1、1第五章 四边形5.1 多边形与平行四边形 学用 P55过关演练 (40分钟 80分)1.(2018呼和浩特) 已知一个多边形的内角和为 1080,则这个多边形是 (B)A.九边形 B.八边形C.七边形 D.六边形【解析】根据 n边形的内角和公式,得( n-2)180=1080,解得 n=8. 这个多边形的边数是 8.2.若一个正 n边形的每个内角为 144,则这个正 n边形的所有对角线的条数是 (A)A.35 B.20 C.10 D.7【解析】 一个正 n边形的每个内角为 144, 144n=180(n-2),解得 n=10.这个正 n边形的所有对角线的条数是 =35.(-3)2 =10(1
2、0-3)23.如图,在四边形 ABCD中, AB CD,要使四边形 ABCD是平行四边形,可添加的条件不正确的是 (B)A.AB=CD B.BC=ADC. A= C D.BC AD【解析】添加 A具备“一组对边平行且相等”的条件,能推断为平行四边形,A 正确;添加 B不能推断为平行四边形,B 错误; AB CD, A+ D=180,又 A= C, C+ D=180,AD BC, 四边形 ABCD是平行四边形,C 正确;添加 D,可得四边形 ABCD是平行四边形,D 正确 .4.(2018浙江宁波) 如图,在 ABCD中,对角线 AC与 BD相交于点 O,E是 CD的中点,连接 OE.若 ABC
3、=60, BAC=80,则1 的度数为 (B)2A.50 B.40 C.30 D.20【解析】 ABC=60, BAC=80, BCA=180-60-80=40, 对角线 AC与 BD相交于点 O,E是 CD的中点, EO 是 DBC的中位线, EO BC, 1 = ACB=40.5.如图,在 ABCD中, DAB的平分线交 CD于点 E,交 BC的延长线于点 G, ABC的平分线交CD于点 F,交 AD的延长线于点 H,AG与 BH交于点 O,连接 BE.下列结论错误的是 (D)A.BO=OH B.DF=CEC.DH=CG D.AB=AE【解析】 AH CG, H= HBG, HBG= HB
4、A, H= HBA,AH=AB ,同理AB=BG,AD=DE,BC=CF,AD=BC ,DH=CG ,DE=CF,DF=CE ,故 B,C正确; AH=AB ,AO平分 HAB,BO=HO ,故 A正确;观察知 D项错误 .6.如图,四边形 ABCD是平行四边形,点 E是边 CD上的一点,且 BC=EC,CF BE交 AB于点 F,P是 EB延长线上一点,下列结论: BE 平分 CBF;CF 平分 DCB;BC=FB ;PF=PC. 其中正确的个数为 (D)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 AB CD, ABE= BEC.BC=EC , CBE= BEC, CBE= ABE,即 BE平分
5、 ABC,故 正确; BC=EC ,CF BE,CF 平分 DCB,故 正确;AB CD, DCF= CFB, DCF= FCB, CFB= FCB,BC=BF ,故 正确;BC=BF ,CF BE,BE 垂直平分 CF,PF=PC ,故 正确 .7.正六边形的每个内角等于 120 . 【解析】 多边形的外角和为 360, 正六边形的每一个外角为 60, 正六边形的每个内角为 180-60=120.8.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带来了两块碎玻璃,其编号应该是 . 【解析】只有 两块角的两边互相平行,且中间部分相连,角的两边的
6、延长线的交点就是平行四边形的顶点,所以带 两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小 .39.如图,在 ABCD中,按以下步骤作图: 以点 A为圆心,任意长为半径作弧,分别交 AB,AD于点 M,N; 分别以点 M,N为圆心,以大于 MN的长为半径作弧 ,两弧相交于点 P; 作射线 AP12交边 CD于点 Q.若 DQ=2QC,BC=3,则 ABCD的周长为 15 . 【解析】由作图知, AQ是 BAD的平分线, DAQ= BAQ,在 ABCD中,AB CD, DQA= BAQ, DQA= DAQ,DA=DQ.DQ= 2QC,BC=3,DQ= 3,QC= ,CD= ,32 92ABCD的周长为 2
