1、1高考填空题分项练 2 平面向量1已知 ABC 中， BC4， AC8， C60，则 _.BC CA 答案 16解析 画图(图略)可知，向量 与 的夹角为 C 的补角，BC CA 故 BCACcos( C)48 16.BC CA ( 12)2若| a|1，| b|2， c a b，且 c a，则向量 a 与 b 的夹角为_答案 23解析 设向量 a 与 b 的夹角为 ，由题意知( a b)a0， a2 ab0，| a|2| a|b|cos 0，12cos 0，cos .12又 0， .233设 a， b 是两个不共线的非零向量若向量 ka2 b 与 8a kb 的方向相反，则k_.答案 4解析
2、 向量 ka2 b 与 8a kb 的方向相反， ka2 b (8a kb)k8 ，2 k k4.(方向相反， 0k0)24已知向量 a， b 不共线，实数 x， y 满足(3 x4 y)a(2 x3 y)b6 a3 b，则 x y 的值为_答案 3解析 由题意得Error!解得Error! x y3.5已知向量 a(1,2)， b( m,4)，且 a(2 a b)，则实数 m 的值为_答案 18解析 方法一 因为 a(1,2)， b( m,4)，所以 2a b( m2,8)因为 a(2 a b)，所以 a(2a b) m2160，所以 m18.方法二 因为 a(1,2)， b( m,4)，所
3、以 a25， ab m8.因为 a(2 a b)，所以 a(2a b)2 a2 ab10 m80，所以 m18.6已知平面向量 a， b 满足| a b|3 ，且 a2 b 与直线 x2 y20 的方向向量垂直，10若 b(2,3)，则 a_.答案 (7,0)或 (295， 125)解析 由题意得直线 x2 y20 的斜率 k ，12因为 a2 b 与直线 x2 y20 的方向向量垂直，所以 a2 b 所在直线的斜率与直线 x2 y20 的斜率互为负倒数，故可设 a2 b( m,2m)(m0)，从而 a( m4,2 m6)，得 a b( m6,2 m9)因为| a b|3 ，10所以( m6)
4、 2(2 m9) 290，解得 m3 或 m ，95从而 a(7,0)或 .(295， 125)7.如图，在平面四边形 ABCD 中， O 为 BD 的中点，且 OA3， OC5.若 7，则 AB AD BC 的值是_DC 3答案 9解析 因为 O 为 BD 的中点，所以 0，OB OD 所以 ( )( )AB AD AO OB AO OD 2 9 7，AO OB OD OB OD 所以 16.OB OD 所以 ( )( )BC DC BO OC DO OC 2 25169.OC OB OD 8已知点 O 在 ABC 所在平面内，且AB4， AO3，( ) 0，( ) 0，则 取得最大值时线段
5、 BC 的长OA OB AB OA OC AC AB AC 度是_答案 6解析 ( )OA OB AB ( )( )OA OB OB OA | |2| |20，OB OA | | |3，OB OA 同理| | |3，OC OA 则点 O 是 ABC 的外心如图，以 O 为坐标原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，过点 O 且与 AB 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(2， )， B(2， )，5 5点 C 在以 O 为圆心，3 为半径的圆上，设 C(3cos ，3sin )，4则 (4,0)(3cos 2,3sin )AB AC 512cos 8，当 cos 1，即 C(3,0)
6、时， 取得最大值 20，AB AC 此时 BC .69在菱形 ABCD 中，边长 AB ，对角线 AC4，边 DC 上(包括 D， C 点)一动点 P 与 CB 的5延长线上(包括 B 点)一动点 Q 满足 DP BQ，则 的最小值是_PA PQ 答案 2解析 方法一 连结 BD 交 AC 于点 O，因为边长 AB ，对角线 AC4，5所以 BD2.以 O 为坐标原点， AC 所在直线为 x 轴， BD 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy.由题设可知， A(2,0)， B(0，1)， C(2,0)， D(0,1)设 P(2t,1 t)， t0,1，因为 DP BQ，所以 Q(
