1、1育才学校 2018-2019 学年度第一学期期中考试卷高二实验班理科数学试题满分：150 分，考试时间：120 分钟； 命题人：第 I 卷 选择题 60 分一、选择题（12 小题，共 60 分）1.设 表示平面， 表示直线，则下列命题中，错误的是( ),lA. 如果 ，那么 内一定存在直线平行于B. 如果 ， ， ，那么llC. 如果 不垂直于 ，那么 内一定不存在直线垂直于D. 如果 ，那么 内所有直线都垂直于2.在正方体 中， 和 分别为 、 的中点，那么异面直线1ABCDMNBC1与 所成角的大小为（ ）MNA. B. C. 30 45 60D. 93.在三菱柱 中， 是等边三角形，
2、平面 ， ， 1ABCABC1ABC2A，则异面直线 和 所成角的正弦值为（ ）121A. B. C. 7122D. 324.点 在平面 外，若 ，则点 在平面 上的射影是 的（ PABCPBCPABCABC）A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心5.已知两点 ， ，直线 过点 且与线段 相交，则直线23M， 2N， l1P， MN的斜率 的取值范围是（ ）kA. B. 或 C. D. 44k334k3k6.若 ， 的图象是两条平行直线，则 的1:20lxmy2:80lmxym值是（ ）A. 或 B. C. D. 12m的值不存在7.过点 的直线与圆 相切，且与直线 垂直，则 （ 2,
3、P25xy10axya）A. 2 B. 1 C. 12D. 18.直线 恒过定点 ，则以 为圆心， 为半径的圆的方程为（ ）1ykxC5A. B. 225xyC. D. 2215xy9.某几何体的三视图如图所示（单位： ）则该几何体的体积（单位： ）是（ ）3A. B. C. D.10.九章算术是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木
4、材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦 尺，弓形1AB高 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ）CD（注：1 丈=10 尺=100 寸， ， ）3.145sin2.13A. 633 立方寸 B. 620 立方寸 C. 610 立方寸 D. 600 立方寸11.在正方体 中， 为棱 上一动点， 为底面 上一动点， ABCDPAQABCD是 的中点，若点 都运动时，点 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何MPQ,M体是（ ）4A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分12.如图所示，平面四边形 ABCD 中， AB AD CD1， BD ， BD
5、CD，将其沿对角线 BD折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A. B. 3 C. D. 2第 II 卷 非选择题 90 分二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.半径为 10 的球面上有 A、B、C 三点，且 ，则球心 O 到平面83,60ABCABC 的距离为_.14.已知矩形 ,沿对角线 将它折成三棱椎 ，若三棱椎 外接球的体积为 ，则该矩形的面积最大值为 .15.如图，正方体 的棱长为 1， 为 的中点， 为线段 上的1ABCDPBCQ1C动点，过点 A、P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为 .则下列命
6、题正确的是S_(写出所有正确命题的编号)当 时， 为四边形；当 时， 为等腰梯形；当102S12QS5时， 为六边形；当 时， 的面积为 .314CQS1CQS6216.已知经过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， 两点，21M， C21xyAB则直线 的方程为_.AB三、解答题（70 分）17. （10 分）已知直线 ，直线1:0lxy2:30lxy（1）求直线 与直线 的交点 的坐标；1l2P（2）过点 的直线与 轴的非负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 （ 为PxAyB4AOBS坐标原点） ，求直线 的斜率 .ABk18. （12 分）如图，正方体 棱长为 ，连接 ， ， ， CDB
7、aCD， ， ，得到一个三棱锥，求：BDC（1）三棱锥 的表面积与正方体表面积的比值；ABCD（2）三棱锥 的体积.19. （12 分）如图，在直三棱柱 中，1ABC， ， ， ， 分别是 ， 的中点.AB12A1BEF16（）求证：平面 平面 ；ABE1C（）求证： 平面 ；1/CF（）求三棱锥 的体积.20. （12 分）已知圆 与圆221:4xy22:4Cxy（1）若直线 与圆 相交于 两个不同点，求 的最0mymR1AB， AB小值；（2）直线 上是否存在点 ，满足经过点 有无数对互相垂直的直线 和 ，它们分3xP1l2别与圆 和圆 相交，并且直线 被圆 所截得的弦长等于直线 被圆 所
