1、120182019 学年第一学期高二第一次月考数学试题（理科）【本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟】一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知直线 平面 直线 ，则 与 是/a,babA相交直线或平行直线 B平行直线 C异面直线 D平行直线或异面直线2已知圆锥的高为 8，底面圆的直径为 12，则此圆锥的侧面积是A B C D43048603若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是nm, ,A若 则 B若 则,/n,nmn/C若 则 D若 则,4在直角坐标系 中，角 的顶点是原点，始
2、边与xOy轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则x )3,4(2sinA B C D5425251215一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A B3(4)3(8)C D86)4(6已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A B C 43D 47在正方体 中， 是底面1DCAO的中心， 是 中点， 是线段ABCMN上的动点，则直线 ， 的位置关系是1A异面且垂直 B平行 C相交 D异面2但不垂直8函数 的最大值为)6sin()3cos(51)( xxfA B1 C D654539已知三棱柱 ABC-A1B1C1的
3、底面 ABC 是等腰直角三角形, AB=AC=2,侧棱 AA1底面 ABC,且AA1=1，则直线 A1C 与平面 BCC1B1所成角的正切值为A B C D365055210如图所示的四个正方体图形中， 分别为正方体的两个顶点， 分别为其所A, PNM,在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号为/MNPA B C D11三棱锥 中， 点 分别为CD ,2,3BCAANM的中点，则异面直线 所成的角的余弦值是, MN,A B C D8743864612已知空间四边形 中， 和 都为等腰直角三角形，且AB二面角 的大小为 若空间四边形的四个顶点都,2DC,3在一个半径为 的球的球面上，则三棱锥 的体
4、积为CA B C D36836128216二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在答题卷指定位置）13一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形,其正(主)视图如右图所示，3则该四棱锥的侧面积是 14在 中， 所对的边分别为 ，且 ， ，ABC, ,abc21cos4C则 3sin2ic15已知三棱锥 平面 ，其中 ，OABCO,90,B0A， ， 均在某个球的球面上，则该球的表面积为 15,16棱长为 1 的正方体 中， 分别是 的中点.1DAGFE, 1,CB 在直线 上运动时，三棱锥 体积不变；PP 在直线 上运动时， 始终与平面 平行；QEFGQ1AC平面
5、 平面 ；BD11AC连接正方体 的任意的两个顶点形成一条直线，其中与棱 所在直线异面的有 条；110其中真命题的编号是 .（写出所有正确命题的编号）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，在三棱柱 中，侧棱与底面垂直，1CBA， ， ，点 是 的中点3AC45D（1）求证： 平面 ；/11（2）求证： ；18 中，角 A，B，C 所对的边分别为 已知 .,abc63,cos,2AB（1）求 的值；b（2）求 的面积.19如图，已知 BC 是半圆 的直径，A 是半圆周上不同于 B、C 的点，过 作 AC 的垂线交OO4半圆周于 F，梯形 ACDE 中，DE AC，且 AC
6、=2DE，平面 ACDE 平面 ABC.求证：/ （1）平面 ABE 平面 ACDE；（2）平面 OFD 平面 BAE/20如图，三棱锥 ABCP中， 底面 ABC，90B， 2， E为 P的中点，点 F在 PA上，且F2.（1）求证： E平面 ； （2）求直线 与平面 F所成角的正弦值.21如图，三棱柱 中， 1CBA111,BA（1）求证： ；1（2）若 ，问 为何值时，三棱柱 体积7,3,21 1CBA最大，并求此最大值。522如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD 底面 ABCD，AB/DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱 SB 上的一点，平面 EDC 平面 SBC
