1、1第一章 第 3 节一元二次方程根与系数的关系专项练习六六、根与系数关系综合题 2：1已知关于 x 的一元二次方程 k （4k+1）x+3k+3=0（1）试说明：无论 k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若ABC 的两边 AB、AC 的长是方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5当ABC 是等腰三角形时，求 k 的值2已知：关于 x 的一元二次方程 x 2（m 22）xm 21=0（m0）（1）证明：方程有两个不相等的实数根 （2）设方程的两个实数根分别为 x1，x 2， （其中 x12; (2)17试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为 7，将 x=7 代入求
2、出 x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得试题解析：解：（1）由题意得=4（ m+1） 24（ m2+5）=8m160，解得： m2；（2）由题意， x1 x2时，只能取 x1=7 或 x2=7，即 7 是方程的一个根，将 x=7 代入得：4914（ m+1）+ m2+5=0，解得： m=4 或 m=10当 m=4 时，方程的另一个根为 3，此时三角形三边分别为 7、7、3，周长为 17；当 m=10 时，方程的另一个根为 15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为 178 （1）nx 2mx10；（2）47 或 2；（3）c 的最小值为 4.试题分析：(1) 设 x2 mx n0 (
3、n0)的两根为 x1、 x2，根据根与系数的关系可得x1 x2 m， x1x2 n，将以上两式变形可得 和 ，即可求出答案(2)根据 a、 b 满足a215 a5=0， b215 b5=0，得出 a， b 是 x215 x5=0 的解，求出 a+b 和 ab 的值，即可求结果；(3)根据 a+b+c=0， abc=16，得出 a+b=-c， ab= ， a、 b 是方程 x2+cx+ =0 的解，再根据 c2-4 0，即可求出 c 的最小值.解：(1)设 x2mxn0 (n0)的两根为 x1、x 2.x 1x 2m，x 1x2n. 9， .所求一元二次方程为 x2 x 0，即 nx2mx10.
4、(2)当 ab 时，由题意知 a、b 是一元二次方程 x215x50 的两根，ab15，ab5. 47.当 ab 时， 112.综上， 47 或 2.(3)abc0，abc16，abc，ab .a、b 是方程 x2cx 0 的两根，c 2 0.c0，c 364，c4，c 的最小值为 4.点拨：本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法本题的运算过程有点复杂，难度也较大，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键.9 （1）证明见解析；（2）5.试题分析:（1）找出 a，b 及 c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于 0，即可得证（2）把 x=0 代入
5、方程即可求 m 的值，然后化简代数式再将 m 的值代入所求的代数式并求值即可试题解析：（1）关于 x 的一元二次方程 x2-（2m+1）x+m（m+1）=0=（2m+1） 2-4m（m+1）=10，方程总有两个不相等的实数根；（2）x=0 是此方程的一个根，把 x=0 代入方程中得到 m（m+1）=0，m=0 或 m=-1，（2m-1） 2+（3+m） （3-m）+7m-5=4m 2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5，把 m=0 代入 3m2+3m+5 得：3m 2+3m+5=5；把 m=-1 代入 3m2+3m+5 得：3m 2+3m+5=31-3+5=510(1) k ;(2
6、)-2.试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=4k+50，解之即可得出实数 k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得 x1+x2=12k、x 1x2=k21，将其代入 x12+x22=（x 1+x2）22x 1x2=16+x1x2中，解之即可得出 k 的值试题解析：（1）关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k 21=0 有两个实数根 x1，x 2，=（2k1） 24（k 21）=4k+50，解得：k ，10实数 k 的取值范围为 k （2）关于 x 的方程 x2+（2k1）x+k 21=0 有两个实数根 x1，x 2，x 1+x2=12k，x 1x2=k21x 12+x22
7、=（x 1+x2） 22x 1x2=16+x1x2，（12k） 22 （k 21）=16+（k 21） ，即 k24k12=0，解得：k=2 或 k=6（不符合题意，舍去） 实数 k 的值为211 （1 ）n=-2m-5；（2）有两个不相等的实数根，理由略试题分析：（1）把 x=2 代入方程，然后化简得到的等式即可；（2）根据条件证明方程判别式大于0 即可试题解析：（1）把 x=2 代入方程得：4+2m+n+1=0,2m+n+5=0,n=-2m-5,（2） 22224804bacmnm+440,方程 y2 +my+n=0 总有两个不相等的实数根12ABC 为直角三角形试题分析：由方程有两个相等
8、的实数根，可得 4b24（ a+c） （ a c）=0，然后整理可得到b2+c2=a2，从而 ABC 为直角三角形解：方程有两个相等的实数根，b 24ac=0，即 4b24（a+c） （ac）=0，b 2+c2=a2，ABC 为直角三角形点拨:本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式= b24 ac：当0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 0，建立关于k 的不等式，求出 k 的取值范围（2）将 x=2 代入方程，得到关于 k 的方程，求出即可，试题解析：（1）由题意得=2（k3） 24（k 24k1）0化简得2k+10
9、0，解得 k5（2）将 2 代入方程，整理得 k28k+15=0，解这个方程得 k1=3，k 2=5又k5k=315(1)证明详见解析；(2)5 或-1.试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出0，此题得证；（2）根据根与系数的关系即可得出 1x+ 2=a， 1x 2=a2，结合 12x= 3即可得出关于a 的一元二次方程，解之即可得出 a 的值试题解析：（1）在方程 2+ax+a2=0 中，= 24（a2）= 2a+4， 20，0，故不论 a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）方程 2x+ax+a2=0 的两个实数根分别为 1x， 2，12 1x+ 2=a， 1x 2=a2， = 3， 21x=13， 2124x，即 2a4（a2）=13，整理得： a=9，解得： 1=5， 2=1，所以 a 的值为 5 或-1.