8、截得的弦长？1C21lC2C若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由21. （12 分）在正方体 ABCD-A1B1C1D 中，M 为 DD1的中点，O 为 AC 的中点，AB=2（I）求证：BD 1平面 ACM； （）求证：B 1O平面 ACM； （）求三棱锥 O-AB1M 的体积 22. （12 分）如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是 BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三7角形，有关数据如图所示（1）若 N 是 BC 的中点，证明：AN平面 CME；（2）证明：平面 BDE平面 BCD（3）求三棱锥 DBC
9、E 的体积8高二实验班理科数学试题参考答案与解析1.D【解析】由上图可得选项 A 中： 内存在直线 ,故 A 正确；选项 B 中：直1C线 即为直线 ,故 B 正确；选项 C 中：可用反证法假设存在直线l 1B,a，与已知矛盾，故 C 正确；选项 D 中: ,故 D 错误.综上应选 D.11,A2.C【解析】连接 ， 为异面直线 与 所成的角，1,A/MNCMNAC而 为正三角形， 故选 C1D160,3.A【解析】如图，作 交 的延长线于 ，连接 ，则/BAD1就是异面直线 和 所成的角（或其补角） ，由已知1BC1， ，由226D116,23BC，知 异面直线 和 所成的角为1190,DB
10、CA直角，正弦值为 ，故选 A.4.A【解析】设点 作平面 的射影 ，由题意， PAO底面 都为直,PAB,PBC角三角形， ，即 为三BC,AO角形的外心，故选 A.5.B【解析】如图所示，直线 的斜率为 ；PM1342PMk直线 的斜率为 ，当斜率为正时， PN1234Pk9，即 ；当斜率为负时， ，即 ，直线的斜率 的取值范围是PNk34kPMk4kk或 ，故选 B.6.B【解析】显然 或 时两条直线不培训，则由题意可得0m10，解得 故选：B281 7.A【解析】因为点 P(2,2)满足圆 的方程，所以 P 在圆上，25xy又过点 P(2,2)的直线与圆 相切，且与直线 axy+1=0
11、 垂直，1所以切点与圆心连线与直线 axy+1=0 平行，所以直线 axy+1=0 的斜率为： .故选 A.20a8.B【解析】直线 ，化为 ， 时，总有 ，即直线1kx1ykx（ ） 2x1y直线 过定点 ，圆心坐标为 ，又因为圆的半径是 ，所以圆的标准2ykx2（ ， ） 2（ ， ） 5方程是 ，故选 B.5y9.B【解析】由三视图易知该几何体为三棱锥.该几何体的体积 .故答案为:B10.A【解析】如图： (寸)，则 (寸)， (寸)10AB5AD1C设圆 的半径为 (寸)，则 (寸)OxOx在 中，由勾股定理可得：RtDA，解得 (寸)，225113，即 ，则5sinO2.5AD45A
12、OB平方寸4106.336CBACBASS弓 形 扇 形故该木材镶嵌在墙中的体积 立方寸 。故答案选VACB弓 形 A11.A【解析】由题意知：当 在 处， 在 上运动时， 的轨迹为过 的中点，PQM在平面 内平行于 线段（靠近 ） ，当 在 处， 在 上运动时， ABPAQD10的轨迹为过 的中点，在平面 内平行于 线段（靠近 ） ，当 在MAADAAQ处， 在 上运动时， 的轨迹为过 的中点，在平面 内平行于BP MBB线段（靠近 ） ，当 在 处， 在 上运动时， 的轨迹为过 的中点，BQPMD在平面 内平行于 线段（靠近 ） ，当 在 处， 在 上运动时， AAAC的轨迹为过 的中点，
13、在平面 内平行于 线段（靠近 ） ，当 在 处，MBCDBPA在 上运动时， 的轨迹为过 的中点，在平面 内平行于 线段（靠QCDM近 ） ，同理得到： 在 处， 在 上运动， 在 处， 在 上运动； ABPAQPAQCD在 处， 在 处， 在 上运动， 都在 上运动的轨迹，进P ,B一步分析其它情形即可得到 的轨迹为棱柱体，故选 A.12.A【解析】由题意平面四边形 ABCD 中，AB=AD=CD=1， BD ， BD CD，将其沿对角2线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 顶点在同一个球面上，可知 ABAC，所以 BC 是外接球的直径，所以 BC=
