1、- 1 -深圳市高级中学 20182019 学年第一学期期中测试高二理科数学本试卷由两部分组成。第一部分：高二数学第一学期前的基础知识和能力考查，共 47 分；选择题包含第 3 题、第 4 题、第 5 题、第 7 题、第 11 题共 25 分；填空题包含第 14 题、第 15 题共 10 分；解答题包含第 19 题共 12 分；第二部分：高二数学第一学期的基础知识和能力考查，共 103 分；选择题包含第 1 题、第 2 题、第 6 题、第 8 题、第 9 题、第 10 题、第 12 题共 35 分；填空题包含第 13 题、第 16 题共 10 分；解答题包含第 17 题、第 18 题、第 20
2、 题、第 21 题、第 22 题，共 58 分。全卷共 22 题，共计 150 分。考试时间为 120 分钟。注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1 已知 为实数，则 “ ”是“ ”的,ab2ablnabA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
3、既不充分也不必要条件2若方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围为2xkyA B C D(0,)(0,2)(1,)(0,1)3已知向量 13(,)2uv, 31(,)Cuv则 AB=A30 0 B45 0 C 600 D120 0- 2 -4已知实数 ，则 的大小关系为lnln,l,2abc,abcA B C Dbcacc5若变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是,xy26xy2zxyA B C D6,)3,),3,6设直线 与圆 22(1)()4xy相交于 A， B两点，且弦 A的长为10xky23，则实数的值是A B C D3337函数 的图像向右平移 个单位后得到的图像关
4、于原点对称，()3sin(2)fx(0)m则 的m最小值是A B C 6323D 58已知在平行六面体 中，过顶点 A 的三条棱所在直线两两夹角均为 ，1ABCD 60且三条棱长均为 1，则此平行六面体的对角线 的长为1CA B C 32 5D 69已知 是双曲线 的右焦点，若点 关于双曲线的一条渐近线对F)0,(12bayx F称的点恰好- 3 -落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为A. B. C. D.235610已知直三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线 与 所1ABC 1ABC成的角的余弦值为A B C D1218143411在 中，角 的对边分别为 ， ,且 ，则BC,A
5、,abcos9cos2aBbA面积的最大值为A B C D5524598912已知 是椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，F2:1(0)xyCabPC线段 与圆 相切于点 (其中 为椭圆的半焦距)，P2239cQc且 ，则椭圆 的离心率为QFCA B C535213D 12二填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13已知三点 ， ， 共线，那么 _(,5)A(2,41)B(,32)Cabab14等差数列 的公差为 ，若 ， ， 成等比数列，则数列 的前 项 na48 nnS_ - 4 -15在 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 ， ，则C 85c2CB=
6、 cos16已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线交拋物线于 两20ypxFlF,A点，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，当 点坐标为 时， 为正三角形，AlEA03,yE则此时 的面积为OB_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 10 分）已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：方程p21xymyq表示离心率 的双曲线。若 为真命题， 为假命题，求实数215yx(,)epqp的取值范围。m18 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ，PABCDAB260ABC， PA2（）求证：平面 平面 ；（）若 ，求二面角
7、 的余弦值.BAP19 （本小题满分 12 分）已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c且 os2cACaBb-= PAD CB- 5 -（）求 的值； （）若 ， ，求ABC 的面积 SsinCA1cos4B=2b20 （本小题满分 12 分）已知在平面直角坐标系 xOy中，经过点 (02)， 且斜率为 k的直线 l，与椭圆21xy有两个不同的交点 P和 Q（）求 k的取值范围；（） 设椭圆与 x轴正半轴、 y轴正半轴的交点分别为 AB， ，是否存在常数 k，使得向量OPQ与 AB共线？如果存在，求 k值；如果不存在，请说明理由21 （本小题满分 12 分）如图，在四
8、棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ， -PABCDABPABCD2A， 分别是 的中点06ABCEF， ，（）证明: ；（）设 为线段 上的动点，若线段 长的HEH最小值为 ，求二面角 的余弦值5-AC22 （本小题满分 12 分）已知点 是圆 ： 上任意一点，点 与圆心 关于原点对称.线段CF216xyF的中垂线与 交于 点.FP（）求动点 的轨迹方程 ；E（）设点 ，若直线 轴且与曲线 交于另一点 ，直线 与直线 交4,0AQxEQAPF于点 ，B证明：点 恒在曲线 上，并求 面积的最大值.PABABCDPEF- 6 -深圳市高级中学 20182019 学年第一学期期中测试高二理科数学
