1、- 1 -南昌二中 20172018 学年度下学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确每小题 5 分，共 60 分）1.1.设全集 U1,3,5,7 ，集合 M1，|a5| ，M U， M5，7 ，则实数 a 的值为 ( )A. 2 或8 B. 8 或2 C. 2 或 8 D. 2 或 8【答案】D【解析】分析：利用全集 ，由 ，列方程可求 的值.详解：由 ，且 ，又集合 ，实数 的值为 或 ，故选 D.点睛：本题考查补集的定义与应用，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关
2、系.2.2.已知命题 ，则命题 的否定为 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.详解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 的否定为 ，故选 D.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.3.函数 ，则 的定义域为 ( )- 2 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意知， ， 的定义域是 ，故： 且 ，解得或 ，故选
3、 B考点：对数的运算性质4.4.已知幂函数 的图象关于 y 轴对称，且在 上是减函数，则 （ ）A. - B. 1 或 2 C. 1 D. 2【答案】C【解析】分析：由 为偶数，且 ，即可得结果.详解： 幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，为偶数，且 ，解得 ，故选 C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.5.5.方程 至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】试题分析： 时，显然方程没有等于零的根若方程有两异号实根，则 ；- 3 -若方程有两个负的实根，则必有 若 时，可得 也适合题意综上知，若
4、方程至少有一个负实根，则 反之，若 ，则方程至少有一个负的实根，因此，关于 的方程 至少有一负的实根的充要条件是 故答案为：C考点：充要条件，一元二次方程根的分布6.6.已知定义域为 R 的函数 满足：对任意实数 有 ，且 ，若，则 ( )A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】分析：令 ，可求得 ，再令 ，可求得 ，再对 均赋值 ，即可求得 .详解： ，令 ，得 ，又 ，再令 ，得 ，令 ，得 ，故选 B.点睛：本题考查利用赋值法求函数值，正确赋值是解题的关键，属于中档题. 7.7.已知 AB1，2，3，4，5 ，从集合 A 到 B 的映射 满足： ； 的象有且只有 2 个，求适合
5、条件的映射 的个数为 ( )A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【答案】D- 4 -【解析】分析：将元素 按从小到大的顺序排列，然后按照 元素在 中的象有且只有两个进行讨论.详解：将元素 按从小到大的顺序排列，因恰有两个象，将 元素分成两组，从小到大排列，有 一组；一组；一组；一组，中选两个元素作象，共有 种选法，中每组第一个对应集合 中的较小者，适合条件的映射共有 个，故选 D. 点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（ ）分清象与原象的概念；（ ）明确对应关系.8.8.函数 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用函数的解析式，判断 大
6、于 时函数值的符号，以及 小于 时函数值的符号，对比选项排除即可.详解：当 时，函数 ，排除选项 ；- 5 -当 时，函数 ，排除选项 ，故选 B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9.9.函数 是定义在 R 上的奇函数，函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的值为（ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. 不能确定【答案】
7、A【解析】试题分析：函数 是定义在 上的奇函数， ，令 代入可得 ，函数 关于 对称，由函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，函数 关于 对称从而有 ，故选 A考点：奇偶函数图象的对称性【思路点睛】利用奇函数的定义可把已知转化为 ，从而可得函数 关于对称，函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 关于 对称，代入即可求出结果10.10.若函数 在区间 内单调递增，则 a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 由 ，可得 ， 函数在上单调递增，在 上单调递减， 当 时，函数 在 上单调递减，不合题意，当 时，函数 在 上单调递增， 函数- 6 -，在区间 内单调
8、递增， ， ，a 的取值范围是 ，故选 B.11.11.对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数，是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点” ；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数 ，则 ( )A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】C【解析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点 对称，即 ，利用倒序相加法即可得到结论.详解：函数 ，函数的导数 ， ，由 得 ，解得 ，而 ，故函数 关于点 对称，故设 ，则 ，两式相加得 ，则 ，故选 C.点睛：本题主要考查初等函数的求导公
9、式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.12.12.已知函数 ，函数 有四个不同的零点 ，且满足： ， 则 的取值范围是（ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：结合函数图象可得 ， ， 可化为，换元后利用单调性求解即可.详解：作出 的解析式如图所示：根据二次函数的对称性知 ，且 ，- 8 -因为 所以当 时，函数等号成立，又因为 在 递减，在 递增，所以 ，所以 的取值范围是 ，故选 D.点睛：本题考查函数的图象与性质，函数的零点以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关
10、系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13.13.已知条件 ： ；条件 ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】分析：条件 化为 ， 化为 ，由 是 的必要不充分条件，根据包含关系列不等式求解即可.详解：条件 ，化为 ，解得 ，解得 ，若 是 的必要不充分条件，则
11、是 的充分不必要条件，解得 ，则实数 的取值范围是 ，故答案为 .- 9 -点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法以及充分条件与必要条件的定义，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.14.14.已知函数 ，对任意 ，都有 ，则_【答案】20【解析】分析：令 ，知 ， ，从而可得 ，进而可得结果.详解：令 ，知 ， ， ，故答案为 .点睛：本题主要考查赋值法求函数的解析式，令 ，求出 的值，从而求出函数解析式，是解题的关键，属于中档题.15.15.已知函数 ，则函数 的值域为_【答案】【解析】【分析】化为 ， 时， ， 时， ，从而可得结果.【详解】 ,当 时，
