1、1第 2 讲 三角恒等变换与解三角形考情考向分析 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算.2.三角形形状的判断.3.面积的计算.4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视热点一 三角恒等变换例 1 (1)若 cos ，则 cos _.( 3) 45 ( 3 2 )答案 725解析 cos ，( 3) 45cos sin sin ，( 3) 2 ( 3) ( 6 ) 45cos 12sin 2 .( 3 2 ) ( 6 ) 725(2)在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作角 ，角
2、的终边经过点 P(2,1) 4求 cos 的值；求 cos 的值(56 2 )2解 由于角 的终边经过点 P(2,1)， 4故 cos ，sin ，( 4) 255 ( 4) 55cos cos ( 4 4)cos cos sin sin .( 4) 4 ( 4) 4 1010sin sin ( 4 4)sin cos cos sin ，( 4) 4 ( 4) 4 31010则 sin 2 2sin cos ，35cos 2 cos 2 sin 2 ，45cos cos cos 2 sin sin 2 .(56 2 ) 56 56 43 310思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正
3、弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解跟踪演练 1 (1)已知 cos 3sin ，则 tan _.( 2 ) ( 76) (12 )答案 2 43解析 cos 3sin ，( 2 ) ( 76)sin 3sin ，( 6)sin 3sin 3sin cos 3cos sin ( 6) 6 6 sin cos ，332 32tan
4、，32 333又 tan tan 12 ( 3 4)tan 3 tan 41 tan 3tan 4 2 ，3 11 3 3tan (12 )tan 12 tan 1 tan 12tan 2 4.(2 3) 32 331 (2 3) 32 33 3(2)(2018江苏如东中学等五校联考)已知 ，且 cos ，则 sin ( 3， 56) ( 3) 35的值是_答案 4 3310解析 ， ，( 3， 56) 3 (0， 2)给合同角三角函数基本关系式有：sin ，( 3) 1 cos2( 3) 45则 sin sin ( 3 3)sin cos cos sin ( 3) 3 ( 3) 3 .45
5、12 35 32 4 3310热点二 正弦定理、余弦定理例 2 (2018江苏泰州中学调研)如图，在圆内接 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c，满足 acos C ccos A2 bcos B.(1)求 B 的大小；4(2)若点 D 是劣弧 AC 上一点， AB3， BC2， AD1，求四边形 ABCD 的面积解 (1)方法一 设外接圆的半径为 R，则 a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C，代入得 2Rsin Acos C2 Rsin Ccos A22 Rsin Bcos B，即 sin Acos Csin Ccos A2sin Bcos B
6、，所以 sin B2sin Bcos B.所以 sin B0，所以 cos B .12又 B 是三角形的内角，所以 B . 3方法二 根据余弦定理，得 a c 2 bcos B，a2 b2 c22ab b2 c2 a22bc化简得 cos B .12因为 00，sin A .12由余弦定理得 cos A 0，b2 c2 a22bc 82bc 4bccos A ， bc ，32 4cos A 833 S ABC bcsin A .12 12 833 12 2334在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 cos A ，sin B cos C，并23 5且 a ，则
7、 ABC 的面积为_2答案 52解析 因为 00，53 23并结合 sin2Ccos 2C1，得 sin C ，cos C .56 16于是 sin B cos C .556由 a 及正弦定理 ，得 c .2asin A csin C 3故 ABC 的面积 S acsin B .12 525已知函数 f(x) sin xcos xcos 2 x( 0)的最小正周期为 .323(1)求 的值；(2)在 ABC 中，sin B，sin A，sin C 成等比数列，求此时 f(A)的值域解 (1) f(x) sin 2 x (cos 2 x1)32 12sin ，(2 x 6) 129因为函数 f(
8、x)的最小正周期为 T ，22 23所以 .32(2)由(1)知 f(x)sin ，(3x 6) 12易得 f(A)sin .(3A 6) 12因为 sin B，sin A，sin C 成等比数列，所以 sin2Asin Bsin C，所以 a2 bc，所以 cos A b2 c2 a22bc b2 c2 bc2bc (当且仅当 b c 时取等号)2bc bc2bc 12因为 00)，则 cos C ，4t2 9t2 16t212t2 14又 C(0，)，sin C .154当 BC1 时， AC ，32 S ABC 1 .12 32 154 315168.如图，在 ABC 中， BC2， A
