1、12.函数与导数1求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同问题 1 函数 f(x) lg(1 x)的定义域是_11 x答案 (1,1)(1，)2分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数问题 2 已知函数 f(x)Error!的值域为 R，那么 a 的取值范围是_答案 1，12)解析 要使函数 f(x)的值域为 R，需使Error! 所以
2、Error!所以1 a0)，则 f(x)的周期 T a；(2)f(x a) (f(x)0)或 f(x a) f(x)，则 f(x)的周期 T2 a.1fx问题 7 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x2,1)时， f(x)Error!则 f _.(52)答案 18函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对 x 而言)；上下平移“上加下减”4(2)翻折变换： f(x)| f(x)|； f(x) f(|x|)(3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；函数 y f(x)与 y f( x)的图象关于原点成
3、中心对称；函数 y f(x)与 y f( x)的图象关于直线 x0 (y 轴)对称；函数 y f(x)与函数y f(x)的图象关于直线 y0( x 轴)对称问题 8 函数 y 的对称中心是_3xx 1答案 (1,3)9如何求方程根的个数或范围求 f(x) g(x)根的个数时，可在同一坐标系中作出函数 y f(x)和 y g(x)的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理问题 9 已知函数 f(x)| x2|1， g(x) kx.若方程 f(x) g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是_答案 (12， 1)解析 先作出函数 f(x)| x2
4、|1 的图象，如图所示，当直线 g(x) kx 与直线 AB 平行时，斜率为 1，当直线 g(x) kx 过点 A 时，斜率为 ，故当12f(x) g(x)有两个不相等的实根时，实数 k 的取值范围是 .(12， 1)10二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形问题 10 若关于 x 的方程 ax2 x10 至少有一个正根，则 a 的取值范围为_5答案 ( ，1411指数函数与对数函数的图象与性质可从定义
5、域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数 y ax的图象恒过定点(0,1)，对数函数 ylog ax 的图象恒过定点(1,0)问题 11 设 alog 36， blog 510， clog 714，则 a， b， c 的大小关系是_答案 abc12函数与方程(1)函数 y f(x)的零点就是方程 f(x)0 的根，也是函数 y f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标(2)y f(x)在 a， b上的图象是一条连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0.解析 由 x25 x60，知 x3 或 x3 x2，即 x2 x60，解得 x2 或 x0 恒成立是
6、 f(x)在 R 上是增函数的必要条件，漏掉 f( x)0 的情况解析 f(x) ax3 x2 x5 的导数f( x)3 ax22 x1，由 f( x)0，得Error!解得 a .13答案 13， )1函数 f(x)log 2(x26)的定义域为_答案 (， )( ，)6 6解析 由题意得 x260 x 或 x0，若函数 y f(f(x)1 有 3 个不同的零点，则实数 m的取值范围是_答案 (0,1)解析 令 f(f(x)1，得 f(x) 或 f(x) m10，所以只要 m0，且 a1)对任意 x(1,100)恒成立，则实数 a 的取值范围为_答案 (0,1)(14e，)解析 不等式 lo
7、gaxln 2x ，1ln a 14即 014e.7已知函数 y f(x)(xR)上任一点( x0， f(x0)处的切线斜率 k( x03)( x01) 2，则该函数的单调减区间为_答案 (，3解析 由导数的几何意义可知， f( x0)( x03)( x01) 20，解得 x03，即该函数的单调减区间是(，38已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x) x24 x，则不等式 f(x)x 的解集为_答案 (5,0)(5，)解析 方法一 不等式 f(x)x 的解集，即为函数 y f(x)图象在函数 y x 图象上方部分 x的取值范围因为函数 f(x)和 y x 都是 R
8、上的奇函数，且方程 f(x) x 的根为5,0，由图象知，不等式 f(x)x 的解集为(5,0)(5，)11方法二 令 x0，因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x) f( x)( x)24( x) x24 x.要使 f(x)x，则Error!或Error!或Error!解得55，所以不等式 f(x)x 的解集为(5,0)(5，)9已知函数 f(x1)是偶函数，当 10 恒成立，设a f ， b f(2)， c f(3)，则 a， b， c 的大小关系为_(12)答案 b0，知 y f(x)在1，)上是增函数，又 f f ，且 20 可知，10 且 c1， kR)恰有一个极大
9、值点和一个极小值点，其中一kx 1x2 c个是 x c.(1)求函数 f(x)的另一个极值点；(2)求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m，并求 M m1 时 k 的取值范围解 (1) f( x)kx2 c 2xkx 1x2 c2 ， kx2 2x ckx2 c213由题意知 f( c)0，即得 c2k2 c ck0，(*) c0， k0. c 1.2k由 f( x)0，得 kx22 x ck0，另一个极值点为 x c ，即 x1.2k(2)由(*)式得 k ，即 c1 .2c 1 2k当 c1 时， k0；当 00 时， f(x)在(， c)和(1，)上是减函数，在( c,1)上是增函数， M f(1) 0，k 1c 1 k2m f( c) 0，解得 k .k2 k22k 2 2当 k0， m f(1) 0， k22k 2 k2M m 1 1 恒成立 k22k 2 k2 k 12 1k 2综上可知，所求 k 的取值范围为(，2) ，)2