14、 ，球的半径为： 332；所以球的体积为: 34213.6【解析】由题意在 中， ，由正弦定理可求得其外ABC83,60cmACB接圆的直径为 ，即半径为 ，又球心在面 上的射影是 外心，故球83160sin ABC心到面的距离，求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形，设球面距为，球半径为 ，故有 ，解得 ，故答案为 .d22836dd614. 【解析】因为在矩形 中， 和 均为以 为斜边的直角三角形，则 的中点 为三棱锥 的外接球的球心， 为外接球的直径，设外接球的半径为 ，则 ，解得 ，即 ，则该矩形的面积 (当且仅当 时取等号)，即该矩形的面积最大值为 8.故答案为：8.1
15、5.11【解析】连接 并延长交 于 ，再连接 ，对于，当 时， 的延长线APDCMQ102CQM交线线段 与点 ，且 在 与 之间，连接 则截面为四边形 ，正确；1N1ANAPN当 时，即 为 中点，此时可得 ，故可12CQ1C115/,42PQAD得截面 为等腰梯形，故正确；由上图当点 向 移动时，满足 ，只1APDC10CQ需 上取点 满足 ，即可得截面为四边形 ，故正确；当M/ M时，只需点 上移即可，此时的截面形状是下图所示的 ，显然为五边34CQ APRS形，故不正确；当 时， 与 重合，取 的中点 ，连接 ，可证 ，且1CQ1C1ADFA1/PCAF12，可知截面为 为菱形，故其面
16、积为 ，故1PCAF1APCF16322ACPF正确，故答案为.16.320xy【解析】结合点的坐标和圆的方程可得直线 与圆相切，切点为 ，1y1,且直线 与直线 垂直，其中： ，故 ，ABCM023CMk3ABk直线 AB 的点斜式方程为： ，整理为一般式即： .13yx20xy17.（1） ；（2） 或 ,2k【解析】 （1）联立两条直线方程： ，解得 ，03xy1xy所以直线 与直线 的交点 的坐标为 1l2lP2,1（2）设直线方程为： .1ykx令 得 ，因此 ；0x0,B令 得 ，因此 y2k2,Ak1002k或， 解得 或 114AOBS318.（1） ；（2）3:3a【解析】
17、（1）正方体 的棱长为 ，则三棱锥 的棱长为 ，CDABaABCD2a表面积为 ，正方体表面积为 ，三棱锥 的表面积22343a26与正方体表面积的比值为 :（2）三棱锥 的体积为ABCD33142aa19.（）证明：在三棱柱 中，1ABC底面 ，所以 .1B13又因为 ， ，ABC1B所以 平面 ， 又 平面 ，E所以平面 平面AB1C（）证明：取 的中点 ，连接 ， .GEF因为 ， ， 分别是 ， ， 的中点，EF1BA所以 ，且 ， ./GAC2112C因为 ，且 ，所以 ，且 ，11/FE1GC所以四边形 为平行四边形，所以 . FE1又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . GAB
18、1CAB1/ABE（）因为 ， ， ，所以 .12C23C所以三棱锥 的体积E. 1 31332ABCVS20.（1） ；（2）存在点 满足题意3P，【解析】 （1）直线 过定点 ， 取最小值时， 10mxymR1M， ABABCM，22101214ABC14（2）设 ，斜率不存在时不符合题意，舍去；斜率存在时，则3Pa，即 ， 即 ，1:lykx30kxyak21:3lyxak30xky1221dd，由题意可知，两弦长相等也就是 和 相等即可，故 ，12d12d ，化简得： 对任意2231ak29430akak恒成立，故 ，解得k29014 3a3故存在点 满足题意P，21.（I）证明： 连
19、结 BD，设 BD 与 AC 的交点为 O， AC，BD 为正方形的对角线，故 O 为 BD 中点； 连结 MO， O，M 分别为 DB，DD 1的中点， OMBD 1， OM平面 ACM，BD 1平面 ACM BD 1平面 ACM （II）ACBD，DD 1平面 ABCD，且 AC平面 ABCD， ACDD 1；且 BDDD 1=D，AC平面 BDD1B1 OB1平面 BDD1B1，B 1OAC， 连结 B1M，在B 1MO 中 3,6,311MO 22OB 1OOM（10 分） 又 OMAC=O，B 1O平面 AMC； （II） V= 126321522.（1）证明：连接 MN，则 MN
20、是BCD 的中位线，MNCD ，MN= CD由侧视图可知 AECD，AE= CD，MN=AE，MN AE四边形 ANME 为平行四边形，ANEMAN平面 CME，EM平面 CME，AN平面 CME（2）证明：由俯视图可知 AC=AB，N 是 BC 的中点，ANBC，又平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面 BCD=BC，AN平面ABC，AN平面 BCD由（1）知 ANEM，EM平面 BCD又 EM平面 BDE，平面 BDE平面 BCD（3）解：由俯视图得 ABAC，AB=AC=2，BC= AB=2 ，N 是 BC 中点，AN= BC= ，EM= 由侧视图可知 CD=4，CDBC，SBCD= BCXCD= X2 X4=4 VDBCE=VEBCD= SBCD|EM|= 4 = 15
