差为 0，乙的成绩的
6、方差不为 0（有波动） ，故 C正确；甲的成绩的极差为 0，乙的成绩的极差为 4，故 D错误.故选 C.【点睛】本题考查统计中条形图，要求能从条形图中直观感知平均数、中位数、方差和极差等统计数据的大小关系，属于基本题.7.执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出的 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】流程图的功能是求数列 的前 项和，可用裂项相消法求和 .【详解】执行第一次判断时， ， ；- 5 -执行第二次判断时， ， ；执行第三次判断时， ， ，此时终止循环.故选 B.【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.8
7、.已知实数 a,b满足 a+2b=1，则 的最小值为A. B. C. 4 D. 【答案】B【解析】【分析】因为 ，故可以利用不等式求最小值.【详解】因为 ，当且仅当 时等号成立，故选 B.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等” ，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.9.已知变量 之间的线性回归方程为 ，且变量 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是A. 变量 之间呈现负相关关系 B. C. 可以预测，当 x=11时，y 约为 2.6 D. 由表格数据知，该回归直线必过点【答案】B
8、【解析】【分析】根据线性回归方程可以知道 A、C 正确，而线性回归方程所在直线必过 ，故 D也正确，但是 时，可以预测 ，它不是 4，从而可得选项.- 6 -【详解】由 得 ，故 呈负相关关系，故 A正确；当 时， 的预测值为 ，故 B错误；当 时， 的预测值为 ，故 C正确；，故 ，故回归直线过 ，故 D正确.综上，选 B.【点睛】线性回归方程 中， 的正负体现了 是正相关还是负相关，并且我们可以利用该方程预测数据，注意线性回归方程所在直线必过 .10.在等差数列 中，若 是方程 的两根，则 的前 11项的和为A. 22 B. C. D. 11【答案】D【解析】【分析】前 项和 ，但 ，从而
9、可得 .【详解】因为 是等差数列，所以 .又 ，故 ，所以 ，选 D.【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：（1）若 ，则 ；（2） 且 ；（3） 且 为等差数列；（4） 为等差数列.11.在 中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，且 若 ，则 的形状是A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C- 7 -【解析】【分析】利用正弦定理可以得到 ，从而 ，故 ，故可判断 的形状.【详解】因为 ，所以 ，也就是 ，所以 ，从而 ，故 ， 为等边三角形.故选 C.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边或角的关系，那么我们可以
10、利用正弦定理或余弦定理把这种关系式转化为角的三角函数关系式或边的关系式.12.已知函数 的值域是 R，则 m 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因为值域是 ，故 可取 的每一个正数，从而可以得到 的取值范围.【详解】令 ，则 ，因为值域为 ，故 可取 的每一个正数，所以 ，故 ，故选 D.【点睛】与对数有关的复合函数 的性质讨论，我们可把该函数分解为两个简单函数（外函数）及 （内函数） ，通过讨论外函数的性质得到内函数 的性质，也可以通过讨论内函数的性质得到外函数的性质.二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分）13.若数列 满足 ，则 的前 6项和等于_ 【答
11、案】126【解析】【分析】- 8 -可判断 为等比数列，从而可求和.【详解】因为 ，故 ，所以 ，故 为等比数列，所以前 6项和为 ，故填 【点睛】一般地，判断一个数列是等比数列，可从两个角度去考虑：（1）证明 ；（2）证明： 且 .14.某班级有 50名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50名学生中抽出 10名学生，将这 50名学生随机编号 号，并分组，第一组 号，第二组 号， ，第十组 号，若在第三组中抽得号码为 12的学生，则在第八组中抽得号码为_ 的学生【答案】37【解析】【分析】系统抽样时，各组抽得的号码是公差为 5的等差数列，故可求第八组抽得的号码【详解】设第 组的号码记为 ，依据
12、系统抽样，则有 是公差为 5的等差数列又 ，故 ，故填 【点睛】本题考察系统抽样，为基础题，注意系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列） 15.如果框图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中整数 的值为_【答案】6【解析】，判断是， ，判断是 ，判断是， ，判断是，判断否，输出 ，故填 .- 9 -16.设 ，若 ，则 的最小值为_ 【答案】9【解析】【分析】注意到 ，可把 变形为 ，展开后可用基本不等式求最小值【详解】因为 ，所以，因 ，故 ，又 ，由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 9，填 9【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”