7、2 t，1 t)，0 t1.所以 (22 t， t1)(4 t，2)PA PQ 8 t26 t28 2 ，(t38) 78由二次函数的单调性可知，当 0 t1 时， y8 t26 t2 单调递增，所以当 t0 时， 取得最小值，且最小值为 2.PA PQ 方法二 因为边长 AB ，对角线 AC4，5所以 BD2.设向量 a， b，AB DC AD BC 由余弦定理得 cos a， b ，52 52 22255 35且 ab| a|b|cos a， b 3.5 5355令 a(0 1)，DP 则 ( )( b a)，PA AD DP (1 )a(1 )b，PQ PC CQ ( b a)( 1)
8、a(1 )bPA PQ 3( 1)5(1 )5 ( 1)3 (1 )8 26 28 2 ，( 38) 78由二次函数的单调性可知，当 0 1 时， y8 26 2 单调递增，所以当 0 时， 取得最小值，且最小值为 2.PA PQ 10在 ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且 ， Q 是 BC 的中点， AQ 与 CP 的交点为CP 23CA 13CB M，又 t ，则 t 的值为_CM CP 答案 34解析 ，CP 23CA 13CB 3 2 ，CP CA CB 即 2 2 ，CP CA CB CP 2 ，即 P 为 AB 的一个三等分点，如图所示AP PB A， M， Q 三点共线，
9、x (1 x)CM CQ CA ( x1) ，x2CB AC 而 ， .CB AB AC CM x2AB (x2 1)AC 又 ，CP CA PA AC 13AB 6由已知 t ，可得CM CP t ，x2AB (x2 1)AC ( AC 13AB )又 ， 不共线，AB AC Error! 解得 t .3411已知向量 a， b 满足| a b|6，| a b|4，则| a|b|的取值范围是_答案 5,13解析 方法一 由| a b|6，| a b|4 得，Error!得， ab5，进而得| a|b|cos 5(设向量 a， b 夹角为 )，则| a|b|5；得，| a|2| b|226，进
10、而得 26| a|2| b|22| a|b|，即| a|b|13.综上，| a|b|的取值范围是5,13方法二 设 a b2 m， a b2 n，则| m|3，| n|2， a m n， b m n.依题意有，(| a|b|)2| m n|2|m n|2( m2 n22 mn)(m2 n22 mn)(132 mn)(132 mn)1694( mn)2，而 mn 的取值范围是6,6，故(| a|b|)225,169，则| a|b|的取值范围是5,1312设向量 a， b 满足| a| b| a b|1，则| a tb|(tR)的最小值为_答案 32解析 | a| b| a b|1， a22 ab
11、 b21 ab ，12| a tb| a2 2atb t2b2 t2 t 1 ，(t 12)2 347当 t 时，| a tb|min .12 3213对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 和 之间的新运算： .若 非零的平面向量 a， b 满足： ab 和 ba 都在集合Error! 中，且| a| b|，设 a 与 b 的夹角 ，则( ab)sin _.( 6， 4)答案 23解析 由题意，设 ab cos (k1Z)，abbb |a|b| 3k13ba cos (k2Z)，|b|a| 3k23两式相乘，可得 cos2 .k1k23因为 ，( 6， 4)于是 cos2 ，12 34即 k1
12、k2 ，32 94又 k1， k2都是整数，所以 k1k22，cos 2 ，23所以 sin ，33又| a| b|，所以 k12， k21， ab ，233所以( ab)sin .2314.如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC， ABC60， BC AB2，动点 E 和 F 分别12在线段 BC 和 DC 上，且 ， ，则 的最小值为_BE BC DF 12 DC AE BF 答案 4 1368解析 由题意得 AB4， CD2， ( )( )AE BF AB BE BC CF AB BC BE BC AB CF BE CF | | |cos 120| | | | | | |cos 60AB BC BE BC AB CF BE CF 42 224 22 2(12) (1 12 ) (1 12 ) 12136 132 4 13，4 6 4 6当且仅当 (舍负)时取等号，63即 的最小值为 4 13.AE BF 6
