1、12018-2019 学年度上学期期中考试高二理科数学试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。请在答题卷上作答。第 I 卷 选择题 （共 60 分）一、选择题（本大题共 12 题，每题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个正确答案）1.已知命题 ， ；命题 ，使 则pxR：1+2x0q:x,200sin x+co 2下列命题中为真命题的是( )A. B. p( q) C. D. qppqp2.下列说法正确的是（ ）A. 命题“ ”的否定是：“ ” B. “200,1xRx2,10xR”是“ ”的必要不充分条件 C. 命题“若
2、 ，则 ”的1x562x1否命题是：若 ，则 D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真2xxysiny命题.3.设定点 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹10,3F2,P1290FaP是（ ）A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段4.设 分别是椭圆 的左,右焦点， 是椭圆上一点，且12,F2149xyP则 的面积为（ ）:3,P12PFA. 24 B. 25 C. 30 2D. 405.在平面直角坐标系 中，已知 为函数 图象上一xOy0,2,ABP21yx点，若 ，则 （ ）2PBAcosPA. B. C. 13 334D. 56.设双曲线 的中心为点 ，若直线 和 相交于点 ，
3、直线 交双曲线于 ，直线CO1l2O1l1AB、交双曲线于 ，且使 则称 和 为“ 直线对”.现有所成的角为2l2AB、 AB1l2W60的“ 直线对”只有 2 对，且在右支上存在一点 ，使 ，则该双曲WP12F线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. 1,23,93,2D. ,37.已知双曲线 的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆2:10,xyCabAb，圆 与双曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则 的离心率AMN30C为( )A. B. C. 2 33D. 28.已知 为坐标原点， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、O1F2C21xyab0ab右焦点，双曲线 上一点 满足 ，且
4、 ，则双曲线 的离心率CP1221PF C为（ ）A. B. 2 C. 5 3D. 239.已知点 是抛物线 上的一点，设点 到此抛物线准线的距离为 ，到直线P24yxP1d的距离为 ，则 的最小值为（ ）210xy2d12A. 4 B. C. 5 15D. 1510.已知点 在抛物线 上，则当点 到点 的距离与点 到抛物线焦点距离P24xyP1,2QP之和取得最小值时，点 的坐标为（ ）A. B. C. 2,12,11,4D. ,411.过曲线 图象上一点（2， 2）及邻近一点（2 ， 2 ）1xyfxy作割线，则当 时割线的斜率为（ ）0.5A. B. C. 1 13 3D. 512.已知
5、 ，则 ( )2sin1fxfxfA. B. C. 122D. 以上都不正确第 II 卷 选择题 （共 90 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.关于 的不等式 成立的充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是x1m14xm_414.已知圆 ： 及一点 ， 在圆 上运动一周， 的中点 形O24xy1,0PQOPQM成轨迹 的方程为_C15.直线 与椭圆 交与 两点，以线段 为直径的3yx2:1(0)xyCab,ABAB圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆 的离心率为_16.已知在 上可导， ，则 _R331Fxffx1F三、解答题(共 6 小题,共 70 分。解答应写出
6、文字说明，证明过程或演算步骤。) 17.（12 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）= x3+ax（aR），且曲线 f（x）在 x= 处的切线与直线 y= x1 平行 （）求 a 的值及函数 f（x）的解析式；（）若函数 y=f（x）m 在区间3， 上有三个零点，求实数 m 的取值范围18.（12 分）已知函数 .21lnfxaR（）若函数 在 处的切线方程为 ，求 和 的值；fxyxba（）讨论方程 的解的个数，并说明理由.019.（12 分）已知抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， A(x1， y1)， B(x2， y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交
