1、- 1 -江苏省启东中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（文科） （考试用时：120 分钟 总分：160 分）1、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题： 的否定是_2sin,xR2.抛物线 的准线方程是 ，则 _.2ayya3.若直线 与圆 有两个不同交点，则点 与圆 的位置1:bl 12C： baP,C关系是_4.若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的)0,(2ayx离心率为_5.已知以 为圆心的圆与圆 相内切，则圆 C 的方程是_3,4C1:2yxO6在平面直角坐标系 中，直线 与直线
2、互相垂直xym82yx的充要条件是 _.m7. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与)0,(12ba3抛物线 的焦点相同，则双曲线的方程为_xy1628.若命题 有 是假命题，则实数 的取值范围是_,“R“2xm9.已知 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，如果线段 的中点在 21,F13yP1PF轴上，且 ，则 的值为_y21tPt10.若直线 始终平分圆 的周长，则0:byaxl 024:2yxM的最小值为 _2211.设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标为21,F1652PM，则 的最大值为_461PM12.点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭
3、圆的焦)0(2bayx x点 ，圆 与 轴相交于 ，若 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围FQ,PM- 2 -是_13.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，若椭圆上)0(12bayx 21,Fe存在点 ，使得 ，则该离心率 的取值范围是_PeF2e14.在平面直角坐标系 中，已知圆 ， ，动点xOy1:2yx4:2yxO在直线 上，过 点分别作圆 的切线，切点分别为 ，若满足03bP, BA,的点 有且只有两个，则实数 的取值范围是_PAB2b二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 14
4、分）已知 p：| x3|2， q： (x m1)( x m1)0，若 p 是 q 的充分而不必要条件，求实数 m 的取值范围16.（本题满分 14 分）已知命题 ：指数函数 在 上单调递减，命题 ：pxaxf62)(Rq关于 的方程 的两个实根均大于 3.若 或 为真， 且 为假，x01232ax p“qp“求实数 的取值范围a- 3 -17.（本题满分 15 分）设中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1， F2，且 F1F22 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4，离心率之比为 37.13(1)求这两曲线方程；(2)若 P 为这两曲线的一个交点，求 cos F1PF
5、2的值18.（本题满分 15 分）已知圆 过两点 ， ，且圆心 在直线M)1,(A),(BM上.02yx(1)求圆 的方程；(2)设 是直线 上的动点， 是圆 的两条切线， 为切点，P0843yxP, BA,求四边形 面积的最小值AB- 4 -19.（本题满分 16 分）已知椭圆的中心为坐标原点 ，椭圆短轴长为 ，动点 ,O2)(tM在椭圆的准线上)0t（(1)求椭圆的标准方程(2)求以 为直径且被直线 截得的弦长为 的圆的方程；OM0543yx(3)设点 是椭圆的右焦点，过点 作 的垂线 ，且与以 为直径的圆交于FFMH点 ，求证：线段 的长为定值，并求出这个定值N20.（本题满分 16 分
6、） 已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点到)1(:2bayxC2直线 的距离为 .02byax3(1) 求椭圆 的方程；(2) 过点 的直线 交椭圆 于 两点求证：以 为直径的圆过定点)1,(PlCBA,AB- 5 -江苏省启东中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（文科） （考试用时：120 分钟 总分：160 分）1、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题： 的否定是_2sin,xR解析 全称命题的否定是存在性命题答案 xR， sin x22.抛物线 的准线方程是 ，则 _.2ay2ya解析 抛物线的标准方程为
7、x2 y，由条件得 2 ， a .1a 14a 18答案 183.若直线 与圆 有两个不同交点，则点 与圆 的位置:byaxl 12C： bP,C关系是_解析 由题意得圆心(0,0)到直线 ax by1 的距离小于 1，即 d 1，所以有1a2 b21，点 P 在圆外a2 b2答案 在圆外4.若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的)0,(2bayx离心率为_解析 焦点( c,0)到渐近线 y x 的距离为 b，则由题意知 b2 a，又ba bca2 b2a2 b2 c2，5 a2 c2，离心率 e .ca 5答案 55.已知以 为圆心的圆与圆 相内切，则圆 C 的方程是_3,
