1、- 1 -合肥一六八中学 20182019 学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）一、选择题（共 60 题，每题 5 分。每题仅有一个正确选项。 ）1已知 a、b 是两条平行直线，且 a平面 ，则 b 与 的位置关系是（ ）A平行 B相交Cb 在平面 内 D平行或 b 在平面 内2在下列命题中，不是公理的是（ ）A平行于同一条直线的两条直线互相平行B如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内C空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3如果 ac0，bc0，那么直线 ax+by+c=0 不
2、通过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4直线（a 2+1）xy+1=0（其中 aR）的倾斜角的取值范围是（ ）A0， B ， ） C （ ， D ，）5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A12 B24 C D726半径为 5 的球内有一个高为 8 的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（ ）A B C D7三棱柱 ABCABC的所有棱长都等于 2，并且 AA平面 ABC，M 是侧棱 BB的中点，则直线 MC与 AB 所成的角的余弦值是（ ）A B C D- 2 -8直线 l 过点 P（1，0） ，且与以 A（2，1） ， 为端点的线段总有公共点
3、，则直线l 斜率的取值范围是（ ）A BC D1，+）9在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，E 是棱 CC1的中点，F 是四边形 BCC1B1内的动点，且 A1F平面 D1AE，下列说法正确的个数是（ ）点 F 的轨迹是一条线段A 1F 与 D1E 不可能平行A 1F 与 BE 是异面直线当 F 与 C1不重合时，平面 A1FC1不可能与平面 AED1平行A1 B2 C3 D410在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线 xmy2=0 的距离当、m 变化时，d 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D411生于瑞士的数学巨星欧拉在 1765 年发表的三角形的几何学一书中有这
4、样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半 ”这就是著名的欧拉线定理设ABC 中，设 O、H、G 分别是外心、垂心和重心，下列四个选项错误的是（ ）AHG=2OG B + + =C设 BC 边中点为 D，则有 AH=3OD DS ABG =SBCG =SACG12如图 1，直线 EF 将矩形纸 ABCD 分为两个直角梯形 ABFE 和 CDEF，将梯形 CDEF 沿边 EF翻折，如图 2，在翻折的过程中（平面 ABFE 和平面 CDEF 不重合）下面说法正确的是（ ）- 3 -A存在某一位置，使得 CD平面 ABFEB存在某一位置，使得 DE
5、平面 ABFEC在翻折的过程中，BF平面 ADE 恒成立D在翻折的过程中，BF平面 CDEF 恒成立二、填空题（共 20 分，每题 5 分）13、已知直线 1:260laxy与 22:10lxay平行，则实数 a的取值是_14球的半径为 5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为 6cm 和 8cm，则这两个平面之间的距离是 cm15. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸)16在正方体
6、ABCDA 1B1C1D1中，E 为棱 AB 上一点，且 AE=1，BE=3，以 E 为球心，线段 EC的长为半径的球与棱 A1D1，DD 1分別交于 F，G 两点，则AFG 的面积为_三、解答题（共 70 分，每题必需要有必要的解答过程）17.（10 分） 设直线 l 的方程为( 1) x y2 0 ( R)aa(1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求直线 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 的取值范围18.（12 分）在平面直角坐标系 xOy中， BC的边 所在的直线方程是 03:yxl，（1）如果一束光线从原点 射出，经直线 l反射后，经过点 )3,(，求反射后光线所在直线的
7、方程；- 4 -（2）如果在 OBC中， 为直角，求 OBC面积的最小值19.（12 分）如图是一个以 A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知 A1B1B 1C12，A 1B1C190，AA 14，BB 13，CC 12，求：()该几何体的体积；()截面 ABC 的面积20（12 分）.如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G（）证明：G 是 AB 的中点；（）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F，并求四面体
8、 PDEF 的体积21.（12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD （1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC 的余弦值- 5 -22.（12 分）如图，在三棱锥 中， 是正三角形， 为其中心.面 面 ， ， 是 的中点， .- 6 -（1）证明： 面 ；（2）求 与面 所成角的正弦值.- 7 -合肥一六八中学 20182019 学年第一学期期中考试高二数学试题（宏志班）参考答案1选择题题号 1 2 3 4 5 6
9、7 8 9 10 11 12答案 D C A B C B A B C C C C2、填空题13. 114. 1 或 715. 316. 43、解答题17.（1）3 x y0 或 x y20；（2） a1.18（1）设点 O关于直线 l的对称点为 ),(0yxA，由题意应有 03210yx，解得30yx，所以点 )3,(A因为反射后光线经过点 ),3(和点 ),(，所以反射后光线所在直线的方程为 x（2）设 OD为 BC的一条高，则 2|OD，设 )20(B，可得Btan|t| ，所以 C的面积 |1ODCS29|tan|21|)tan|t|(21 ，当且仅当 4时，等号成立所以， OBC面积的
10、最小值是 2919.（）过 C 作平行于 A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1，BB 1分别于点 A2，B 2.由直三棱柱性质及A 1B1C190可知 B2C平面 ABB2A2，则该几何体的体积 V 222 (12)226，（）在ABC 中，AB ，- 8 -BC ，AC 2 .则 SABC 2 20.（）证明：PABC 为正三棱锥，且 D 为顶点 P 在平面 ABC 内的正投影，PD平面 ABC，则 PDAB，又 E 为 D 在平面 PAB 内的正投影，DE面 PAB，则 DEAB，PDDE=D，AB平面 PDE，连接 PE 并延长交 AB 于点 G，则 ABPG，又 PA=PB，G
11、是 AB 的中点；（）在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PBPA，PBPC，又 EFPB，所以 EFPA，EFPC，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连结 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心由（）知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD= CG由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC，因此 PE= PG，DE= PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA
12、=6，可得 DE=2，PG=3 ，PE=2 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF=PF=2所以四面体 PDEF 的体积 V= DESPEF = 2 22= 21.（1）证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，ODABC 是等边三角形，OBACABD 与CBD 中，AB=BD=BC，ABD=CBD，ABDCBD，AD=CD- 9 -ACD 是直角三角形，AC 是斜边，ADC=90DO= ACDO 2+BO2=AB2=BD2BOD=90OBOD又 DOAC=O，OB平面 ACD又 OB平面 ABC，平面 ACD平面 ABC（2）解：设点 D，B 到平面 ACE 的距离分别为 hD，h
13、 E则 = 平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分， = = =1点 E 是 BD 的中点建立如图所示的空间直角坐标系不妨取 AB=2则 O（0，0，0） ，A（1，0，0） ，C（1，0，0） ，D（0，0，1） ，B（0， ，0） ，E=（1，0，1） ， = ， =（2，0，0） 设平面 ADE 的法向量为 =（x，y，z） ，则 ，即 ，取 =同理可得：平面 ACE 的法向量为 =（0，1， ） cos = = = 二面角 DAEC 的余弦值为 - 10 -22.（1）连结 ，因为 是正三角形 的中心，所以 在 上且 ，又 ，所以在 中有 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）解法一：作 交 的延长线于 ，作 交 的延长线于 ，由面 面 知 面 ，所以 ，又 ，所以所以 面 ,所以面 面 ，作 ，则 面连结 ，则 为 与面 所成角， ，即所求角的正弦值为 .解法二：以 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ， ， ， ， ， ， ， ， .设面 的法向量为 ，则取 ， ，即所求角的正弦值为 .- 11 -
