1、- 1 -20182019 学年第一学期高二期中考试数学试题（理科）【本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟】一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若直线过点 ,则此直线的倾斜角是(1,2)3)A B C D304560902已知直线 和直线 ,若 ,则 的值为1:0laxy2:()1laxy12laA B C D13若直线 不平行于平面 ,且 ,则下列结论成立的是A 内的所有直线与 异面 B 内不存在与 平行的直线aaC 内存在唯一的直线与 平行 D 内的直线与 都相交4下列说法中正确的个数是圆锥的轴截
2、面是等腰三角形;用一个平面去截棱锥,得到一个棱锥和一个棱台;棱台各侧棱的延长线交于一点;有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱A B C D01235圆 与圆 的位置关系为21:40Cxy2:(3)(1)xyA相交 B内切 C内含 D相离6若直线 恒过定点 ,则点 关于直线 对称的点的坐标为kP0xA B C D(2,1)(2,1)(2,1)(1,2)7已知等腰直角三角形的直角边的长为 ,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成4的曲面所围成的几何体的表面积为A B C D22821628某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 的正方形,两条虚线互相垂直,则4该几何体的体积
3、为- 2 -A B C D 1763012839若圆 与圆 相21:5Oxy22:()0()OxmyR交于 两点,且两圆在点 处的切线互相垂直,则线段A的长度为ABA B C456D 710已知直三棱柱 中， 则异面直线1CA 1120,BABC与 所成角的余弦值为1ABA B C D50550511当曲线 与直线 有公共点时，实数 的取值范围是2yxyxbbA B C D1,31,312,312,312已知函数 ,其中 是半径为 的圆 的一条弦, 为原点,()()fxMPNxRMN4O为单位圆上的点,设函数 的最小值为 ,当点 在单位圆上运动时, 的最大值为 3,则PftPt线段 的长度为N
4、A B C D3435363二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在答题卷指定位置）13直线 与直线 平行，则它们之间的距离为_210xy670xy14直线 过点 ,且不经过第四象限,则直线 的斜率的取值范围为_l()Al15过球 表面上一点 引三条长度相等的弦 ,且 两两夹角都是O,ABCD,AB,若 ,则该球的体积为_602BD16如图，正方体 的棱长为 , 为 的中1ACBD2P点, 为线段 上的动点,过点 的平面截该正方体Q1,AQ所得的截面记为 ,则下列命题正确的是_(写出所有S正确命题的编号)- 3 -当 时, 为四边形;当 时, 为等腰梯形;当
5、时, 与01CQS1CQS32CQS的交点 满足 ;当 时, 为五边形;当 时, 的面1DR1232积为 6三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题 10 分）已知直线 12:250,:0lxylxy（1）求直线 和直线 交点 的坐标;P（2）若直线 经过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数,求直线 的一般式方程l l18 （本小题 12 分）如图,在正三棱柱 中,已知 分别为 的中点,点 在棱 上,1ABC,DE1BCF1C且 求证:1EFD（1）直线 /平面 ;1（2）平面 平面 1A19 （本小题 12 分）已知圆心为 的圆经过点 和 ,且圆心在直线 上,C(1,
6、0)A(34)B3150xy（1）求圆心为 的圆的标准方程;（2）若点 在圆 上,求 的面积的最大值PP20 （本小题 12 分）- 4 -如图,已知多面体 ,1ABC均垂直于平面 , ,11ABC、 、 120ABC14,2AB（1）证明: 平面 ;1（2）求平面 与平面 所成的角的余弦值121 （本小题 12 分）如图,在各棱长均为 2 的三棱柱 中,侧面 底面1ABC1AC160,ABC（1）求侧棱 与平面 所成角的正弦值的大小;1（2）已知点 满足 , 是线段 上的一点且满足 /平面 ,DBACP1ADP1ABC请确定点 的位置P- 5 -22 （本小题 12 分）已知圆 ,22:(1
7、)0Cxaya（1）若圆 与 轴相切，求圆 的方程;C（2）已知 ,圆 与 轴相交于两点 (点 在点 的左侧),过点 任作一条x,MNM直线与圆 相交于两点 ,问:是否存在实数 ,使得2:4OyABa?若存在,求出实数 的值,若不存在,请说明理由ANMBa- 6 -2018-2019 学年第一学期高二期中考试数学参考答案（理科）1-12：CBBCD ADBAD CB 13. 14. 15. 16.51326,3217解：（1） .4 分（2） 6 分)1,（ 010yxx或18.证明：（1）连接 . 分别为 的中点, 且 , 四ED,1BC/BED1B边形 是平行四边形, 且 .又 且 ,B1
8、/E1A1且 , 四边形 是平行四边形 , .又 平1/A1AAD/E面 , 平面 , 直线 平面 .6 分C1/1（2）在正三棱柱 中, 平面 , 平面 , .又1BCBCABC1D是正三角形,且 为 的中点, .又 平面 , 平AA11面 , , 平面 ,又 平面 , ,又11D1EFEF平面 , 平面 , , 平面 ,EFCD1A1D1A又 平面 , 平面 平面 12 分1EFC19.解答：（1）因为线段 的中点 的坐标为 且 ,所以线段 的垂直平分线B(,2)ABkB的方程为 ,即 .由 得: ,又圆的半径2()yx30y3015xy(36)C,所以圆 的标准方程为: .6 分10rA
9、CC22()(6)4（2）因为 ,圆心到直线 的距离 ,所以点 到42BAB20()dP的距离的最大值为 ,所以 的面积的最大值为:10P. 12 分1()685220.（1）证明：以 的中点 为原点，分别以射线 为 轴的正半轴，建立空间ACO,OBC,xy直角坐标系 ,则： .因此xyz111(0,3),(0),(34)(02),(3,)A由 得 .由111(,32)2ABB1AB得 ,所以 平面 .5 分0 1AB1（2）设平面 的一个法向量为 ,则由1C()nxyz- 7 -得 .1(,),32)20(0,1nABxyzxyzC (9,36)n设平面 的一个法向量为 ,则由1()m得 .
10、(,),32)20(03mABxyzxyz (3,0)m所以 ,所以平面 与平面 所成的1cos,5n1ABC1角的余弦值为 .12 分021.（1）因为侧面 底面 ，作 于1 ACO1，所以 平面 。又 ，且各OABC60A棱长都相等，所以 2BO,3,1分故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，xyz则 ，）0,3(),10(，所以)3,1,BCA4 分)0,2(2(),(11 AC设平面 的法向量为 ,则由 得 ,1 )nxyz1320nBxyzAC(1)n设侧棱 与平面 所成角为 ,则 .6 分1A1BC16sico,4（2）因为 ,而 所以 ,又D(3,0)(3,0)AB(
11、230)BD因为 ,所以 .设 ,所以 ,因为 平面(30)(0)PyzPyz/P, 为平面 的法向量,所以 解得 ,由 ,得1ABC1n1BC,nD 1A,所以 ,所以 ,恰好为 点12 分3y0y(,3)1A22 解：（1）由 得: ,由 得: ,所22(1)0xaya 0)(2ax1a以圆 .4 分22:0Cy- 8 -（2） 令 ，得 ，即 所以 假设存0y0)1(2ax0)(1ax)0,(,1aNM在实数 ，当直线 AB 与 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ，a )(xky代入 得， ，42yx 42)(2kxk设 从而,),(21BA 2211,k因为 )()()(21221 axxkaxy而 axa2)(1)()( 12kk11422218k因为 ，所以 ，即 ，得 BNMA021axy0182k4a当直线 AB 与 轴垂直时，也成立故存在 ，使得 12 分x4BNMA