7、点，求证：(1)y1y2 p2， ；(2) 为定值；(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.20.（12 分）已知 分别是双曲线 E： 的左、右焦点，P12,F21xyab(0,)ab是双曲线上一点， 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当 时， 的面积为 ，求此双曲线的方程。1260P12PF48321.（12 分）设命题 ，命题 ：关于 不等式 的解集为 .:cpqx21xcR（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；q5（2）若命题 或 是真命题， 且 是假命题，求实数 的取值范围.pqpqc22.（10 分）如图,小明想将短轴长为 2,
8、长轴长为 4 的一个半椭圆形纸片剪成等腰梯形ABDE,且梯形 ABDE 内接于半椭圆, DE AB,AB 为短轴, OC 为长半轴(1)求梯形 ABDE 上底边 DE 与高 OH 长的关系式;(2)若半椭圆上到 H 的距离最小的点恰好为 C 点,求底边 DE 的取值范围6参考答案1.D 2.D 3.D 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B13.14.21xy15. 3-16.017.解：（）当 x0 时，f（x）=x 2+a， 因为曲线 f（x）在 x= 处的切线与直线y= x1 平行，所以 f（ ）= +a= ，解得 a=1，所以 f（x）= x3x，
9、设 x0 则 f（x）=f（x）= x3x，又 f（0）=0，所以 f（x）= x3x（）由（）知 f（3）=6，f（1）= ，f（1）= ，f（ ）=0，所以函数 y=f（x）m 在区间3， 上有三个零点，等价于函数 f（x）在3， 上的图象与 y=m 有三个公共点结合函数 f（x）在区间3， 上大致图象可知，实数 m 的取值范围是（ ，0）718.(1) ， ；（2）当 时，方程无解；当 或 时，方程有唯一ln0,ae0ae解；当 时，方程 有两解.,aefx解析：（）因为 ，又 在 处得切线方程为 ，0f fx2yxb所以 ，解得 .2ln2,21afabf ,lnb（）当 时， 在定义
10、域 内恒大于 0，此时方程无解.0fx0,当 时， 在区间 内恒成立，aaf ,所以 为定义域为增函数，因为 ，fx1110,022aaffe所以方程有唯一解.当 时， .0a2xaf当 时， ， 在区间 内为减函数，,x0ffx0,a当 时， ， 在区间 内为增函数，,所以当 时，取得最小值 .xa1ln2faa8当 时， ，无方程解；0,ae1ln02faa当 时， ，方程有唯一解.l=f当 时， ，,ae1ln02faa因为 ，且 ，所以方程 在区间 内有唯一解，102ffx0,a当 时，设 ，所以 在区间 内为增函数，x1ln,gxggx1,又 ，所以 ，即 ，故 .1l0lx22ln
11、faxa因为 ，所以 .2a210faa所以方程 在区间 内有唯一解，所以方程 在区间 内有0fx,0fx,两解，综上所述，当 时，方程无解.,ae19. 解析： (1)由已知得抛物线焦点坐标为( ，0).由题意可设直线方程为 x my ，代入 y22 px，得 y22 p(my )，即 y22 pmy p20.(*)则 y1， y2是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2 p2.因为 y2 px1， y2 px2，所以 yy4 p2x1x2，所以 x1x2 .(2) .因为 x1x2 ， x1 x2| AB| p，代入上式，得 (定值).(3)设 AB 的中点为 M(x0， y0)，分别过
12、A， B 作准线的垂线，垂足为 C， D，过 M 作准线的垂9线，垂足为 N，则| MN| (|AC| BD|) (|AF| BF|) |AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切20.（1） （2）430xy21748xy解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为 ，则点 到渐近线距离为0bxay2F（其中 c 是双曲线的半焦距），所以由题意知 ，又因为2bca cab，解得 ，故所求双曲线的渐近线方程是 .22b43ba430xy（2）因为 ，由余弦定理得 ，1260FP 22 21121|cos6|PFPFF即 。又由双曲线的定义得 ，平方得21| 4ca，相减得 。221 2| a2
13、214cb根据三角形的面积公式得 ，得 。2123sin6083SPFb 248再由上小题结论得 ，故所求双曲线方程是 .2976ab2174xy21.（1）当 为真时， ；（2） 的取值范围是 。q58cc5,28解析：（1）当 为真时，不等式 的解集为 ，21xcR当 时， 恒成立.R2410xc ，224cc85当 为真时， q5810（2）当 为真时，p ，当 为真时， ；10c12c当 为真时， ，q58由题设，命题 或 是真命题， 且 是假命题，pqpq真 假可得， 1528c假 真可得 或pq综上可得 或58c1则 的取值范围是 .c,222.（1） ；（2）24(0)OHDE70,解析：（1）以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立直角坐标系ABxOCy半椭圆的方程： ，2104yy设椭圆上点 ，,(,)Dstt所以 且 ，2,EOHt21(0,)4sts所以 . 2(0)E（2）设半椭圆上一点为 ,Pxy由题可知点 ,Ht所以 ，222231,0,4Pxytyty11又函数 图象的对称轴为 ，22314fyty43ty所以,t解得3,2t所以704t由（1）知20,.DEt所以底边 DE 的取值范围为7,.
