1、- 1 -南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 设 为虚数单位，复数 ，则 的模 _.【答案】【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数 ，然后根据复数模的公式进行求解即可详解： 即答案为 .点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力，属基础题2. 一根木棍长为 5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于 2米的概率为_.【答案】【解析】分析：由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为5，基本事件的区域长度为 1，利用几
2、何概率公式可求详解：“长为 5的木棍”对应区间 ， “两段长都大于 2”为事件 则满足 的区间为，根据几何概率的计算公式可得， 故答案为： 点睛：本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解3. 命题“若 ，则复数 为纯虚数”的逆命题是_命题.（填“真”或“假” ）【答案】真【解析】分析：写出命题“若 ，则复数 为纯虚数”的逆命题，判断其真- 2 -假.详解：命题“若 ，则复数 为纯虚数”的逆命题为“若复数为纯虚数，则 ”，它是真命题.点睛：本题考查命题的真假的判断，属基础题.4. 已知一组数据为 2，3，4，5，6，则这组数据的方差为_.【答案】2【解
3、析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果详解：平均数为： 即答案为 2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立5. 将一颗骰子抛掷两次，用 表示向上点数之和，则 的概率为_.【答案】【解析】分析：利用列举法求出事件“ ”包含的基本事件个数，由此能出事件“”的概率详解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，用 表示向上点数之和，则基本数值总数 ，事件“ ”包含的基本事件有：共 6个，事件“ ”的概率 即答案为 .点睛：本题考查概率
4、的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用6. 用分层抽样的方法从某校学生中抽取 1个容量为 45的样本，其中高一年级抽 20人，高三年级抽 10人.已知该校高二年级共有学生 300人，则该校学生总数为_.【答案】900【解析】试题分析：因为，抽取一个容量为 45的样本，其中高一年级抽取 20人，高三年级- 3 -抽取 10人，所以，高二抽取了 15人，又高二年级共有学生 300人，所以，抽样比为 ，因此，该校的高中学生的总人数为 45 =900.考点：本题主要考查分层抽样。点评：简单题，关键是弄清抽样比=样本数样本总数。7. 函数 在点 处切线方程为 ，则 =_.【答案】4【解
5、析】分析：因为 在点 处的切线方程 ，所以 ，由此能求出 详解：因为 在点 处切线方程为 ， ，所以 从而 即答案为 4.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化8. 若 的展开式中所有二项式系数和为 64，则展开式中的常数项是_.【答案】240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得 n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项详解： 的展开式中所有二项式系数和为 ， ，则 ；则 展开式的通项公式为令 ，求得 ，可得展开式中的常数项是故答案为：240点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质
6、，属于基础题- 4 -9. 根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为_ .【答案】72【解析】分析：模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 的值，可得当时不满足条件 ，退出循环，输出 的值为 72详解：模拟程序的运行，可得满足条件 ，执行循环体， 满足条件 ，执行循环体， ；满足条件 ，执行循环体， ；满足条件 ，执行循环体， ， ；不满足条件 ，退出循环，输出 的值为 72故答案为：72点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题10. 若 ，则 =_.【答案】365【解析】分析：令 代入可知 的值，令 代入可求得的值，然后
7、将两式相加可求得 的值详解： 中，令 代入可知 令 代入可得 ，除以相加除以 2可得 .即答案为 365.- 5 -点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键11. 已知 R，设命题 P： ；命题 Q：函数只有一个零点.则使“ P Q”为假命题的实数 的取值范围为_.【答案】【解析】分析：通过讨论 ，分别求出 为真时的 的范围，根据 为假命题，则命题均为假命题，从而求出 的范围即可详解：命题 中，当 时，符合题意当 时， ，则 ，所以命题 为真，则 ，命题 中， ， 由 ，得 或 ，此时函数单调递增，由 ，得 ，此时函数单调递减即当 时，函数 取得极大值，当 时，函
8、数 取得极小值，要使函数 只有一个零点，则满足极大值小于 0或极小值大于 0，即极大值 ，解得 极小值 ，解得 综上实数 的取值范围： 或 为假命题，则命题 均为假命题 即 或 ， 即答案为点睛：本题考查了复合命题的判断及其运算，属中档题.12. 有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5个黑色小球和编号分别为 1，2，3，4，5 的 5个白色小球，若选取的 4个小球中既有 1号球又有白色小球，则有_种不同的选法.【答案】136【解析】分析：分两种情况：取出的 4个小球中有 1个是 1 号白色小球；取出的 4个小球中- 6 -没有 1 号白色小球.详解：由题，黑色小球和白色小球共 10个，分两种
9、情况：取出的 4个小球中有 1个是 1 号白色小球的选法有 种；取出的 4个小球中没有 1 号白色小球，则必有 1号黑色小球，则满足题意的选法有种，则满足题意的选法共有 种.即答案为 136.点睛：本题考查分步计数原理、分类计数原理的应用，注意要求取出的“4 个小球中既有 1号球又有白色小球” 13. 观察下列等式：请你归纳出一般性结论_.【答案】 【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用 将规律表示出来即可 （ ，且 为正整数）详解：根据题意，观察各式可得：第式中， ；式中，第式中， ；规律可表示为： 即答案为 .点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律
10、解决问- 7 -题14. 乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是 ,甲赢得比赛的概率是 ,则的最大值为_.【答案】【解析】分析：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率；进而求得 的最大值.因为 与 互斥，所以甲胜概率为 则 设 即答案为 .点睛：本题考查概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15. 在平面直角坐标系 中，以 为极点， 为极轴建立极坐标系