9、BC ， AC 的垂直平分线 DE 与 AB， AC 分别交于 D， E 两 3点，且 DE ，则 BE2_.6212答案 52 3解析 如图，连结 CD，由题设，有 BDC2 A，所以 ，CDsin 3 BCsin 2A 2sin 2A故 CD .3sin 2A又 DE CDsin A ，32cos A 62所以 cos A ，而 A(0，)，故 A ，22 4因此 ADE 为等腰直角三角形，所以 AE DE .62在 ABC 中， ACB ，512所以 ，ABsin5122sin 4故 AB 1，3在 ABE 中， BE2( 1) 2 22( 1) .3 (62) 3 62 22 52 3
10、9(2018江苏)已知 ， 为锐角，tan ，cos( ) .43 55(1)求 cos 2 的值；(2)求 tan( )的值13解 (1)因为 tan ，tan ，43 sin cos 所以 sin cos .43又因为 sin2 cos 2 1，所以 cos2 ，925因此，cos 2 2cos 2 1 .725(2)因为 ， 为锐角，所以 (0，)又因为 cos( ) ，所以 ，55 ( 2， )所以 sin( ) ，1 cos2 255因此 tan( )2.因为 tan ，43所以 tan 2 .2tan 1 tan2 247因此，tan( )tan2 ( ) .tan 2 tan 1
11、 tan 2 tan 21110(2018江苏扬州中学调研)已知 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，向量 m(1,2)， n ，且 mn1.(cos 2A， cos2A2)(1)求角 A 的大小；(2)若 b c2 a2 ，求 sin 的值3 (B 4)解 (1)由题意得 mncos 2 A2cos 2 2cos 2A1cos A12cos 2Acos A，A又因为 mn1，所以 2cos2Acos A1，解得 cos A 或 cos A1，120 ，23 20 ，33 1tan A 3 2，ca12 32 3即 2.ca 的取值范围是(2，)ca13在锐角
12、ABC 中，角 A 所对的边为 a， ABC 的面积 S ，给出以下结论：a24sin A2sin Bsin C；tan Btan C2tan Btan C；tan Atan Btan Ctan Atan Btan C；tan Atan Btan C 有最小值 8.其中正确结论的个数为_答案 4解析 由 S absin C，得 a2 bsin C，a24 12又 ，得 sin A2sin Bsin C，故正确；asin A bsin B由 sin A2sin Bsin C，16得 sin(B C)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，两边同时除以 cos Bcos C
13、，可得 tan Btan C2tan Btan C，故正确；由 tan(A B) ，tan A tan B1 tan Atan B且 tan(A B)tan( C)tan C，所以 tan C，tan A tan B1 tan Atan B整理移项得 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，故正确；由 tan Btan C2tan Btan C，tan Atan( B C) ，tan B tan Ctan Btan C 1且 tan A，tan B，tan C 都是正数，得 tan Atan Btan C tan Btan Ctan B tan Ctan Btan C 1
14、 tan Btan C ，2tan Btan Ctan Btan C 1 2tan Btan C2tan Btan C 1设 mtan Btan C1，则 m0，tan Atan Btan C2m 12m2 444 8 ，(m1m) m1m当且仅当 mtan Btan C11，即 tan Btan C2 时取“” ，此时 tan Btan C2，tan Btan C4，tan A4，所以 tan Atan Btan C 的最小值是 8，故正确14已知向量 a( sin 2x， cos 2x)， b(cos ，sin ) ，若 f(x)2 2 (| | 2) ab，且函数 f(x)的图象关于直线
15、 x 对称 6(1)求函数 f(x)的解析式，并求 f(x)的单调递减区间；(2)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f(A) ，且 b5， c2 ，求2 3ABC 外接圆的面积解 (1) f(x) ab sin 2xcos cos 2xsin 2 2 sin(2x )，2函数 f(x)的图象关于直线 x 对称， 6172 k ， kZ， 6 2 k ， kZ， 6又| | ， . 2 6 f(x) sin .2 (2x 6)由 2k 2 x 2 k ， kZ， 2 6 32得 k x k ， kZ. 6 23 f(x)的单调递减区间为 ， kZ.k 6， k 23(2) f(A) sin ，2 (2A 6) 2sin 1.(2A 6) A(0，)，2 A ， 6 ( 6， 136 )2 A ， A . 6 2 6在 ABC 中，由余弦定理得 a2 b2 c22 bccos A2512252 cos 7，3 6 a .7设 ABC 外接圆的半径为 R，由正弦定理得 2 R 2 ，asin A 712 7 R ，7 ABC 外接圆的面积 S R27.
