1、14.4 相似三角形过关演练 (40分钟 90分)1.已知 ,那么 的值为 (B)=23 +A. B. C. D.13 25 35 34【解析】因为 ,设 a=2k,则 b=3k,则原式 = .=23 22+3=252.若 ABC DEF,相似比为 3 2,则对应高的比为 (A)A.3 2 B.3 5 C.9 4 D.4 9【解析】因为 ABC DEF,根据相似三角形的性质“相似三角形对应高之比等于相似比”可得对应高的比为 3 2.3.如图, AD BE CF,直线 l1,l2与这三条平行线分别交于点 A,B,C和点 D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则 EF的长为 (C)A.4
2、B.5 C.6 D.8【解析】 AD BE CF, ,AB= 1,BC=3,DE=2, ,解得 EF=6.= 13=24.如图,以点 O为位似中心,将 ABC放大得到 DEF.若 AD=OA,则 ABC与 DEF的面积之比为 (B)A.1 2 B.1 4C.1 5 D.1 62【解析】 以点 O为位似中心,将 ABC放大得到 DEF,AD=OA,OAOD= 1 2, ABC与 DEF的面积之比为 1 4.5.(2018哈尔滨) 如图,在 ABC中,点 D在 BC边上,连接 AD,点 G在线段 AD上, GE BD,且交 AB于点 E,GF AC,且交 CD于点 F,则下列结论一定正确的是 (D
3、)A. B.= =C. D.= =【解析】 GE BD,GF AC, AEG ABD, DFG DCA, ,=,=.=6.(2018浙江绍兴) 学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置 BD绕点 O旋转到 AC位置,已知 AB BD,CD BD,垂足分别为 B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆 C端应下降的垂直距离 CD为 (C)A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m【解析】 AB BD,CD BD, ABO= CDO=90,又 AOB= COD, ABO CDO,则,AO= 4 m,AB=1.6 m,CO=1 m, ,解得 CD=0.4 m.=
4、41=1.67.将三角形纸片 ABC按如图所示的方式折叠,使点 C落在 AB边上的点 D,折痕为 EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点 B,D,F为顶点的三角形与 ABC相似,那么 CF的长度是 (D)A.2 B. 或 2125C. D. 或 2127 127【解析】 ABC沿 EF折叠,点 C和点 D重合, FD=CF ,设 CF=x,则 BF=4-x,以点 B,D,F为顶点的三角形与 ABC相似,分两种情况: 若 BFD= C,则 BDF BAC, ,即=3,解得 x= ; 若 BFD= A,则 BDF BCA, =1,即 =1,解得 x=2.综4-=34 127 = 4-上, CF
5、的长为 或 2.1278.如图,在 ABC中, ACB=90,AC=BC=1,E,F为线段 AB上两动点,且 ECF=45,过点 E,F分别作 BC,AC的垂线相交于点 M,垂足分别为 H,G.现有以下结论: AB= ; 当点 E与点 B2重合时, MH= ;AF+BE=EF ;MG MH= .其中正确的是 (C)12 12A. B. C. D.【解析】由题意知, ABC是等腰直角三角形, AB= ,故 正确;如图 1,当2+2=2点 E与点 B重合时,点 H与点 B重合, MB BC, MBC=90,MG AC, MGC=90= ACB= MBC,MG BC,四边形 MGCB是矩形, MH=
6、MB=CG , ECF=45= ABC, A= ACF=45,CF=AF=BF ,FG 是 ACB的中位线, MH=GC= AC= ,故 正确;12 12如图 2所示, AC=BC , ACB=90, A=5 =45,将 ACF绕点 C顺时针旋转 90至BCD,则 CF=CD,1 =4,6 = A=45,BD=AF, 2 =45, 1 +3 =3 +4 =45, DCE=2,在 ECF和 ECD中, ECF ECD(SAS),=,2=,=,EF=DE. 5 =45, EBD=90,DE 2=BD2+BE2,即 EF2=AF2+BE2,故 错误;如图2, 7 =1 + A=1 +45=1 +2