7、(BC+CD)=2 =15.(3+92)10.如图,在 ABCD中,过对角线 BD上一点 P作 EF BC,GH AB,且 CG=2BG,S BPG=1,则 SAEPH= 4 . 【解析】 EF BC,GH AB, 四边形 HPFD,BEPG是平行四边形, S BPG=S BPE=1,S DPH=SDPF,同理 S ABD=S CBD,S AEPH=SCFPG.S BEPG=2,CG=2BG,S CFPG=2SBEPG=4,S AEPH=4.11.如图,在 ABCD中, AC,BD相交于点 O,E,F,G,H分别是 AB,OB,CD,OD的中点 .有下列结论:AD=BC ; DHG BFE;B
8、F=HO ;AO=BO ; 四边形 HEFG是平行四边形 .其中正确结论的序号是 . 【解析】在 ABCD中, AD=BC,故 正确; 四边形 ABCD是平行四边形,DC AB,DC=AB,OD=OB, CDB= DBA,E ,F,G,H分别是 AB,OB,CD,OD的中点,DG=BE= AB,DH=BF= OD, DHG BFE,故 正确; HO=DH ,DH=BF,BF=HO ,故 正确;12 12 四边形 ABCD是平行四边形, OA=OC ,OB=OD,故 错误; E,F,G,H分别是 AB,OB,CD,OD的中点, HG OC,HG= OC,EF OA,EF= OA,HG EF,HG
9、=EF, 四边形 HEFG是平行四边形,故 12 12正确 .12.(9分)(1)如图是一个多边形,你能否用一直线去截这个多边形,使得到的新多边形分别满足下列条件:(画出图形,把截去的部分打上阴影) 新多边形内角和比原多边形的内角和增加了 180; 新多边形的内角和与原多边形的内角和相等; 新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180.(2)将多边形只截去一个角,截后形成的多边形的内角和为 2520,求原多边形的边数 .解:(1)如图所示 .4(2)设新多边形的边数为 n,则( n-2)180=2520,解得 n=16, 若截去一个角后边数增加 1,则原多边形边数为 15; 若截去一个角后
10、边数不变,则原多边形边数为 16; 若截去一个角后边数减少 1,则原多边形边数为 17.故原多边形的边数可以为 15,16或 17.13.(10分) (2018辽宁大连) 如图, ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O,点 E,F在 AC上,且AF=CE.求证: BE=DF.证明: 四边形 ABCD是平行四边形,OA=OC ,OD=OB,AF=CE ,OE=OF ,在 BEO和 DFO中, =,=,=, BEO DFO,BE=DF.14.(12分)如图,点 O是 ABC内一点,连接 OB,OC,并将 AB,OB,OC,AC的中点 D,E,F,G依次连接,得到四边形 DEFG.(1)求证:四边
11、形 DEFG是平行四边形;(2)如果 OBC=45, OCB=30,OC=4,求 EF的长 .解:(1) AB ,OB,OC,AC的中点分别为 D,E,F,G,DG BC,DG= BC,EF BC,EF= BC,12 12DG EF,DG=EF, 四边形 DEFG是平行四边形 .(2)过点 O作 OM BC于点 M,在 Rt OCM中, OCM=30,OC=4,OM= OC=2,CM= 2 ,12 3在 Rt OBM中, OBM= BOM=45,BM=OM= 2,BC= 2+2 ,35EF= 1+ .3名师预测1.若一个多边形的内角和是其外角和的 5倍,则这个多边形的边数是 (A)A.12 B
12、.10 C.8 D.6【解析】设多边形的边数为 n,根据题意得( n-2)180=5360,解得 n=12,则这个多边形的边数是 12.2.如图,点 E,F是 ABCD对角线上两点,在条件DE=BF ; ADE= CBF;AF=CE ; AEB= CFD中,添加一个条件,使四边形 DEBF是平行四边形,则可添加的条件是(D)A. B. C. D.【解析】由平行四边形的判定方法可知:若是四边形的对角线互相平分,可证明这个四边形是平行四边形 . 不能证明对角线互相平分,只有 可以 .3.如图,在 ABCD中, ABC和 BCD的平分线交于 AD边上一点 E,且 BE=4,CE=3,则 AB的长是
