1、1提分专练(六) 以平行四边形为背景的中档计算题与证明题|类型 1| 四边形综合运用问题1.2017酒泉 如图 T6-1,矩形 ABCD 中, AB=6,BC=4,过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB,CD 边于点 E,F.(1)求证:四边形 BEDF 是平行四边形;(2)当四边形 BEDF 是菱形时,求 EF 的长 .图 T6-12.阅读下面材料:在数学课上老师请同学们思考如下问题:如图 T6-3,我们把一个四边形 ABCD 的四边中点 E,F,G,H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗?小敏在思考问题时,有如下思路:连接 AC,图 T6-2结合小敏的思路作答:(1)
2、若只改变图中四边形 ABCD 的形状(如图),则四边形 EFGH 还是平行四边形吗?说明理由 .参考小敏思考问题的方法,解决问题:(2)如图,在(1)的条件下,若连接 AC,BD.2当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是菱形?写出结论并证明 .当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是矩形?直接写出结论 .图 T6-3|类型 2| 四边形的折叠问题3.2018宁夏 将一张矩形纸片按如图 T6-4 所示折叠,若1 =40,则2 的度数是 ( )图 T6-4A.40 B.50 C.60 D.704.2018贵港 如图 T6-5,将矩形 ABCD 折叠,折痕为 EF,
3、BC 的对应边 BC与 CD 交于点 M,若 BMD=50,则 BEF 的度数为 . 图 T6-55.如图 T6-6,矩形 ABCD 中, ABAD,把矩形沿对角线 AC 所在直线折叠,使点 B 落在点 E 处, AE 交 CD 于点 F,连接 DE.(1)求证: ADE CED;(2)求证: DEF 是等腰三角形 .3图 T6-66.2014淮安 如图 T6-7,在 ABC 中, AD 平分 BAC,将 ABC 折叠,使点 A 与点 D 重合,展开后折痕分别交 AB,AC 于点E,F,连接 DE,DF.求证:四边形 AEDF 是菱形 .图 T6-747.如图 T6-8,在矩形纸片 ABCD
4、中,已知 AB=1,BC= ,点 E 在边 CD 上移动,连接 AE,将四边形 ABCE 沿直线 AE 折叠,得3到四边形 ABCE,点 B,C 的对应点分别为点 B,C.(1)当 BC恰好经过点 D 时(如图),求线段 CE 的长;(2)若 BC分别交边 AD,CD 于点 F,G,且 DAE=22.5(如图),求 DFG 的面积;(3)在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中,求点 C运动的路径长 .图 T6-858.2017威海 如图 T6-9,四边形 ABCD 为一个矩形纸片, AB=3,BC=2,动点 P 自 D 点出发沿 DC 方向运动至 C 点后停止 . ADP 以直线 AP 为
5、轴翻折,点 D 落到点 D1的位置 .设 DP=x, AD1P 与原纸片重叠部分的面积为 y.(1)当 x 为何值时,直线 AD1过点 C?(2)当 x 为何值时,直线 AD1过 BC 的中点 E?(3)求出 y 与 x 的函数关系式 .图 T6-9|类型 3| 四边形的平移、旋转问题9.问题:如图 T6-10,点 E,F 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上, EAF=45,试判断 BE,EF,FD 之间的数量关系 .【发现证明】小聪把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG,从而发现 EF=BE+FD,请你利用图证明上述结论 .【类比引申】如图,四边形 ABCD 中, BAD
6、90, AB=AD, B+ D=180,点 E,F 分别在边 BC,CD 上,则当 EAF 与 BAD 满足 关系时,仍有 EF=BE+FD. 【探究应用】如图 ,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形 ABCD.已知 AB=AD=80 米, B=60, ADC=120, BAD6=150,道路 BC,CD 上分别有景点 E,F,且 AE AD,DF=40( -1)米,现要在 E,F 之间修一条笔直道路,求这条道路 EF3的长(结果取整数,参考数据: 1 .41, 1 .73).2 3图 T6-10参考答案1.解:(1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, O 是 BD 的中点, AB
7、DC,OB=OD, OBE= ODF,又 BOE= DOF, BOE DOF(ASA), EO=FO,四边形 BEDF 是平行四边形 .(2)当四边形 BEDF 是菱形时,设 BE=x 则 DE=x,AE=6-x,在 Rt ADE 中, DE2=AD2+AE2, x2=42+(6-x)2,7 x= ,133 S 菱形 BEDF=BEAD= 4= = BDEF,133 523 12又 BD= = =2 ,2+2 62+42 13 2 EF= , EF= .12 13 523 41332.解:(1)四边形 EFGH 还是平行四边形,理由如下:连接 AC, E,F 分别是 AB,BC 的中点, EF
8、 AC,EF= AC.12 G,H 分别是 CD,AD 的中点, GH AC,GH= AC,12 EF GH,EF=GH,四边形 EFGH 是平行四边形 .(2) 当 AC=BD 时,四边形 EFGH 是菱形,理由如下:由(1)可知四边形 EFGH 是平行四边形,当 AC=BD 时, FG= BD,EF= AC,12 12 FG=EF,四边形 EFGH 是菱形 . 当 AC BD 时,四边形 EFGH 是矩形 .3.D 解析 如图,易知 23 =1 +180=220,从而3 =110,又由平行线的性质,得2 +3 =180,进而2 =70,故选 D.84.70 5.证明:(1)四边形 ABCD