7、= ACE,又 A=5 =45, ACE BFC,AE BF=ACBC=1,由题意知四边形 CHMG是矩形, MG BC,MH=CG,MH AC,=,即 ,=,=1=2,1=2MG= AE,MH= BF,MG MH= AE BF= AEBF= ACBC= ,故 正确 .22 22 22 22 12 12 129.已知线段 a,b,c,其中 a=4,c=9,那么 a和 c的比例中项 b= 6 . 【解析】 b 是 a,c的比例中项, b 2=ac,即 b2=36,b= 6(负数舍去) .410.如图,在 ABC中, AB AC,D,E分别为边 AB,AC上的点, AC=3AD,AB=3AE,点
8、F为 BC边上一点,添加一个条件 本题答案不唯一,如 A= BDF, A= BFD, ADE= BFD, ADE= BDF,DF AC, ,可以使得=,= FDB与 ADE相似 .(只需写出一个) 【解析】 AC= 3AD,AB=3AE, ,又 A= A, ADE ACB, AED= B.=13故要使 FDB与 ADE相似,只需再添加一组对应角相等,或夹角的两边对应成比例即可 .11.如图,在 ABC中, D是 AB的中点,点 E在 BC的延长线上,且 BC=CE,连接 DE交 AC于点 F,则 AFCF= 2 1 . 【解析】取 DE的中点 G,连接 CG,BC=CE ,CG AB,BDCG
9、= 2 1,BD=AD ,ADCG= 2 1,又 ADF CGF,AFCF= 2 1.12.(2018山东泰安) 九章算术是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”用今天的话说,大意是:如图,四边形 DEFG是一座边长为 200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门 H位于 GD的中点,南门 K位于 ED的中点,出东门 15步的 A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于 A处的树木(即点 D在直线 AC上)?请你计算 KC的长为 20003步 . 【解析】 DH=100,DK=100,AH=15,AH
10、 DK, CDK= A,而 CKD= AHD, CDKDAH, ,即 ,CK= .=100=10015 2000313.(8分)如图,平行四边形 ABCD的对角线相交于点 O,点 E在边 BC的延长线上,且 OE=OB,连接 DE.(1)求证: DE BE;(2)如果 OE CD,求证: BDCE=CDDE.解:(1) OB=OE , OEB= OBE. 四边形 ABCD是平行四边形, OB=OD ,OD=OE , OED= ODE.5 在 BED中, OEB+ OBE+ OED+ ODE=180, OEB+ OED=90,即 BED=90,DE BE.(2)设 OE交 CD于点 H.OE C
11、D于点 H, CHE=90, CEH+ HCE=90, CDE= CEH. OEB= OBE, OBE= CDE.在 CED与 DEB中, =,=, CED DEB, ,即 BDCE=CDDE.=14.(10分)已知 Rt ABC中, B=90,AC=20,AB=10,P是边 AC上一点(不包括端点 A,C),过点 P作 PE BC于点 E,过点 E作 EF AC,交 AB于点 F.设 PC=x,PE=y.(1)求 y与 x的函数关系式 .(2)是否存在点 P使 PEF是直角三角形?若存在,求此时的 x的值;若不存在,请说明理由 .解:(1)在 Rt ABC中, B=90,AC=20,AB=1
12、0, sin C= ,12PE BC于点 E, sin C= ,=12PC=x ,PE=y,y= x(0x20).12(2)存在点 P使 PEF是直角三角形 . 如图 1,当 FPE=90时,四边形 PEBF是矩形, BF=PE= x,12四边形 APEF是平行四边形, AF=PE= x,12BF+AF=AB= 10,x= 10.6 如图 2,当 PFE=90时,Rt APFRt ABC, AFP= C=30,AF= 40-2x,平行四边形 AFEP中, AF=PE, 40-2x= x,12解得 x=16. 当 PEF=90时,此时不存在符合条件的 Rt PEF.综上,当 x=10或 x=16
