1、1第一章 第 3节一元二次方程根与系数的关系专项练习五五、根与系数关系综合题 1：1a、b 是一元二次方程 2x25x30 的两根，求下列代数式的值(1) a2b 2；(2) 2a24ab2已知关于 x的一元二次方程 01)(2xm（1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根；（2）若 1x， 2是关于 x的一元二次方程 )(2x的两根，且 1212xx，求 m的值3已知关于 x的方程 22(3)10kx，（1）当为何值时，此方程有实数根；（3 分）（2）若此方程的两实数根 1x， 2满足： 123x，求 k的值（4 分）4关于的一元二次方程 的实数解是 和 (1)求 的取值范围；(2)如果 且
2、 为整数，求 的值.25设 x1，x 2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根.（1）试推导 x1+x2=- ，x 1x2= ；（2）求代数式 a（x 13+x23）+b（x 12+x22）+c（x 1+x2）的值6已知方程 230x的两根为 1x、 2，且 1 2x,求下列各式的值:（） 21+ ；（2） 12；（3） 12x；（4） x.7已知关于 x的一元二次方程 x22 x m0 有实数根(1)求 m的取值范围；(2)若 a， b是此方程的两个根，且满足 2213+41ab，求 m的值8若关于 x的一元二次方程 x2-4x+k-3=0的两个实数根为 x1，x 2，且满足 x
3、1=3x2，试求出方程的两个实数根及 k的值.9已知关于 x的方程 x2+（m3）xm（2m3）=0（1）证明：无论 m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数 m，使方程的两个实数根的平方和等于 26？若存在，求出满足条件的正数 m的值；若不存在，请说明理由310已知关于 x的一元二次方程 x23x+k2=0 有两个不相等的实数根（1）求 k的取值范围；（2）选一个适当的 k值使得此一元二次方程的根都是整数11已知关于 x的一元二次方程 20xm（ 1）对于任意的实数 ，判断方程的根的情况，并说明理由（ 2）若方程的一个根为 1，求出 的值及方程的另一个根12已知关于 x的方程 2234
4、10.kxk（1）若这个方程有实数根，求实数 k的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x1、x 2，且满足 21127x,求实数 k的值.13已知关于 x的方程 x2+4x+3-a=0 （1）若此方程有两个不相等的实数根，求 a的取值范围；（2）在（1）的条件下，当 a取满足条件的最小整数，求此时方程的解414已知关于 x的一元二次方程 x2+2（m+1）x+m 21=0（1）若方程有实数根，求实数 m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为 x1，x 2，且满足（x 1x 2） 2=16x 1x2，求实数 m的值15已知 a、 b、 c是ABC 的三条边，关于 x的一元二次方程 02121a
5、cxb有两个相等的实数根，方程 ax23的根为 x=0。（1）试判断ABC 的形状。 （2）若 a、 b为关 于 x的一元二次方程 x2 mx3m=0 的两个根,求 m的值。5答案：1(1) 374 (2) 12试题分析：首先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和两根之积，然后把所给式子变形，代入求解即可.试题解析：a、b 是方程 2x25x30 的两根ab 52，ab (1) a2b 2(ab) 22ab 74(2) 将 xa 代入方程中，得2a25a32a 24ab5a34abab3 122 （1）证明见解析；（2） 5m或 5.试题分析：（1）根据根的判别式进行证明；（2）根据根与
6、系数的关系求出两根之和和两根知己，代入求解即可试题解析：（1）由题意得， 0,2(1)4()mA21),2()0,m即 .A故这个一元二次方程总有连个实数根； 1212,mxx212,xx21112(),xx()()(),整理得， 20,m解得 5m或 5.3 （1） 52k；（2）0试题分析：（1）由于方程有实数根，所以利用其判别式是非负数即可求解；（2）由于方程的两实数根 123x，首先把等式两边同时平方，然后利用根与系数的关系即可求解试题解析：（1）若方程有实数根，则= 2()4(1)0k， 512k，当 512k，时，此方程有实数根；6（2）此方程的两实数根 1x， 2满足： 123x
7、， 21()9x， 9， 12()9xx，而 3k， 210xk， 23()0kk，2k3=3 或3，k=0 或 3，k=3 不合题意，舍去；k=04 （1）k0.（2）k 的值为1 或 0.试题分析：（1）方程有两个实数根，必须满足=b 2-4ac0，从而求出实数 k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=-2，x 1x2=k+1再代入不等式 x1+x2-x1x22.又由(1)k0，20，代入后解不等式即可得 a的取值范围；（2）把 a代入后解方程即可.试题解析：（1）方程有两个不相等的实数根16-4（3- a）0, a-1 .（2）由题意得： a=0 ,方程为 x
8、2+4x+3=0 ,解得 1-3, .点拨：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）= 0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根14 （1）m1；（2）1.试题分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 m的不等式，求出 m的取值范围；（2）由 x1+x2=2（m+1） ，x 1x2=m21；代入（x 1x 2） 2=16x 1x2，建立关于 m的方程，据此即可求得 m的值试题解析：（1）由题意有=2（m+1） 24（m 21）0，整理得 8m+80，解得 m1，实数 m的取值范围是 m1；（2）由两根关系
9、，得 x1+x2=2（m+1） ，x 1x2=m21，（x 1x 2） 2=16x 1x211（x 1+x2） 23x 1x216=0，2（m+1） 23（m 21）16=0，m 2+8m9=0，解得 m=9 或 m=1m1m=115 （1）ABC 为等边三角形 ； （2）m=12 试题分析：（1）把 x=0代入方程 abcx23可得：a=b，根据方程 02121acxb有两个相等的实数根，得出 a+b-2c=0，然后可得出 a=b=c；（2）由（1）可知一元二次方程 x2 mx3m=0 有两个相等的实数根，利用根的判别式=0 可求出 m的值试题解析：（1）把 x=0代入方程 abcx23可得：2b=2a，所以 a=b，又因为方程0212acxb有两个相等的实数根，所以 14()02bca，所以 a+b-2c=0，所以 2a-2c=0，所以 a=c，所以 a=b=c，即ABC 为等边三角形；（2）由（1）可知一元二次方程 x2 mx3m=0 有两个相等的实数根，所以 (3)m，所以 m=-12，m=0（不合题意舍去） ，所以 m=-12
