1、- 1 -和诚中学 2018-2019 学年高三文科 11 月月考数学试题考试时间 120 分钟, 满分 150 分一 选择题（每空 5 分，共 60 分）1设集合 ，则 等于（ ）A B C D 2已知 是虚数单位，复数 ，若在复平面内，复数 与 所对应的点关于虚轴对称，则A B C D 3已知等比数列 中有 ，数列 是等差数列，且 ，则 （ ）A 2 B 4 C 8 D 1 64已知向量 ，点 ， ，则向量 在 方向上的投影为（ ）A B C D 5已知函数 ，则下列结论错误的是( )A 的最小正周期为 B 的图象关于直线 对称C 的一个零点为 D 在区间 上单调递减6已知函数 的导函数为
2、 ，且满足 （其中 为自然对数的底数） ，则 （ ）A 1 B -1 C D 7设奇函数 f (x )的定义域为 R , 且 , 当 x 时 f (x) , 则 f (x )在区间 上的表达式为A B C D 8下列说法不正确的是（ ）A 方程 有实根 函数 有零点0fxyfxB 有两个不同的实根236- 2 -C 函数 在 上满足 ，则 在 内有零点yfx,ab0fabyfx,abD 单调函数若有零点，至多有一个9等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 的值为（ ）A B C D 10已知命题 ，使 ；命题 ，都有 ，下列结论中正确的是A 命题“ p q”是真命题 B 命题“ p q”是真命
3、题C 命题“ p q”是真命题 D 命题“ p q”是假命题11已知函数 的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为 ，则 的值为（ ）A B C 1 D 212 如图，在 中，点 是线段 上两个动点， 且 ，则的最小值为 A B C D 二、填空题13(5 分)已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为_14 （5 分）等比数列 的前 项和为 ，且 ，则nanS12n_46a15 （5 分）在同一坐标系中， 与 的图象关于 轴对称； 是奇函数； - 3 - 的图象关于 成中心对称； 的最大值为 ； 的单调增区间： 。以上五个判断正确有_（写上所有正确判断的
4、序号） 。16在锐角三角形 中， 分别是角 的对边，且 .若ABC,abcABC、 、 32sin0acA，则 的最大值为_ （5 分）2cab三、解答题17. (本小题满分 10 分）解关于 的不等式 .xlog4log2xxaa18 （12 分）已知 且 ，试比较 与 的大小；R01（2） ，解关于 的不等式 .x20,xxR19(12 分)已知 .2e1xfa（1）当 时，求证： ；0af（2）当 时，试讨论方程 的解的个数.x20(12 分)设数列 是等差数列，数列 是等比数列，公比大于零，且。（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 n 项和 。21(12 分)设 的内角
5、的对边分别为 已知 （1）求角 ； （2）若 ， ，求 的面积- 4 -22数列 满足递推式（1）求 a1， a2， a3；（2）若存在一个实数 ，使得 为等差数列，求 值;（3）求数列 的前 n 项之和.参考答案1B由题得 .故答案为：B2A【详解】复数 与 所对应的点关于虚轴对称，故选3C 在等比数列 中有 ，所以 ， ，所以 ，又 是等差数列， =8，答案选择 C。4C 详解： ，点 C（1，0） ，D（4，5） ，可得 =（5，5） ， =25+15=15，| |=5 ，可得向量 在 方向上的投影为：= 故选：C5B 函数 ，周期为： 故 A 正确；函数图像的对称轴为， 不是对称轴，故
6、 B 不正确；函数的零点为- 5 -，当 k=1 时，得到一个零点为 ；函数的单调递减区间为：，解得 x 的范围为 ，区间 是其中的一个子区间，故 D 正确. 故答案为：B.6D 已知 f（x）=2xf（e）+lnx， 其导数 f（x）=2f（e）+ ，令 x=e，可得f（e）=2f（e）+变形可得 f（e）=- ，故选 D.7B 当 x 时，x0，2，x+44，6，又当 x4，6时，f（x）=2 x+1，f（x+4）=2 x+4 +1又f（x+4）=f（x） ，函数 f（x）的周期为 T=4，f（x+4）=f（x） ，又函数 f（x）是 R 上的奇函数，f（x）=f（x） ，f（x）=2 x
7、+4 +1，当 x2，0时，f（x）=2 x+4 1故选：B8C【解析】A根据函数零点的定义可知：方程 f（x）=0 有实根函数 y=f（x）有零点，A正确B方程对应判别式=9-4（-1）6=9+24=330，-x 2+3x+6=0 有两个不同实根，B 正确C根据根的存在性定理可知，函数 y=f（x）必须是连续函数，否则不一定成立，比如函数f(x) 满足条件 f（-1）f（1）0，但 y=f（x）在（-1，1）1,01 2,x或内没有零点，C 错误- 6 -D若函数为单调函数，则根据函数单调性的定义和函数零点的定义可知，函数和 x 轴至多有一个交点，单调函数若有零点，则至多有一个，D 正确故选
8、 C9C【解析】【分析】根据等差数列的求和公式进行变形可得 ，结合条件代入 后可得所求的值【详解】由等差数列的求和公式可得 ，故选 C10A由判断 ，所以为假命题；命题 ，所以为真命题，所以命题“ p q”是真命题，故选 A11D详解： 函数 的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数 在区间 内的图象相切在区间 上， 的解析式为 ，因为切点坐标为 ，切线斜率 ，由点斜式得切线方程为 ，即 ，直线过原点， ，得 ，化简- 7 -，故选 D. 12D 【解析】分析：设 ，由 共线可得，由此 ,利用基本不等式可得结果.详解：如图可知 x， y 均为正，设 ，共线， ，则 ，则 的最小值为 ，故选