13、时,存在点 P使 PEF是直角三角形 .15.(10分) (2018浙江宁波) 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形 .(1)已知 ABC是比例三角形, AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的 AC的长;(2)如图 1,在四边形 ABCD中, AD BC,对角线 BD平分 ABC, BAC= ADC.求证: ABC是比例三角形 .(3)如图 2,在(2)的条件下,当 ADC=90时,求 的值 .解:(1) ABC是比例三角形,且 AB=2,BC=3, 当 AB2=BCAC时,得 4=3AC,解得 AC= ;43 当 BC2=ABAC时,得 9=2AC
14、,解得 AC= ;92 当 AC2=ABBC时,得 AC2=6,解得 AC= (负值舍去) .6所以当 AC= 时, ABC是比例三角形 .43或 92或 6(2)AD BC, ACB= CAD,又 BAC= ADC, ABC DCA, ,即 CA2=BCAD,=AD BC, ADB= CBD,BD 平分 ABC, ABD= CBD, ADB= ABD,AB=AD ,CA 2=BCAB, ABC是比例三角形 .(3)过点 A作 AH BD于点 H,AB=AD ,BH= BD,12AD BC, ADC=90, BCD=90, BHA= BCD=90,又 ABH= DBC, ABH DBC, ,即
15、 ABBC=BHDB,=7AB BC= BD2,12又 AB BC=AC2, BD2=AC2,12 .=216.(10分)如图 1,在四边形 ABCD的边 AB上任取一点 E(点 E不与点 A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形 ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把 E叫做四边形 ABCD的边 AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把 E叫做四边形 ABCD的边 AB上的“强相似点” .【试题再现】如图 2,在 ABC中, ACB=90,直角顶点 C在直线 DE上,分别过点 A,B作AD DE于点 D,BE DE于点 E.求证: ADC CEB.【问题
16、探究】在图 1中,若 A= B= DEC=40,试判断点 E是否为四边形 ABCD的边 AB上的“相似点”,并说明理由 .【深入探究】如图 3,AD BC,DP平分 ADC,CP平分 BCD交 DP于点 P,过点 P作 AB AD于点 A,交 BC于点 B.(1)请证明点 P是四边形 ABCD的边 AB上的一个“强相似点”;(2)若 AD=3,BC=5,试求 AB的长 .解:【试题再现】 ACB=90, ACD+ BCE=90,AD DE, ACD+ CAD=90, BCE= CAD, ADC= CEB=90, ADC CEB.【问题探究】点 E是四边形 ABCD的边 AB上的“相似点” .理
17、由: DEC=40, DEA+ CEB=140. A=40, ADE+ AED=140, ADE= CEB,又 A= B, ADE BEC, 点 E是四边形 ABCD的边 AB上的“相似点” .【深入探究】(1) AD BC, ADC+ BCD=180,DP 平分 ADC,CP平分 BCD, CDP+ DCP= ( ADC+ BCD)=90,12DA AB,CB AB, DPC= A= B=90, ADP= CDP, ADP PDC,同理 BPC PDC, ADP PDC BPC,即点 P是四边形 ABCD的边 AB上的一个“强相似点” .8(2)过点 P作 PE DC于点 E,过点 D作 D
18、F BC于点 F,则四边形 ABFD是矩形, DF=AB , ADP= EDP, DAP= DEP=90,DP=DP, ADP EDP,AD=DE ,同理 CBP CEP,BC=EC ,DC=AD+BC= 8.在 Rt CDF中, CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,由勾股定理得 DF= =2 ,AB= 2 .82-22 15 15名师预测1.如图, DEF是由 ABC经过位似变换得到的,点 O是位似中心, D,E,F分别是 OA,OB,OC的中点,则 DEF与 ABC的面积比是 (B)A.1 2 B.1 4 C.1 5 D.1 6【解析】 D ,F分别是 OA,OC的中点, DF= A