9、 是矩形, AD=BC,AB=CD.由折叠的性质可得: BC=CE,AB=AE, AD=CE,AE=CD.在 ADE 和 CED 中, =,=,=, ADE CED(SSS).(2)由(1)得 ADE CED, DEA= EDC,即 DEF= EDF, EF=DF, DEF 是等腰三角形 .6.证明:由折叠可知 AE=ED,AF=DF,1 =2,3 =4 .又 AD 平分 BAC,1 =3 .1 =2 =3 =4, AE DF,AF ED,四边形 AEDF 为平行四边形,又 AE=ED,四边形 AEDF 为菱形 .7.解:(1)由折叠得, B= B=90,AB=AB=1,9BC=BC= ,CE
10、=CE,3由勾股定理得, BD= = = ,所以 DC= - ,2-2 (3)2-12 2 3 2因为 ADE=90,所以 ADB+ EDC=90,又因为 EDC+ DEC=90,所以 ADB= DEC,又 B= C=90,所以 ABD DCE,所以 = ,即 = , 13- 2 2所以 CE=CE= -2.6(2) BAD= B= D=90, DAE=22.5, BAE=90-22.5=67.5, BAF=67.5-22.5=45, BAF= BFA=45, DFG= AFB= DGF=45, DF=FG.在 Rt ABF 中, AB=FB=1, AF= AB= , DF=DG= - ,2
11、2 3 2 S DFG= ( - )2= - .12 3 2 52 6(3)如图,点 C 运动的路径长为 的长,在 Rt ADC 中,tan DAC= = ,33 DAC=30,AC=2CD=2. CAD= DAC=30, CAC=60,10 的长 = = . 602180238.解:(1)如图 ,由题意得, ADP AD1P. AD1=AD=2,PD=PD1=x, PDA= PD1A=90.直线 AD1过点 C, PD1 AC.在 Rt ABC 中, AB=3,BC=2, AC= = ,CD1= -2.22+32 13 13在 Rt PCD1中, PC2=P +C ,21 21即(3 -x)
12、2=x2+( -2)2,13解得 x= .213-43当 x= 时,直线 AD1过点 C.213-43(2)如图 ,连接 PE. E 为 BC 中点, BE=CE=1.在 Rt ABE 中,AE= = .2+2 10 AD1=AD=2,PD=PD1=x, D1E= -2,PC=3-x.10在 Rt PD1E 和 Rt PCE 中,11x2+( -2)2=(3-x)2+12,解得 x= .10210-23当 x= 时,直线 AD1过 BC 的中点 E.210-23(3)如图 ,当 0 x2 时, y=x.如图 ,当 2x3 时,点 D1在矩形外部, PD1与 AB 交于点 F. AB CD,1
13、=2 .1 =3,2 =3, FP=FA.作 PG AB,垂足为点 G,设 FP=FA=a,由题意得, AG=DP=x,FG=x-a.在 Rt PFG 中,由勾股定理,得( x-a)2+22=a2,解得 a= , y= 2 = .4+22 12 4+22 2+42综上所述,当 0 x2 时, y=x;当 2x3 时, y= .2+429.解析 【发现证明】 根据旋转的性质可以得到 AE=AG,BE=DG, B= ADG=90, EAG=90,再根据“SAS”证明AFG AFE 可得 EF=GF,由此证得结论 .【类比引申】 根据上面的特殊情况中 EAF= BAD,猜想一般情况下也应满足 EAF
14、= BAD 才能得到结论,证明过程12 12与上面类似 .【探究应用】 连接 AF.要运用这个几何模型必须先证明 EAF=75.过点 A 作 AH CD 于点 H,解两个直角三角形Rt AHD 和 Rt AHF 来得以实现 .解:【发现证明】 证明:由旋转可得 AE=AG,BE=DG, B= ADG=90, EAG= BAD=90.12四边形 ABCD 为正方形, ADC=90, ADC+ ADG=180, G,D,C 三点共线 . EAF=45, GAF=45, GAF= FAE.又 AF=AF, AFG AFE(SAS), GF=EF. GF=GD+DF, EF=BE+DF.【类比引申】
15、EAF= BAD12理由如下:如图 ,将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 BAD 的度数至 ADG,使 AB 与 AD 重合 .由旋转可得 AE=AG,BE=DG, B= ADG, BAE= DAG. B+ ADC=180, ADC+ ADG=180, G,D,C 三点共线 . BAE= DAG, BAD= EAG. EAF= BAD, GAF= FAE.12又 AF=AF, AFG AFE(SAS), GF=EF. GF=GD+DF, EF=BE+DF.故答案为 EAF= BAD.12【探究应用】 BAD=150, DAE=90, BAE=60.13又 B=60, ABE 是等边三角形, BE=AB=80.如图 ,连接 AF,过点 A 作 AH CD 交 CD 的延长线于点 H.在 Rt AHD 中, ADH=180- ADC=60,AD=80, HAD=30,HD= AD=40,AH= =40 .12 2-2 3 DF=40( -1),3 HF=HD+DF=40+40( -1)=40 ,3 3在 Rt AHF 中, AH=HF, HAF=45, DAF=15, EAF=90-15=75, EAF= BAD.12运用上面的结论可得 EF=BE+DF=80+40( -1)=40+40 109 .即这条道路 EF 的长约为 109 米 .3 3