13、(A)A. B.3 C.4 D.552【解析】 AB CD, ABC+ BCD=180,BE 平分 ABC,CE平分 BCD, EBC= ABC, ECB= BCD, EBC+ ECB=90, BEC=90,BC=12 12=5,AD=BC= 5,AD BC, EBC= AEB,BE 平分2+2=42+32 ABC, ABE= EBC, ABE= AEB,AB=AE. 同理 DC=DE.AB=CD ,AB= AD= .12 524.如图,在 ABCD中, AB=3,BC=5,对角线 AC,BD相交于点 O.过点 O作 OE AC,交 AD于点 E.连接 CE,则 CDE的周长为 8 . 【解析
14、】 四边形 ABCD为平行四边形, AO=CO ,AD=BC,CD=AB.又 OE AC,CE=AE , CDE的周长为 CD+DE+AE=CD+AD=AB+BC=3+5=8.5.如图,在四边形 ABCD中, AD BC,AD=8 cm,BC=12 cm,M是 BC上一点,且 BM=9 cm,点 E从点A出发以 1 cm/s的速度向点 D运动,点 F从点 C出发,以 3 cm/s的速度向点 B运动,当其中6一点到达终点,另一点也随之停止,设运动时间为 t,则当以 A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时, t= s或 s . 34 32【解析】 当点 F在线段 BM上, AE=FM时,以 A
15、,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形,则有t=9+3t-12,解得 t= ; 当点 F在线段 CM上, AE=FM时,以 A,M,E,F为顶点的四边形是平行32四边形,则有 t=12-9-3t,解得 t= .综上所述, t= s或 s时,以 A,M,E,F为顶点的四边形34 34 32是平行四边形 .6.如图,在 Rt ABC中, B=90,AB=3,BC=4,点 D在 BC上,以 AC为对角线的所有 ADCE中,DE最小的值是 3 . 【解析】 在 Rt ABC中, B=90,BC AB. 四边形 ADCE是平行四边形,OD=OE ,OA=OC. 当 OD取最小值时, DE线段最短,此时
16、OD BC.OD AB.又点 O是 AC的中点, OD 是 ABC的中位线, OD= AB=1.5,DE= 2OD=3.127.如图,在 ABCD中, AE=CF,M,N分别是 DE,BF的中点 .求证:四边形 MFNE是平行四边形 .证明: 四边形 ABCD是平行四边形, AD=CB , DAE= FCB.又 AE=CF , DAE BCF,DE=BF , AED= CFB.又 M ,N分别是 DE,BF的中点, ME=NF.又由 AB DC,得 AED= EDC. EDC= BFC,ME NF. 四边形 MFNE是平行四边形 .8.如图,在平行四边形 ABCD中, B= AFE,EA是 B
17、EF的平分线 .求证:(1) ABE AFE;(2) FAD= CDE.7证明:(1)在 ABE与 AFE中, =,=,=, ABE AFE(AAS).(2)在 ABCD中, A D BC, ADF= DEC.AB CD, C=180- B.又 AFD=180- AFE, B= AFE, AFD= C.在 ADF与 DEC中,由三角形内角和定理,得 FAD=180- ADF- AFD, CDE=180- DEC- C, FAD= CDE.9.如图,在 ABCD中, ABC, BCD的平分线 BE,CF分别与 AD相交于点 E,F,BE与 CF相交于点 G.(1)求证: BE CF;(2)若 A
18、B=3,BC=5,CF=2,求 BE的长 .解:(1) BE 平分 ABC,CF平分 BCD, CBE= ABC, BCF= BCD.12 12 四边形 ABCD是平行四边形,AB CD, ABC+ BCD=180, CBE+ BCF= ( ABC+ BCD)=90,12 CGB=180-( CBE+ BCF)=90,BE CF.(2)过点 E作 EP FC,交 BC的延长线于点 P,则四边形 CPEF是平行四边形 .BE 平分 ABC, ABE= CBE.在 ABCD中, AD BC, AEB= CBE, AEB= ABE,AE=AB= 3.同理 DF=DC=3,EF=AE+DF-AD= 1.CP=EF= 1,EP=CF=2.又由(1)知 BE CF,BE EP, 在 Rt BPE中, BE2+EP2=BP2,即 BE2+22=62,解得 BE=4 .2
