1、1育才学校 2018-2019学年度第一学期期中考试高二实验班文科数学试题满分：150 分，考试时间：120 分钟； 命题人：第 I卷 选择题 60 分一、选择题（12 小题，共 60分）1.直线 的斜率为 ，其中点 ，点 在直线 上，则（ ）MN21N， M1yxA. B. C. D. 57， 45， 2， 23，2.设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（ ）A.若 ab，a， ，则 B.若 ab，a，b，则 C.若 a，则 或 D.若 ， ，则 3.如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）A. B. C. D.4.已知 是 轴上的
2、两点，点 的横坐标为 ，且 ，若直线 的方程为,ABxP2PABPA，则直线 的方程是（ ）10xy2A. B. C. D. 270xy50xy240yx15.在正方体 中， 为棱 上一动点， 为底面 上一动点， 1ABCDP1AQABCD是 的中点，若点 都运动时，点 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何MPQ,M体是（ ）A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分6.若直线 与 互相垂直，则实数 （ ）210mxy210xymA. B. C. 或 1 10D. 7.如图所示，正四棱锥 的底面面积为 ，体积为 ， 为侧棱 的中点，PABCD32EPC则 与 所成的角为（ ）PAB
3、EA. B. C. 3045 60D. 98.已知正方体 的棱长为 1，在正方体的侧面 上的点 到点 距1ABCD1BCPA离为 的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是（ ）233A. B. C. D. 9.已知两点 ， ，若直线 上至少存在三个点 ，使得1,0M1,0N2ykxP是直角三角形，则实数 的取值范围是（ ）NPAkA. B. C. ,33,0,D. 1,5,10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A. cm3 B. cm3 C.
4、cm3 D. cm311.已知四棱锥 的底面是边长为 2的正方形，SABCD，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）SD平 面 ， 且 SABCD4A. B. C. 943D. 121012.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为 ，底面正方形的边长为 现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球61形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计） （ ）.A. B. 42 2C. D. 121
5、第 II卷 非选择题 90 分二、填空题（每小题 5分，共 20分）13.如图，在边长为 4的正方形纸片 中， 与 相交于点 ，剪去 ，ABCDBOAB将剩余部分沿 折叠，使 重合，则折叠后以 为顶点的四面体,OCD,O,ACD的体积为_14.如图，已知正方体 的棱长为 ，点 是面 的中心，点 是1ABCD1P1ADQ面 的对角线 上一点，且 平面 ，则线段 的长为1AB1PQAB_515.在三棱台 中， ，点 、 分别是棱 、 的中点，则在三棱台的各棱所在的直线中，与平面 平行的有_16.若圆 被直线 截得的弦长为 ，则22:4(0)Cxaya:30lxy23_a三、解答题（70 分）17.
6、 （10 分）已知 的三个顶点 ， ， ，求：AB4,6A4,0B1,4C（1） 边上的高 所在直线的方程；CD（2） 的垂直平分线 所在直线的方程；EF（3） 边的中线的方程.18. （ 12分）已知圆 过两点 ， ，且圆心 在直线C3,M1,5NC上20xy（）求圆 的标准方程；（）直线 过点 且与圆 有两个不同的交点 ， ，若直线 的斜率 大于 0，l2,5CABlk求 的取值范围；k（）在（）的条件下，是否存在直线 使得弦 的垂直平分线过点 ，若存l 3,1P在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由l19. （12 分）如图所示，空间四边形 中， 分别在 上，ABCDEFG、 、 A
