1、1第 1 讲 函数的图象与性质考情考向分析 1.函数的概念和函数的基本性质是 B 级要求，主要是利用函数图象，即通过数形结合思想解决问题. 2.指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点， B 级要求.3.函数与方程是 B 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，试题难度中等偏上热点一 函数性质及其运用例 1 (1)(2018江苏徐州铜山中学期中)已知函数 f(x)e xe x1(e 为自然对数的底数)，若 f(2x1) f(4 x2)2，则实数 x 的取值范围是_答案 (1,3)解析 令 g(x) f(x)1 ，则 g(x)为奇函数，且为增函数，由 f(
2、2x1) f(4 x2)2，得 g(2x1) g(4 x2)0，所以 g(2x1) g(x24)，即2x1 x24，所以 x22 x30 时， f(x)| x a| a(aR)若xR， f(x2 016) f(x)，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (，504)解析 当 a0 时， f(x) x， xR，满足条件；当 a0 时， f(x)Error!要满足条件，需 4a0( ， 0)fxx 12的解集为_答案 (2,0)(1,2)解析 函数 f(x)为奇函数且在(，0)上单调递减， f(x)在(0，)上也单调递减，又函数 f(x)为奇函数且 f(2)0， f(2) f(2)0，当 x2 或 0
3、 x2 时， f(x)0，当2 x0 或 x2 时，f(x)0(如图)，不等式 0 等价于Error!fxx 1或Error!解得 x(2,0)(1,2)热点二 函数图象及其运用例 2 (1) 已知函数 f(x)Error!若| f(x)| ax，则实数 a 的取值范围是_答案 2,0解析 函数 y| f(x)|的图象如图， y ax 为过原点的一条直线，当 a0 时，与 y| f(x)|在 y 轴右侧总有交点，不合题意；当 a0 时，成立；当 a0 时，找与y| x22 x|(x0)相切的情况，即 y2 x2，切线方程为 y(2 x02)( x x0)，由分析可知 x00，所以 a2，综上，
4、 a2,0(2)已知函数 f(x)Error!若 ax2 x1；(x2) (x1) x2f x1f ；(x1) (x2) x2 x1，可得 1，即两点 与(x2) (x1)f (x2) f (x1)x2 x1 (x1， f (x1)连线的斜率大于 1，显然不正确；由 x2f x1f ，得 ，(x2， f (x2) (x1) (x2)f (x1)x1 f (x2)x2即表示两点 ， 与原点连线的斜率的大小，可以看出结论正确；(x1， f (x1) (x2， f (x2)结合函数图象，容易判断结论正确(2)(2018江苏省常州市横林高中月考)已知函数 f(x)Error!则不等式 f(2x2| x
5、|)5 的解集为_答案 1， 14解析 方法一 作出函数 f(x)的图象如图所示若 2x2 0)恰有 4 个零点，则 a 的取值范围是_答案 41 时，函数的零点满足 mx20，则 m ，2x由题意可得函数 y m 与函数 g(x)Error!有两个不同的交点， 绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数 m 的取值范围是 .12， 0)61(2016江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1)上， f(x)Error!其中 aR.若 f f ，则 f(5a)的值是_(52) (92)答案 25解析 由已知得，f f f a，(52) ( 52 2) ( 12) 1
6、2f f f .(92) (92 4) (12) |25 12| 110又 f f ，(52) (92)则 a ， a ，12 110 35 f(5a) f(3) f(34) f(1)1 .35 252(2018江苏)若函数 f(x)2 x3 ax21( aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_答案 3解析 f( x)6 x22 ax2 x(3x a)(x0)当 a0 时， f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增，又 f(0)1， f(x)在(0，)上无零点，不合题意当 a0 时，由 f( x)0，解得 x ，a3由 f( x)0，解得 0 x ，
7、a3 f(x)在 上单调递减，(0，a3)7在 上单调递增(a3， )又 f(x)只有一个零点， f 10， a3.(a3) a327此时 f(x)2 x33 x21， f( x)6 x(x1)，当 x1,1时， f(x)在1,0上单调递增，在(0,1上单调递减又 f(1)0， f(1)4， f(0)1， f(x)max f(x)min f(0) f(1)143.3(2017江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间0,1)上， f(x)Error!其中集合 DError!，则方程 f(x)lg x0 的解的个数是_答案 8解析 由于 f(x)0,1)，则只需考虑 1 x0
8、 的解集为12x 1 12_答案 (1,0)解析 函数 f(x)的定义域为 R.f( x) ，12 x 1 12 2x 122x 1f(x) ，12x 1 12 1 2x22x 1所以 f( x) f(x)， f(x)为奇函数又 f(x) 在 R 上单调递减，12x 1 128所以 f(a1) f(a21)0 f(a1) f(1 a2)，所以 a10，若函数 f(x)Error!且 g(x) f(x) ax2有且只有 5 个零点，则 a 的取值范围是_答案 (2，e)解析 由题意可知， x0 是 g(x)的 1 个零点，当 x0 时，由 f(x) ax2可得aError!令 h(x) (x0)
9、，则 h( x) .2e2ln xx2 2e21 2ln xx3当 00，当 x 时， h( x)log 53log5 ，log 35log331,0f f ，即 b0 且 a1)在 x2，)上恒有| y|1，则 a 应满足的条件是_答案 1，当 x2 时，log ax0，log ax1.由题意知 loga21， a(1,2)综上可知， 0， f(x)在 R 上为增函数又 f(x)为奇函数，由 f(mx2) f(x)0且 a1)对 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_(0，22答案 14， 1)解析 由已知得当 x0 时， f(x) x2 x，故 x22log ax 对 x 恒成立，(0，2
10、2即当 x 时，函数 y x2的图象不在 y2log ax 图象的上方，(0，22可以从图象(图略)知 00)，且关于 x 的方程 g(x) m f(x)在1,2上有解，求 m 的取值范围(1)证明 任取 x1x2，则f(x1) f(x2)log 2( 11) log 2( x1)log 2 x， x1x2，02 x112 x21，0 2x1，log 21x0， f(x1)f(x2)，即函数 f(x)在(，)内单调递增(2)解 方法一 由 g(x) m f(x)，得m g(x) f(x)log 2(2x1)log 2(2x1)log 2 log 2 ，2x 1x 1 (1 22x 1)当 1 x2 时， ，25 22x 1 23 1 ，13 22x 1 3514 m 的取值范围是 .log213， log235方法二 解方程 log2(2x1) mlog 2(2x1)，得 xlog 2 ，(2m 11 2m)1 x2，1log 2 2，(2m 11 2m)解得 log2 mlog 2 .13 35 m 的取值范围是 .log213， log235
