1、1(八)随机变量及其概率分布1袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个，从中任取 2 个都是白球的概率为 .现甲、乙两512人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取 1 个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止用 X 表示取球终止时取球的总次数(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E(X)解 (1)设袋中原有 n 个白球，则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为 ，C2nC29由题意知 ，化简得 n2 n300，C2nC29 512解得 n6 或 n5(舍去)，故袋中原有白球的个数为 6.(2)由题意， X 的可能取值为 1,2,3
2、,4.P(X1) ， P(X2) ，69 23 3698 14P(X3) ， P(X4) .326987 114 32169876 184所以取球次数 X 的概率分布为X 1 2 3 4P 23 14 114 184所求数学期望 E(X)1 2 3 4 .23 14 114 184 1072某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为 P1 ，乙的命中率为 P2，在射击比武活232动中每人射击两发子弹则完成一次检测在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组” (1)若 P2 ，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；12(2)在 2018 年每月进行 1 次
3、检测，设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为 ，如果 E( )5，求 P2的取值范围解 (1)所求概率 P .(C122313)(C121212) (2323)(1212) 13(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为P C P2(1 P2) P P2 P .(C122313) 12 (2323)2 89 492而 B(12， P)，所以 E( )12 P，由 E( )5 知， 125，(89P2 49P2)解得 P2 .34 54又 0 P21， P21.343(2018南通调研)从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出 m 个(1)若 m1，求所取子集
4、的元素既有奇数又有偶数的概率；(2)若 m2，记所取子集的元素个数之差的绝对值为 ，求 的概率分布及数学期望E( )解 (1)当 m1 时，记事件 A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数” 则集合1,2,3,4,5的非空子集数为 25131，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为2317，全为偶数的子集数为 2213，所以 P(A) .31 7 331 2131(2)当 m2 时， 的所有可能取值为 0,1,2,3,4，则 P( 0) ，C2C15 C2C25 C2C35 C2C45C231 110465 2293P( 1) ，C15C25 C25C35 C35C45 C45C5C231 2054
5、65 4193P( 2) ，C15C35 C25C45 C35C5C231 110465 2293P( 3) ，C15C45 C25C5C231 35465 793P( 4) ，C15C5C231 5465 1933所以 的概率分布为 0 1 2 3 4P 2293 4193 2293 793 193所以 的数学期望E( )0 1 2 3 4 .2293 4193 2293 793 193 110934(2018启东模拟)如图，已知正六棱锥 S ABCDEF 的底面边长为 2，高为 1.现从该棱锥的 7 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形，设随机变量 X 表示所得三角形的面积(1)求概率 P
6、(X )的值；3(2)求 X 的概率分布，并求其数学期望 E(X)解 (1)从 7 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形，共有 C 35(种)取法其中 X 的三37 3角形如 ABF，这类三角形共有 6 个因此 P(X ) .36C37 635(2)由题意知， X 的可能取值为 ，2， ，2 ，3 .3 6 3 3其中 X 的三角形如 ABF，这类三角形共有 6 个；3其中 X2 的三角形有两类，如 SAD(3 个)， SAB(6 个)，共有 9 个；其中 X 的三角形如 SBD，这类三角形共有 6 个；6其中 X2 的三角形如 CDF，这类三角形共有 12 个；3其中 X3 的三角形如 BDF，这类三角形共有 2 个3因此 P(X ) ， P(X2) ， P(X ) ，3635 935 6 635P(X2 ) ， P(X3 ) .31235 3 235所以随机变量 X 的概率分布为X 3 2 6 2 3 3 3P(X) 635 935 635 1235 235所求数学期望 E(X) 2 2 3 .3635 935 6 635 3 1235 3 235 363 66 1835