12、 ，当 时， ，函数 ，则函数 的值域为 ,故答案为 .【点睛】本题考查函数的值域，属于中档题. 求函数值域的常见方法有配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参- 10 -数的范围变化；不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等” ；单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.16.16.设 是定义
13、在 R 上的奇函数，在 上单调递减，且 ，给出下列四个结论： ； 是以 2 为周期的函数； 在 上单调递减； 为奇函数.其中正确命题序号为_【答案】【解析】分析：由 ，用赋值法求解即可；由奇函数和 ，可得 ；可得函数 关于 对称，可得 在 上单调递增；结合，可得 为奇函数.详解： 函数 是定义在 上的奇函数， ，又 ， ，正确. 奇函数和 ， ， 函数 的周期是 ,正确. 是奇函数, , ,即函数 关于 对称，因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，不正确. 是奇函数, 函数 的周期是 ,所以 ,所以 是奇函数，正确, 故答案为.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单
14、调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输” ，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力- 11 -突破较难的命题.三、解答题（共 70 分）17.17.已知集合 P ，函数 的定义域为 Q.（）若 P Q ，求实数 的范围；（）若方程 在 内有解，求实数 的范围.【答案】(1) （2）【解析】分析：（1）只需 即可；（2） 在 有解，即求 ， 的范围就是函数 的值域，求出函数值域即可 .详解：（1）P ， P Q ， 不
15、等式 在 上有解，由得 ，而 ， （2） 在 有解，即求 的值域，点睛： （1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值，若是存在大于函数的值成立，一般令其大于函数的最小值；（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性.18.18.如图，三棱柱 中，侧棱 平面 ， 为等腰直角三角形，且 分别是 的中点- 12 -（）求证： 平面 ；（）求锐二面角 的余弦值【答案】 （）见解析；（） ；【解析】试题分析：（）本题考查线面垂直的判定定理可由勾股定理证明 ；另外平面 即可；（）过程为作-证-算根据二面
16、角的定义找到角，注意不要忽略了证明的过程试题解析：（）证明：由条件知 平面 ，令，经计算得，即 ，又因为平面 ；（）过 作 ，连结由已知得平面就是二面角 的平面角经计算得 ，考点：1线面垂直的判定定理；2二面角；19.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔 50 万元.保险公司把职工从事的所有岗位共分为 、 、 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.- 13 -（）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的 20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（）某企业共有职工 20000 人，
17、从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.【答案】 （）见解析;（） 元.【解析】试题分析：（I）设工种 每份保单的保费，则需赔付时，收入为 ，根据概率分布可计算出保费的期望值为 ，令 解得 .同理可求得工种 保费的期望值；（II）按照每个工种的人数计算出份数然后乘以（1）得到的期望值，即为总的利润.试题解析：（）设工种 的每份保单保费为 元，设保险公司每单的收益为随机变量 ，则 的分布列为保险公司期望收益为 根据规则解得 元，设工种 的每份保单保费为 元，赔付金期望值为 元，则保险公司期望利
18、润为元，根据规则 ，解得 元，设工种 的每份保单保费为 元，赔付金期望值为 元，则保险公司期望利润为元，根据规则 ，解得 元.- 14 -（）购买 类产品的份数为 份，购买 类产品的份数为 份，购买 类产品的份数为 份，企业支付的总保费为 元，保险公司在这宗交易中的期望利润为 元.20.20.已知二次函数 ，设方程 有两个实根 （）如果 ，设函数 的图象的对称轴为 ，求证： ；（）如果 ，且 的两实根相差为 2，求实数 的取值范围.【答案】(1)见解析（2）【解析】分析：（1）有 转化为 有两根：一根在 与 之间，另一根小于 ，利用一元二次方程的根分布可证；（2）先有 ，知两根同号，在分两根均
19、为正和两根均为负两种情况的讨论，再利用两个之和与两根之积 列不等式可求 的取值范围.详解：（1）设 ，且 ，则由条件 x12 x24得 （2） ，又- 15 -或 综上：点睛：利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解；二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解，此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想.21.21.已知函数 的图象关于原点对称.（）求 ， 的值；（）若函数 在 内存在零点，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（）题意说明函数 是奇函数，因此有 恒成立，由恒等式知识可得关于的方程
20、组，从而可解得 ；（）把函数 化简得 ，这样问题转化为方程 在 内有解，也即 在 内有解，只要作为函数，求出函数的值域即得试题解析：（）函数 的图象关于原点对称，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，解得 ， ；（）由 ，由题设知 在内有解，即方程 在 内有解.- 16 -在 内递增，得 .所以当 时，函数 在 内存在零点.22.22.（本小题满分 12 分）已知 ，函数 （I）当 为何值时， 取得最大值？证明你的结论；（II） 设 在 上是单调函数，求 的取值范围；（III）设 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围【答案】()答案见解析；() ；() .【解析】试题分析：（ I）求得 f(x)
21、=-x2+2(a-1） x+2aex，取得- x2+2(a-1)x+2a=0 的根，即可得到数列的单调性，进而求解函数的最大值.（ II）由（ I）知，要使得在-1,1上单调函数，则： ，即可求解 a 的取值范围；（ III)由 ，分类参数得 ，构造新函数 （ x1)，利用导数求得函数 h(x)的单调性和最值，即得到 a 的取值范围.试题解析：（ I） ， ， ，由 得 ，则 ， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，又 时 ，且 在 上单调递增， ，- 17 - 有最大值，当 时取最大值（ II）由（ I）知：，或 ，或 ；（ III）当 x1 时 f(x) g(x)，即（- x2+2ax)ex ，令 ，则 ， h(x)在 上单调递增， x1 时 h(x) h(1)=1，又 a0 所以 a 的取值范围是 .点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用
