1、1提分专练(四) 方程、不等式与函数的综合|类型 1| 函数与方程1.2018黄冈 已知直线 l:y=kx+1 与抛物线 y=x2-4x.(1)求证:直线 l 与该抛物线总有两个交点;(2)设直线 l 与该抛物线的两交点为 A,B,O 为原点,当 k=-2 时,求 OAB 的面积 .2.2018上海 一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量 y(升)与行驶路程 x(千米)之间是一次函数关系,其部分图像如图 T4-1 所示 .(1)求 y 关于 x 的函数关系式(不需要写自变量的取值范围);(2)已知当油箱中的剩余油量为 8 升时,该汽车会开始提示加油 .在此行驶过程中,行驶了 500 千米时
2、,司机发现离前方最近的加油站有 30 千米的路程,在开往加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?2图 T4-13.2018台州 如图 T4-2,函数 y=x 的图像与函数 y= (x0)的图像相交于点 P(2,m).(1)求 m,k 的值;(2)直线 y=4 与函数 y=x 的图像相交于点 A,与函数 y= (x0)的图像相交于点 B,求线段 AB 长 .图 T4-24.2018云南 已知二次函数 y=- x2+bx+c 的图像经过 A(0,3),B -4,- 两点 .316 92(1)求 b,c 的值 .(2)二次函数 y=- x2+bx+c 的图像与 x 轴是否存在公
3、共点?若有,求公共点的坐标;若没有,请说明理由 .3163|类型 2| 函数与不等式5.二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图像经过点 A(4,0),B(2,8),且以直线 x=1 为对称轴 .(1)求此函数的解析式,并作出它的示意图;(2)当 00(a0)的解集 .图 T4-346.2018枣庄 如图 T4-4,一次函数 y=kx+b(k,b 为常数, k0)的图像与 x 轴、 y 轴分别交于 A,B 两点,且与反比例函数 y= (n为常数,且 n0)的图像在第二象限交于点 C,CD x 轴,垂足为 D,若 OB=2OA=3OD=12.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)记两函数
4、图像的另一个交点为 E,求 CDE 的面积;(3)直接写出不等式 kx+b 的解集 .图 T4-47.2018襄阳 如图 T4-5,已知双曲线 y1= 与直线 y2=ax+b 交于点 A(-4,1)和点 B(m,-4).(1)求双曲线和直线的解析式;(2)直接写出线段 AB 的长和 y1y2时 x 的取值范围 .5图 T4-58.如图 T4-6,抛物线 y1=ax2+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 P 在抛物线上,过 P(1,-3),B(4,0)两点作直线y2=kx+b.(1)求 a,c 的值;(2)根据图像直接写出 y1y2时, x 的取值范围;(3)在抛物线上是
5、否存在点 M,使得 S ABP=5S ABM?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 .图 T4-66参考答案1.解:(1)证明:联立两个函数,得 x2-4x=kx+1,即 x2-(4+k)x-1=0,其中 = (4+k)2+40,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线 l 与抛物线总有两个交点 .7(2)如图,连接 AO,BO,联立两个函数,得 x2-4x=-2x+1,解得 x1=1- ,x2=1+ .设直线 l 与 y 轴交于点 C,在一次函数 y=-2 22x+1 中,令 x=0,得 y=1,所以 C(0,1),OC=1.所以 S ABO=S AOC+S BOC= OC
6、|xA|+ OC|xB|= OC|xA-xB|= 12 = .12 12 12 12 2 22.解:(1)设一次函数的关系式是 y=kx+b,由图像知,点(0,60)与点(150,45)在一次函数图像上,将其坐标代入函数关系式,得 解之,得 故 y=- x+60.=60,150+=45, =60,=-110, 110(2)当 y=8 时, - x+60=8,解之 ,得 x=520.30-(520-500)=10(千米) .汽车开始提示加油时,离加油站的路程是 10 千米 .1103.解:(1)把 P(2,m)代入 y=x 得 m=2, P(2,2),把 P(2,2)代入 y= 得 k=4,反比
7、例函数的解析式为 y= . 4(2)当 y=4 时,代入 y=x 得 x=4, A(4,4);将 y=4 代入 y= 得 x=1,所以 AB=4-1=3.44.解:(1)二次函数 y=- x2+bx+c 的图像经过 A(0,3),B -4,- 两点,316 92 =3,-316(-4)2-4+=-92,解得 b= ,c=3.=98,=3, 98(2)由(1)知, b= ,c=3.98该二次函数为 y=- x2+ x+3.316 98在 y=- x2+ x+3 中,当 y=0 时,0 =- x2+ x+3,解得 x1=-2,x2=8,316 98 316 988二次函数 y=- x2+bx+c
8、的图像与 x 轴有两个公共点,分别为( -2,0),(8,0).3165.解:(1)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图像经过点 A(4,0),B(2,8),且以直线 x=1 为对称轴,-2=1,16+4+=0,4+2+=8,解得 =-1,=2,=8, 二次函数的解析式为 y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,抛物线与 x 轴的交点为( -2,0),(4,0),顶点坐标为(1,9),二次函数的图像如图所示 .(2)由图可知,当 00(a0)的解集为 -2y2时, x 的取值范围是 -41.2提示:由两点间距离坐标公式得 AB= =5 .(-4-1)2+(1+4)2 2在图像中找出双曲
9、线在直线上方的部分,确定这部分 x 的取值范围是 -41.108.解:(1)将 P(1,-3),B(4,0)代入 y=ax2+c 得: 16+=0,+=-3,解得=15,=-165.(2)由图像得 x4 或 x1.(3)在抛物线上存在点 M,使得 S ABP=5S ABM,理由是:抛物线的解析式是 y= x2- .15 165设 M 点的纵坐标为 e, P(1,-3),由 S ABP=5S ABM得: AB|-3|=5 AB|e|,12 12解得 |e|= ,所以 e= .35 35当 e= 时, x2- = ,35 15 165 35解得 x= ,19当 e=- 时, x2- =- ,35 15 165 35解得 x= ,13即 M 点的坐标是 , , - , , ,- , - ,- .1935 1935 1335 1335