7、BCD、 、且满足 ， ，过 的平面交 于 ，:2:1AEBCF:3:1G、 、 H连接 .H6（1）求 ；:AHD（2）求证： 三线共点.EFGB、 、20. （12 分）如图，在正方体 中，棱长为 ，E 是棱 的中点1ACDa1D D1C1B1A1 DCBA E（1）求三棱锥 的体积；BE1（2）在棱 上是否存在一点 F，使 平面 ？证明你的结论。1CD1/1ABE21. （12 分）正方体 中， 为 中点， 为 中点.（1）求证： 平面 ；（2） ，求三棱锥 的体积.22. （12 分）如图，在直四棱柱 中，底面四边形 为菱形， 1ABCDABCD7， ， 是 的中点. 12AB60AC
8、EBC（1）图 1中，点 是 的中点，求异面直线 所成角的余弦值；F1AC,EFAD（2）图 2中，点 分别是 的中点，点 在线段 上， ，求HN、 1D、 M1123AMD证：平面 AEH平面 .M8高二实验班文科数学试题参考答案与解析1.B【解析】设点 , ，则1Mx1224MNxkxx，选 B.4,52.D【解析】A：记 a，b 确定的平面为 ， ，在平面 内， ， ， ，从而根据线面平行的判定可知 A不符合题意；B：等价于两个平面的法向量垂直，根据面面垂直的判定可知 B不符合题意；C：根据面面垂直的性质可知 C符合题意；D： 或 ，故 D符合题意， 故答案为：D3.B【解析】由三视图可
9、知该几何体为正方体中的内接正四面体，正四面体的棱长为 ，设内切球的半径为 r，则 易得： 内切球的表面积为 故答案为：B4.B【解析】 点 的横坐标为 ，P23,点 的 纵 坐 标 为 ，又 AB的斜率互为相反数，P，的斜率为 1则直线 的方程是 ，即 。故答案选B32yx50yB5.A【解析】由题意知，当 P在 A处，Q 在 AB上运动时，M 的轨迹为过 AA的中点，在平面 AABB 内平行于 AB的线段（靠近 AA） ，当 P在 A处，Q 在 AD上运动时，M 的轨迹为过 AA的中点，在平面 AADD 内平行于 AD的线段（靠近 AA） ，当 Q在 B处，P 在 AA上运动时，M 的轨迹为
10、过 AB的中点，在平面 AABB 内平行于AA的线段（靠近 AB） ，当 Q在 D处，P 在 AA上运动时，M 的轨迹为过 AD的中点，在平面 AABB 内平行于AA的线段（靠近 AD） ，当 P在 A处，Q 在 BC上运动时，M 的轨迹为过 AB的中点，在平面 ABCD内平行于 AD的线段9（靠近 AB） ，当 P在 A处，Q 在 CD上运动时，M 的轨迹为过 AD的中点，在平面 ABCD内平行于 AB的线段（靠近 AB） ，同理得到：P 在 A处，Q 在 BC上运动；P 在 A处，Q 在 CD上运动；P 在 A处，Q 在 C处，P 在 AA上运动；P、Q 都在 AB，AD，AA上运动的轨迹
11、进一步分析其它情形即可得到 M的轨迹为棱柱体故选：A6.A【解析】由题意得 ，当 时直线201mm或 0m方程为 不成立，舍去，选 A.210mxy7.C【解析】连接 交于点 ，连接 正四棱锥,ACBDO,EP的底面 是正方形， 是 中点， 是PACE中点， 与 所成的角为 正四棱锥/,EP,BO的底面积为 ，体积为 ， ABCD32， 在,6POAC 622,PABE中， ， ，故选 C.RtEBtan3BE60OE8.B【解析】正方体每个面到点 距离为 的点的轨迹如图：2则在正方体的侧面 上的点 到点 距离为 的点的轨迹为小圆弧。故选1BCPA23B9.B【解析】当 ， 为直角时， ，且
12、一定存在，NM0k故至少存在一个点，使 为直角，即直线与圆 至少有一个交点，21xy10 ，21kdx解得 ，3 且 故选 k0B10.A【解析】由题意可得，设球心为 O,球与不面切点为 B, 球与棱的一个切点为 C,点 C所在截面圆圆心为 P, PB=2,PC=4,OC=R,OP=R-2,由勾股定理 得，解得 R=5, cm3，选 A.11.C【解析】由题意，将四棱锥 扩充为正方体，体对角线长为 ，所以四棱SABCD23锥外接球的直径为 ，半径为 ，所以四棱锥外接球的表面积为 ，故23 41选 C.12.C【解析】有题意可知：该球形容器得半径最小值为 ，所以表面积最136+=22小值为 24