13、，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.三、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分）17.某车间 20名工人年龄数据如下表： 年龄 岁 工人数 人19 128 329 330 531 432 340 1合计 20- 10 -求这 20名工人年龄的众数与极差；以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20名工人年龄的茎叶图；（3）求这 20名工人年龄的方差.【答案】(1)30,21；(2)见解析（3）30,12.6【解析】【分析】（1）根据表中数据可得众数与极差.（2）根据茎叶图的制作方法作出茎叶图.（3）根据方差
14、的公式计算方差.【详解】 这这 20名工人年龄的众数为 30，极差为 ；茎叶图如下：年龄的平均数为： 这 20名工人年龄的方差为【点睛】统计中常有众数、中位数、平均数等，其中众数指出现次数最多的数，中位数指按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数（如果数的数目是偶数个，则取中间两数的均值） ，解题中注意区分18.若不等式 的解集是 试求 的值；求不等式 的解集【答案】(1) (2)【解析】【分析】- 11 -（1）由解集得到方程 的根，利用韦达定理可求 （2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集【详解】 （1）因为不等式 的解集是 所以 且 的解是 和 故 ，解得
15、（2）由（1）得 ，整理得到 即 ，解得 ，故原不等式的解集为 【点睛】 （1）一元二次不等式的解集的端点是对应的方程的根，也是对应的二次函数图像与轴交点的横坐标，解题中注意利用这个关系来实现三者之间的转化（2）一般地， 等价于 ，而 则等价于 ，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.19.从某小学随机抽取 100名学生，将他们的身高 单位：厘米 数据绘成频率分布直方图 如图 由图中数据求 a的值； 若要从身高在 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为多少？【答案】 （） （）2 人【解析】【分析】- 12 -（）利用各矩形面积之和为
16、 1可求出 （）出三组的频率之比为 ，故可得 内的学生中选取的人数【详解】 （）由直方图得 ，解得 ，（）身高在 三组内的学生人数比为 ，故从身高在 内的学生中选取的人数 人【点睛】 （1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为 1，注意直方图中，各矩形的高是（2）分层抽样就是按比例抽取.20.已知等比数列 的各项均为正数， 求数列 的通项公式； 设 证明： 为等差数列，并求 的前 n项和 【答案】 （） （）见解析，【解析】【分析】（1）利用 及 求得 ，从而得到通项公式（2）利用定义证明 等差数列，并利用公式求和【详解】 （）设等比数列 的公比为 ，依题意 由 得 ，解得 故 （）证明：由（
17、）得 故 ，所以 是首项为 1，公差为 的等差数列，所以 【点睛】一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明 ；- 13 -（2）证明： .21.已知在 中， 其中角 所对的边分别为 求角 A的大小；若 ，求 的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到边的二次关系式，从而得到 的值，也就得到了 的大小（2）利用正弦定理可得 ，利用 以及三角变换得到 ，利用 的范围可得 的取值范围【详解】 （1）由正弦定理得 ，整理得到，故 又 ，故 ,（2）因为 ， ，所以 ，故因为 ，所以 ，故 ，故 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我
18、们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.22.已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在上是增函数- 14 -若 ，函数在 上的最小值为 4，求 a的值；对于 中的函数在区间 A上的值域是 ，求区间长度最大的 注：区间长度 区间的右端点 区间的左断点 ；若 中函数的定义域是 解不等式 【答案】(1) (2) (3) 或【解析】【分析】（1）单调增区间和减区间是以 作为分界点，从而讨论 的大小关系后可得最小值，再利用最小值为 求出 （2）因为 且其最小值为 ，故 ， 在 的左端点或右端点取最大值，故可得左端点或右端点的值，从而可求出区间长度最长的 （3）利用函数的单调性得到关于 的不等式组，解之即得解集【详解】 （1）由题意得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时，即 时函数在 处取得最小值，故 ，解得 ，当 时，即 时，函数在 处取得最小值，故 ，解得 不符合题意，舍去综上可得 （2）由（1）得 ，又 时函数取得最小值 ，令 ，则 ，解得 或 ，又 ，故区间长度最大的 （3）由（1）知函数在 上单调递增，故原不等式等价于 ，解得 或 ，故不等式的解集 【点睛】函数 常称为“双勾函数” ，它在 ， 上是减函数，在- 15 -， 上是增函数，注意 不是双勾函数，该函数在 上是增函数，在 上是减函数