11、，曲线 的极坐标方程是，直线 的参数方程是 ( 为参数)求直线 被曲线 截得的弦长.【答案】【解析】分析：首先求得直角坐标方程，然后求得圆心到直线的距离，最后利用弦长公式整理计算即可求得最终结果；- 8 -详解：利用加减消元法消去参数得曲线 的直角坐标方程是 ，同时得到直线 的普通方程是 ，圆心 到直线 的距离 ，则弦长为 直线 被曲线 截得的弦长为 点睛：本题考查了圆的弦长公式，极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题16. 在棱长为 的正方体 中， O是 AC的中点， E是线段 D1O上一点，且D1E EO. （1）若 =1，求异面直线
12、DE与 CD1所成角的余弦值;（2）若平面 CDE平面 CD1O，求 的值.【答案】 （1） （2）2【解析】分析：以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 ，写出各点的坐标，（1）求出异面直线 与 1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为 0，由此方程求参数 的值即可详解：(1)以 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 - 9 -则 A(1，0，0)， ， ， D1(0，0，1)，E ， 于是 ， .由 cos .所以异面直线 AE与 CD1所成角的余弦值为 . （2）设平面 CD1O的向量为
13、m=(x1， y1， z1)，由 m 0， m 0得 取 x11，得 y1 z11，即 m=(1，1，1) . 8 分由 D1E EO，则 E ， = .10分又设平面 CDE的法向量为 n( x2， y2， z2)，由 n 0， n 0.得 取 x2=2，得 z2，即 n(2，0，) .12 分因为平面 CDE平面 CD1F，所以 mn0，得 点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度17. 已知 ，（1）求 的值;（2）若 且 ，求 的值;（3）求证： .【答案】 （1） （2）
14、（3）见解析【解析】分析：（1）令 ，根据 可求 的值；- 10 -（2）由 ，解得 可求 的值;（3）利用二项展开式及放缩法即可证明.：详解：（1）令 ，则 =0，又所以（2）由 ，解得 ，所以 （3）点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题18. 某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得 0分，第 1次成功得 3分，第 2次成功得 3分，第 3次成功得 4分.游戏规则如下：抛掷 1枚骰子，第 1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第 2次抛掷骰子向上的
15、点数为 3的倍数则记为成功，第 3次抛掷骰子向上的点数为 6则记为成功.用随机变量 表示该游戏者所得分数.（1）求该游戏者有机会抛掷第 3次骰子的概率;（2）求随机变量 的分布列和数学期望【答案】 （1） （2）见解析【解析】分析：该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为 、 、 ，该游戏者有机会抛掷第 3次骰子为事件 则 ；(2)由题意可知， 的可能取值为 、 、 、 、 ，分别求出 ， ， ，得到 的分布列及数学期望详解：该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为 、 、 ，该游戏者有机会抛掷第 3次骰子为事件 - 11 -则 ；答：该游戏者有机会抛掷第 3次骰子的概率为(2)由题意可知， 的可能取值为 、
16、 、 、 、 ， ， ，所以 的分布列为所以 的数学期望点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用19. 已知函数（1）若 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围;（2）若 在 处有极值 10，求 的值;（3）若对任意的 ，有 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） m （2） （3） m1 ，1【解析】分析：(1) 由 在区间 上是单调递增函数得，当 时， 恒成立，由此可求实数 的取值范围;（2） ，由题 或 ，判断当 时， 无极值，舍去，则 可求；- 12 -（3）对任意的 ，有 恒成立，
17、即 在 上最大值与最小值差的绝对值小于等于 2求出原函数的导函数，分类求出函数在 的最值，则答案可求；详解：(1) 由 在区间 上是单调递增函数得，当 时， 恒成立，即 恒成立，解得 （2） ，由题 或当 时， ， 无极值，舍去. 所以（3）由对任意的 x1， x21，1，有| f(x1) f(x2)|2 恒成立，得 fmax(x) fmin(x)2且| f(1) f(0)|2，| f(1) f(0)|2，解得 m1，1， 当 m=0时， f (x)0， f(x)在1，1上单调递增，fmax(x) fmin(x)= | f(1) f(1)|2 成立 当 m(0，1时，令 f (x)0，得 x(
18、 m，0)，则 f(x)在( m，0)上单调递减；同理 f(x)在(1， m)，(0，1)上单调递增，f( m)= m3+m2， f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小，令 h(m)=f( m) f(1)= m3 m1， m0，1，h (m)= m210，则 h(m)在(0，1 上为减函数， h(m) h(0)=10，故 f( m) f(1)，又 f(1)= m1+ m2 m2=f(0)，仅当 m=1时取等号.所以 fmax(x) fmin(x)= f(1) f(1)=2 成立 同理当 m1 ，0)时， fmax(x) fmin(x)= f(1) f(1)=2 成立 综上得 m1 ，1
19、点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，是难题20. 把圆分成 个扇形，设用 4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有 种方法.(1)写出 ， 的值；- 13 -(2)猜想 ，并用数学归纳法证明。【答案】 （1） （2）见解析【解析】分析：（1）根据题意，得 ；（2）分析可得 ，用用数学归纳法证明即可详解：（1） （2） 当 时，首先，对于第 1个扇形 ，有 4种不同的染法，由于第 2个扇形 的颜色与 的颜色不同，所以，对于 有 3种不同的染法，类似地，对扇形 ， 均有 3种染法对于扇形 ，用与 不同的 3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形 颜色相同的情况，而扇形 与扇形 颜色相同的不同染色方法数就是 ，于是可得猜想当 时，左边 ，右边 ，所以等式成立假设 时， ，则 时， 即 时，等式也成立综上 点睛：本题考查考查归纳分析能力，考查数学归纳法的应用，属中档题