13、=1R13.83【解析】折叠后的四面体如图所示11OA， OC， OD两两相互垂直，且 OA OC OD2 ，所以体积 V S OCDOA (2 )31313814. 2【解析】连接 ， ，1AB1D点 是面 的中心， ， 是 的中点，P1AD1ADP1A 平面 ， ， Q1B1PQ122B故答案为 215. ，【解析】点 、 分别是 ， 的中点， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ，12 ， ， ， ，四边形 是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 故在三棱台各棱所在直线中，与平面 平行的有： ， 16. 2-1【解析】由题意利用弦长公式可得弦心距 ，再由点到直线的距离公式可得431d
14、32312aad， ，解得 ，或 舍去） ，-（故选 A17.（1） ；（2） ；（3） 40xy6810xy7301xyx【解析】 （1）由斜率公式易知 kAC=-2，直线 BD的斜率 .2k又 BD直线过点 B（-4，0） ，代入点斜式易得直线 BD的方程为：x-2y+4=0（2） ， 又线段 BC的中点为 ，43k5,2EF 所在直线的方程为 y-2=- （x+ ） 3452整理得所求的直线方程为：6x+8y-1=0（3）AB 的中点为 M（0，-3） ，k CM=-7直线 CM的方程为 y-（-3）=-7（x-0） 即 7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为：7x+y
15、+3=0（-1x0）18.（） （x1） 2+y2=25；（） ；（）x+2y1=0.15,8【解析】 （I）MN 的垂直平分线方程为：x2y1=0 与 2xy2=0 联立解得圆心坐标为13C（1，0）R2=|CM|2=（31） 2+（30） 2=25圆 C的标准方程为：（x1） 2+y2=25（II）设直线 的方程为：y5=k（x+2）即 kxy+2k+5=0，设 C到直线 l的距离为 d，l则 d=由题意：d5 即：8k 215k0k0 或 k又因为 k0k 的取值范围是（ ，+）（III）设符合条件的直线 存在，则 AB的垂直平分线方程为：y+1= （x3）即：lx+ky+k3=0弦的垂
16、直平分线过圆心（1，0）k2=0 即 k=2k=2故符合条件的直线存在，l 的方程：x+2y1=0.19.（1） ；（2）证明见解析.3:【解析】 （1） ， .2AECFB/EAC 平面 .而 平面 ，/FDGH且平面 平面 ，GH .而 ，/E/AC .AC ，即 .3D:3:1D（2）证明： ，且 ， ，/EFGHAC4GH ，四边形 为梯形.令 ，则 ，而 平面 ，PEBD， 平面 ，平面 平面 ，FBD . 三线共点.EHG、 、1420.（1） ；（2）详见解析.63aV【解析】 （1） 631311 ahSBABAE（2）存在 FO EAB CDA1B1 C1D1如图取 中点 ,
17、连 ,连 交 于1DCFEB11,AB1O是 的中位线EH12,/因为正方体 1ABCD所以 O112又因为四边形 是平行四边形，1所以 ，DCAB1/所以 ,EFO,所以四边形 是平行四边形， 1所以 ,B/所以 平面 1F1AE15法二：取 中点 ,则平面 平面1CH/1FBEA1 HFEAB CDA1B1 C1D121.（1）证明过程见解析；（2） .【解析】 （1）取 中点 ，连接 ， ，有 ，所以 是平行四边形，所以 ，又 平面 ，平面 ，所以 平面 ，得证.（2）正方体 中，, ,点 到面 的距离即为 ,所以三棱锥 的体积.22.（1） 2cos4CEF【解析】 （1）因为底面四边形 为菱形，ABD所以 ，异面直线 所成角即为直线 所成角，ADB, ,EFBC或其补角，连结 ， ， ， ， ， EFC112212CF162cos4CEF（2） 与 相似， ， ， ，1AGHD12AGD1312AMD所以 ，又1MNMNAH,CNAE,， ，CNAE平面 AEH平面 .