7、（1）证明：SE=2EB；（2）求二面角 A-DE-C 的大小.62018-2019 学年第一学期高二第一次月考数学参考答案（理科）1-12：DDBBC BACAB AA 13. 14. 4 15. 16.54117解：连接 BC1交 B1C 与点 O，连接 OD.四边形 BB1C1C 为矩形，点 O 为 BC1的中点. 2 分又点 D 为 BA 的中点 OD AC1 OD 平面 CDB1， AC1 平面 CDB1 AC1平面 CDB1 5 分（2） AC BC 7 分22A CC1平面 ABC, ， 8 分C1又 CC1 BC=C AC面 BB1C1C B1C 面 BB1C1C 10 分B1
8、8.解：（）由题意知： ， 2 分23sincosA， 4 分6siniiincs2BA由正弦定理得： 6 分s32siniiabaBA（）由 得 .2Bn)co(AB, ， BCsisin)si(in 316)3(9 分因此， 的面积 . 12 分AB 2132si1CabS19.证明：（1）BC 是半圆 O 的直径，A 是半圆周上不同于 B，C 的点ACAB2分平面 ACDE平面 ABC，平面 ACDE平面 ABC=ACAB平面 ACDEAB平面 ABE平面 ABE平面 ACDE5 分（2）如图，设 OFAC=M，连接 DMOFAC M 为 AC 的中点AC=2DE，DEAC DEAM，D
9、E=AM 四边形 AMDE 为平行四边形DMAE DM平面 ABE，AE 平面 ABE DM平面 ABE8 分 O 为 BC 中点OM 为三角形 ABC 的中位线 OMAB7OM平面 ABE，AB平面 ABE OM平面 ABE11 分OM平面 OFD，DM平面 OFD，OMDM=M平面 OFD平面 ABE12 分20 解答：（1）证明： PB底面 AC，且 底面 ABC， AC 1 分由 90B，可得 2 分又 P ， 平面 3E平面 ， ACBE 4 分, 为 中点， P 5 分C， 平面 6 分（2）如图，以 为原点建立空间直角坐标系. 则 )1,0(2,()0,(),(EPA 7 分43
10、3BFBA. 8 分设平面 E的法向量 (,)mxyz. 由 0,mBFE得0342zyx，即 （1） 0zx （2）取 1x，则 ,zy， (,1)m. 10 分，)0,2(AB36,cosAB直线 与平面 EF所成角的正弦值 . 12 分21.（1）证明：三棱柱 中， ，1CBA1ABC1又 , BA1，面又 又 平面 (4 分) 1C ，面 1111.， 所 以（2） 设 作 于 连接 , 平面x， BCH1,AH,BCA8平面 ， 又 ，BCHA1BC,A7,3,2BCA,22 H2211 7xA xxVVBCAABCCBA 227171313111因 = = （10 分）27x247
11、x26-+x（ ）故当 即三棱柱体积取到最大值 （12 分）4时 ， 1时 ， 3722.法一：()连接 BD,取 DC 的中点 G，连接BG,由此知 即 为1,DGCBDC直角三角形，故 .又 ,所以，A,SS平 面 故.BC平 面 ,E作 K，为 垂 足 ， 因 平 面 平 面故 与,DCBK平 面 ，平面 SBC 内的两条相交直线 BK、BC 都垂直DE平面 SBC，DEEC,DESB26SB3EA2 26-,-3DSEB所以，SE=2EB 6 分() 由 知25,1,SAAAS.21D=3E又故 为等腰三角形.D取 中点 F,连接 ,则 .AF26, 3EAF连接 ，则 . 所以， 是
12、二面角 的平面角.G/CGADEC9连接 AG,AG= , ,2263FGDF,1cosA所以，二面角 的大小为 120. EC12 分解法二：以 D 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如Dx图所示的直角坐标系 ，yz则 A(1,0,0)，B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)（） (0,2-)(-1,0)SCB设平面 SBC 的法向量为 =(a,b,c)n由 ，得,n,0SCBA故 2b-2c=0,-a+b=0令 a=1，则 b=c,c=1, =(1,1,1)又设 ，则SEB(0)2(,1,),(,20)1DDC设平面 CDE 的法向量 =(x,y,z)m由 ,得 ，,EE故 .0,211xyzy令 ，则 .2x(,0)由平面 DEC平面 SBC 得 ,n,2A故 SE=2EB 6 分（）由（）知 ，取 DE 的中点 F，则 ，2(,)3E11(,)(,)33FA故 ，由此得 又 ，故 ，由此得0FADDE4C0ECD，C向量 与 的夹角等于二面角 的平面角A于是 1cos, 2|F所以，二面角 的大小为 12 分ADEC0