19、C, DEF 与 ABC的相似比是 1 2, 12DEF与 ABC的面积比是 1 4.2.如图,已知在 ABCD中, E为 AD的中点, CE的延长线交 BA的延长线于点 F,则下列选项中的结论错误的是 (C)A.FAFB= 1 2 B.AEBC= 1 2C.BECF= 1 2 D.S ABES FBC=1 4【解析】 四边形 ABCD是平行四边形, CD AB,CD=AB, DEC AEF,E 为 AD的中点, CD=AF ,FE=EC,FAFB= 1 2,故 A正确;=FE=EC ,FA=AB,AEBC= 1 2,故 B正确; FBC不一定是直角, BECF 不一定等于1 2,故 C错误;
20、 AE BC,AE= BC,S FAES FBC=1 4,S FAE=S ABE,S ABES 12FBC=1 4,故 D正确 .3.如图,在 ABCD中,点 F是 BD的一个四等分点, EC交对角线 BD于点 F,S1,S2分别表示三角形 DEF和四边形 ABFE的面积,则 S1S 2等于 (C)A.1 9 B.1 10 C.1 11 D.1 12【解析】 点 F是 BD的一个四等分点, DFFB= 1 3.由 AD BC得 DEFBCF,S 1= S CFB= S BCD= S BCD= S ABD,S2=S ABD-S1= S ABD,S 1S 2=1 11.19 1934 112 11
21、2 111294.一副三角板按如图所示叠放在一起,则 COOB= 1 . 3【解析】设 BD=x,则 AD=2x,在 Rt ABD中,由勾股定理得 AB= x=AC,又(2)2-2=3AC BD, AOC DOB, .=3=35.已知在平面直角坐标系中,点 A(0,3),B(-6,0).连接 AB,作直线 y=1,交 AB于点 P1,过点P1作 P1Q1 x轴于点 Q1;连接 AQ1,交直线 y=1于点 P2,作 P2Q2 x轴于点 Q2;,以此类推 .则点 Q3的坐标为 - ,0 ; PnQnA的面积为 .(用含 n的代数式表示) 169 23-1【解析】 点 A(0,3),B(-6,0),
22、直线 y=1交 AB于点P1,OA= 3,OB=6,P1Q1=P2Q2=P3Q3=1,P 1Q1 x轴于点 Q1,P2Q2 x轴于点Q2,P 1Q1 P2Q2 P3Q3 PnQn y轴, BP1Q1 BAO, P2Q1Q2 AQ1O,P3Q2Q3 AQ2O, ,BQ 1=2,Q1Q2= ,Q2Q3= ,11=1,22=121,33=232 43 89,Q 1(-4,0),Q2 ,Q3 ,即(-83,0) (-169,0)Q1 ,Q2 ,Q3 ,Q n-1 ,Qn ,(-2230,0) (-2331,0) (-2432,0) (- 23-2,0) (-2+13-1,0)P1Q1OQ1= OQ1=
23、 4=2,同理可11=12 12 12得 OQ2= , OQn= .22=12 43 =12 23-16.在 ABC中, AC=4,AB=5,BC=6,P是 BC上一点,且 BP=2.过点 P画直线 PE交 ABC的另一边于点 E,使截得的三角形与 ABC相似,则线段 PE的长为 . 43或 85或 10310【解析】分三种情况: 当 PE1 CA时, BPE1BCA, , ,PE 1= ; 当 BPE2= A时, BPE2 BAC, ,=1 26=14 43 =2,PE 2= ; 当 PE3 AB时, CPE3 CBA, , ,PE 3= .综25=24 85 =346=35 103上, P
24、E的值为 .43或 85或 1037.已知在正方形 ABCD中, AB=4,E为 CD边的中点, F为 AD边的中点, AE交 BD于点 G,交 BF于点 H,连接 DH.(1)求证: BG=2DG;(2)求 AHHGGE 的值;(3)求 的值 .解:(1) 四边形 ABCD是正方形,AB CD,AB=CD,DE=CE, ABG EDG, ,=12BG= 2DG.(2)AB CD,AB=CD,DE=CE, ABG EDG, ,=12在 Rt ADE中, AD= 4,DE=2,AE= 2 ,EG= ,5253同理可得 BF=2 ,5AB=AD , BAF= ADE,AF=DE, BAF ADE, ABF= DAE, DAE+ BAH=90, ABF+ BAH=90, AHB=90,AE BF,AH=,=4225=45511HG= 2 ,5455253=8515AHHGGE= =6 4 5.4558515253(3)作 DM AE于点 M.由(2)可知 DM=AH= ,455EM= ,2-2=255HM=EH-EM= ,455DH= ,4105BH= ,2-2=855 .=8554105=2