9、答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D A A C D B D C C B A二填空题： 131； 14 ； 15 ； 16)1(n2543三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （本小题满分 10 分）已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆；命题 ：方程p21xymyq表示离心率 的双曲线。若 为真命题， 为假命题，求实数215yx(,)epqp的取值范围。m解：若命题 为真命题，则： ，解得：p102m13m若命题 为真命题，则： ，解得：q0514015若 为真命题， 为假命题，则 和 有且只有 1 个为真命题。ppqpq
10、若 为真命题， 为假命题，则： ，无解.035m或若 为假命题， 为真命题，则： ，解得： .pq10或 153m综上所述，实数 的取值范围为m1,5)318 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ，PABCDAB20ABC PAD CB- 7 -， PAB2C（）求证：平面 平面 ；PABCD（）若 ，求二面角 的余弦值.解：（1）取 中点 ，连接 、 、 ，ABOACPO四边形 是边长为 的菱形， D22BC ， 是等边三角形60B ， C3 ， PA12OA ， 22CPO ， 平面 BB 平面 ，平面 平面 CDACD（2） ， 2221()OPA由（1）
11、知，平面 平面 ， 平面 ，APO直线 两两垂直以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，,B xyz则 (0)(1,0)(,)(3,0)(,20)(,1)CDP ,AP设平面 的法向量为 ，C(,)xyzm由 ，得 ，取 ，得 ，0031(,3)m设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，PD(,)xyzn0PCDn02xzy1x得 ， 10 分 ，(1,03)n 7cos,由图可知二面角 为锐二面角，二面角 的的余弦值为 ACAPC2719 （本小题满分 12 分）已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c且 os2caBb-=OyxzBCDAP- 8 -（）求 的值； （
12、）若 ， ，求ABC 的面积 SsinCA1cos4B=2b解：（）由正弦定理得： sinisinabAC则cos2iCBB-=整理得 ，又in()sn()+p+= ，即si2iCA=i2.=（）由余弦定理可知 ，21cos4acbB+-由（）可知 ,insA=再由 ，解得 ， ，2b,1ca15sin64B=-15sin4SaB=20 （本小题满分 12 分）已知在平面直角坐标系 xOy中，经过点 (02)， 且斜率为 k的直线 l，与椭圆21xy有两个不同的交点 P和 Q（I）求 k的取值范围；（II）设椭圆与 x轴正半轴、 y轴正半轴的交点分别为 AB， ，是否存在常数 k，使得向量OP
13、Q与 AB共线？如果存在，求 k值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件，直线 l的方程为 2ykx，代入椭圆方程得22()1xk整理得 210kxk - 9 -直线 l与椭圆有两个不同的交点 P和 Q等价于 221840kk，解得 2k或 k即 k的取值范围为 2， （）设 12()()PxyQ，则 121()OPQxy，由方程， 1224k 又 1212()ykx 而 0)(1)ABA，所以 OPQ与 共线等价于 212()xy，将代入上式，解得 k由（）知 2或 ，故没有符合题意的常数 k21 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ， -PABCDAB
14、PABCD2A， 分别是 的中点06ABCEF， ，（1）证明: ；（2）设 为线段 上的动点，若线段 长的HEH最小值为 ，求二面角 的余弦值5AC（1）证明： 底面 为菱形， ，BD06B三角形 ABC 为等边三角形是 BC 的中点E，即 .ACEA平面 ， 平面PBDBCDABCDPEF- 10 -（2）22 （本小题满分 12 分）- 11 -已知点 是圆 ： 上任意一点，点 与圆心 关于原点对称.线段CF216xyF的中垂线与 交于 点.FP（1）求动点 的轨迹方程 ；E（2）设点 ，若直线 轴且与曲线 交于另一点 ，直线 与直线 交于4,0AQxEQAPF点 ，B证明：点 恒在曲线
15、 上，并求 面积的最大值.PAB解：（1）由题意得， 点坐标为 ，因为 为 中垂线上的点，所以 ，F1,0CFC又 ，所以 ，4PC42由椭圆的定义知动点 的轨迹为椭圆， 和 为两个焦点，且 ， . P 4a1c所以动点 的轨迹方程 ： .E2143xy（2）证明：设 点坐标为 ，则 点的坐标为 ，且 ，,0mnQ,mn2341n所以直线 ： ，即 ，QA4yx40nxy直线 ： ，即 ；PF11联立方程组 ，解得 ， ，则：0nxymn582Bmx325Bny222583435Bxy20645.2216015m所以点 恒在椭圆 上.BE设直线 ： ， ， ，PF1xty1,Pxy2,By则 ，消去 整理得 ，234t34690tt所以 ， ，126ty129yt- 12 -所以 ，2121124yyy26334tt214t从而 ，12PABSF22881ttt令 ，则函数 在 上单调递增，故2t3g,，min14g所以 ，即当 时， 面积取得最大值，且最大值为 .892PABS0tPAB92