9、 D.13因为平面向量 满足 ，则 ，解得 ，故答案为 .14 12【解析】 ，74456321aS故答案为：11215【详解】对于，由于 ，则在同一坐标系中， 与的图象关于 轴对称，故正确；对于 ，函数 的定义域为 ，又 ，所以函数是奇函数，故正确；- 8 -对于，因为 的对称中心 ，将函数 的图象向左平移 2 单位，再向上平移 1 单位，可得到 的图象的对称中心为 ，所以正确；对于， ，因为 ，所以 ，所以当 x=0 时函数取得的最小值为 ，故不正确； 函数 的单调增区间为 ，故不正确综上可得正确故答案为：164【解析】由 及正弦定理，得 ， 32sin0acA3sin2is0inACA，
10、 ABC 是锐角三角形， ， ，由余弦定理， sinCc3，即 ， ，化2cos43ab24ab224abab为 ， ，当且仅当 时取“=” ，故 的最大值是 41617试题解析：由题意： 40x1x当 a1 时， 是增函数 logay42xx23)0xx（2log3x当 01 1 xlog23.18试题解析：解：（1）若 ，则 ；1a当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， 0a1a01a1- 9 -；1a（2）当 时，不等式的解集为 ；0|0x当 时，若 ，211axa则 ，12,x由第（1）问的结论，可知：当 时，不等式的解集为 ；a1|xa当 时，不等式的解集为 ；0|当 时，不等
11、式的解集为 或 ；1xa当 时，不等式的解集为 或 ；a1当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 .1|1x19 （1）证明见解析；（2） 时，方程一个解；当 且 时，方程两个解.2a12a0【解析】试题分析：（1） 等价于 ，令2exf2e10xa，利用导数研究函数的单调性求出 ，即可得结论；2e1xha minh（2）问题转化为函数 的零点个数，通过两次求导，讨论三种情况，2e1xha分别判断函数 单调性及最值情况，从而可得方程解的个数.x试题解析：（1）要证 ，2exf只要证 （*）2e10xa令 ，则 ，hxe21xha而 ，所以 在 上单调递增，又 ，e2x,0h所以 在
12、上单调递减，在 上单调递增，,00 ，即 ， （*）式成立minhxhx所以原不等式成立.- 10 -（2）问题转化为函数 的零点个数.2e1xha而 ， .e21xha 令 ，解得 .0ln所以 在 上单调递减，在 上单调递增.x,ln2,a所以 ，minl21ha设 ， ，2alg而 ，1ln则 在 上单调递减，在 上单调递增，x,0,1所以 ，即 （当 即 时取等）.magminhx12a1当 时， ，则 恒成立.12in所以 在 上单调递增，又 ，则 有一个零点；hxR0hx2当 时， ， ，alaminl20hxa有 在 上单调递减，在 上单调递增，x,n2,且 时， e10x则存在
13、 使得 ，又10x1hh这时 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增,1,xhx1,所以 ，又 时， ， 1xx2e0xa所以这时 有两个零点；h3当 时， ， .02aln0aminl2hx有 在 上单调递减，在 上单调递增，x,l,a且 时， ，e21xh则存在 使得 .又 ，20x0h- 11 -这时 在 上单调递增，在 上单调递减， 在 上单调递增.hx2,2,0xhx0,所以 .又 时， ， .20x2e1xha所以这时 有两个零点；x综上： 时，原方程一个解；当 且 时，原方程两个解.12a12a020 （1） ；（2） 。【详解】（1） ，解得 ， ,，21 【详解】（
14、1）b=a（cosCsinC） ，由正弦定理得 sinB=sinAcosCsinAsinC，可得 sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosCsinAsinC，cosAsinC=sinAsinC，由 sinC0，得 sinA+cosA=0，tanA=1，由 A 为三角形内角，可得 （2）因为 ，- 12 -所以由正弦定理可得 b= c，因为 a2=b2+c22bccosA， ，可得 c= ，所以 b=2，所以 22 【详解】（1）数列a n满足递推公式 an=3an1 +3n1（n2） ，其中 a4=365令 n=4，则： ，解得：a 3=95令 n=3，则： ，解得：a 2=23令 n=2，则： ，解得：a 1=5（2）假设存在一个实数 ，使得 为等差数列，则： ，由于：a 3=95，a 2=23，a 1=5，解得： 故：把递推公式 an=3an1 +3n1（n2） ，转化为： ，则：数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列则： ，解得： （3）由 ，转化为： ，令： ，所以：数列b n的前 n 项和，Sn=131+232+n3n，- 13 -则：3S n=132+233+n3n+1，得： ，故： ，令： ，数列c n的前 n 项和为 Hn则：H n= = ，所以：数列a n的前 n 项和 Tn，=