8、4C1:2yxO解析 若圆 C 与圆 O 内切，因为点 C 在圆 O 外，所以 rC15，所以 rC6.答案 ( x4) 2( y3) 2366在平面直角坐标系 中，直线 与直线 互相垂直myx282yx的充要条件是 _.m解析 x( m1) y2 m 与 mx2 y8 垂直1 m( m1)20 m .23- 6 -答案 237. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与)0,(12bayx xy3抛物线 的焦点相同，则双曲线的方程为_y162解析 由已知得Error!解之得Error!双曲线方程为 1.x24 y212答案 1x24 y2128.若命题 有 是假命题，则实数 的取值范
9、围是_,“R“0mxm解析 “xR，有 x2 mx m0，整理得 3b28b805.q： m1 x m1， q： xm1.又 p 是 q 的充分而不必要条件，Error!2 m4.16.已知命题 ：指数函数 在 上单调递减，命题 ：关于 的方程pxaxf62)(Rqx的两个实根均大于 3.若 或 为真， 且 为假，求实数 的01232ax p“qp“a取值范围解：若 p 真，则 f(x)(2a6) x在 R 上单调递减， 02a61， 3a .72若 q 真，令 f(x)x 23ax2a 21，则应满足 （ 3a） 2 4（ 2a2 1） 0， 3a2 3，f（ 3） 9 9a 2a2 10
10、) a 2或 a 2，a2，a52， ) a .52又由已知“p 或 q”为真， “p 且 q”为假，则应有 p 真 q 假，或者 p 假 q 真- 9 - 若 p 真 q 假，则 a 无解352， ) 0)，- 10 -根据题意得：Error!解得 a b1， r2，故所求圆 M 的方程为( x1) 2( y1) 24.(2)由题意知，四边形 PAMB 的面积为S S PAM S PBM AMPA BMPB.12 12又 AM BM2， PA PB，所以 S2 PA，而 PA ，PM2 AM2 PM2 4即 S2 .PM2 4因此要求 S 的最小值，只需求 PM 的最小值即可，即在直线 3x
11、4 y80 上找一点 P，使得 PM 的值最小，所以 PMmin 3，|31 41 8|32 42所以四边形 PAMB 面积的最小值为Smin2 2 2 .(PM)min2 4 32 4 519.已知椭圆的中心为坐标原点 ，椭圆短轴长为 ，动点 , 在椭圆的准线O)2(tM0（上(1)求椭圆的标准方程(2)求以 为直径且被直线 截得的弦长为 的圆的方程；M0543yx(3)设点 是椭圆的右焦点，过点 作 的垂线 ，且与以 为直径的圆交于FFHO点 ，求证：线段 的长为定值，并求出这个定值NO解 (1)由 2b2，得 b1.又由点 M 在准线上，得 2.a2c故 2.所以 c1.从而 a .1
12、c2c 2所以椭圆的方程为 y21.x22(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x(x2) y(y t)0，即( x1) 2 2 1.(yt2) t24其圆心为 ，半径 r .(1，t2) t24 1因为以 OM 为直径的圆被直线 3x4 y50 截得的弦长为 2，- 11 -所以圆心到直线 3x4 y50 的距离 d .r2 1t2所以 ，解得 t4.|3 2t 5|5 t2故所求圆的方程为( x1) 2( y2) 25.(3)法一 由平面几何知 ON2 OHOM.直线 OM： y x，直线 FN： y (x1)t2 2t由Error!得 xH .4t2 4所以 ON2 |xH| |xM|1
13、t24 1 t24 22.(1t24) 4t2 4所以线段 ON 的长为定值 .2法二 设 N(x0， y0)，则 ( x01， y0)， (2， t)，FN OM ( x02， y0 t)， ( x0， y0)MN ON 因为 ，所以 2(x01) ty00.所以 2x0 ty02.FN OM 又 ，所以 x0(x02) y0(y0 t)0.MN ON 所以 x y 2 x0 ty02.20 20所以| | 为定值.ON x20 y20 220. 已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点到直线)1(:2bayxC2的距离为 .02byax3(1) 求椭圆 的方程；(2) 过点 的直线 交椭圆 于 两
14、点求证：以 为直径的圆过定点)1,(PlCBA,AB(1) 解：由题意，e ，e 2 ，ca 22 a2 b2a2 12所以 a b，cb.2- 12 -又 ，ab1，所以 b1，a 22，|2ac 2|4a2 b2 23故椭圆 C 的方程为 y 21.x22(2) 证明：当 ABx 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2y 21.当 ABy 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2(y )2 .13 169由 可得x2 y2 1，x2 （ y 13） 2 169， ) x 0，y 1.)由此可知，若以 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为 Q(0，1)下证 Q(0，1)符合题意设直线 l
15、 的斜率存在，且不为 0，则方程为 ykx ，代入 y 21 并整理得(12k 2)13 x22x2 kx 0，43 169设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，4k3（ 1 2k2） 169（ 1 2k2）所以 (x 1，y 11)(x 2，y 21)x 1x2(y 11)(y 21)QA QB x 1x2(kx 1 )(kx2 )43 43(1k 2)x1x2 k(x1x 2)43 169(1k 2) k 169（ 1 2k2） 43 4k3（ 1 2k2） 169 0， 16 16k2 16k2 16（ 1 2k2）9（ 1 2k2）故 ，即 Q(0，1)在以 AB 为直径的圆上QA QB 综上，以 AB 为直径的圆恒过定点(0，1)
