1、1专题能力训练 21 随机变量及其分布一、能力突破训练1.甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是 .现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( )A. B.C. D.7102.已知随机变量 满足 P( i=1)=pi,P( i=0)=1-pi,i=1,2,若 0D( 2)C.E( 1)E( 2),D( 1)E( 2),D( 1)D( 2)3.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球(除颜色外其他完全相同),每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( )A.1012(38)10(58)2B.91
2、2(38)9(58)238C.911(58)2(38)2D.911(38)10(58)24.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32),则从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附:若随机变量 服从正态分布 N( , 2),则 P(-2 02数量 2 3 45 5 45每件利润 1 2 3 1.8 2.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件,求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌家电的利润为 X1,生产一件乙品牌家电的利润为X2,分别求 X1,X2的分
3、布列;(3)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的家电 .若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由 .16.(2018 全国 ,理 20)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品 .检验时,先从这箱产品中任取 20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 .设每件产品为不合格品的概率都为 p(0(1-p)2,410 610p 0.5,p= 0.6(其中 p=0.4 舍去) .6.0.5 解析 由分布列的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1
4、,则 m=0.3.由 Y=2,即 |X-2|=2,得 X=4 或X=0,故 P(Y=2)=P(X=4 或 X=0)=P(X=4)+P(X=0)=0.3+0.2=0.5.7 解析 根据二项分布的均值、方差公式,得 解得 p=.13 ()=30,()=(1-)=20, 13.8.解 设事件 Ai为“甲是 A 组的第 i 个人”,事件 Bi为“乙是 B 组的第 i 个人”, i=1,2,7.由题意可知 P(Ai)=P(Bi)= ,i=1,2,7.17(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于 14 天”等价于“甲是 A 组的第 5 人,或者第 6 人,或者第 7 人”,所以甲的康复时间不少于 14 天
5、的概率是 P(A5 A6 A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=37.(2)设事件 C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A4B1 A5B1 A6B1 A7B1 A5B2 A6B2 A7B2 A7B3 A6B6 A7B6.因此 P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=1049.(3)a=11 或 a=18.9.解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 B1的事件为 M,则 P(M)=
6、48510=518.(2)由题意知 X 可取的值为 0,1,2,3,4,则6P(X=0)= ,56510=142P(X=1)= ,4614510=521P(X=2)= ,3624510=1021P(X=3)= ,2634510=521P(X=4)=1644510=142.因此 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P142 521 1021 521 142X 的数学期望是E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0+1 +2 +3 +4 =2.521102152114210.解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A,则 P(A)=564
7、534=12.(2)依题意得, X 所有可能的取值是 1,2,3.又 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= 1= ,所以 X 的分布列为16 5615=16 5645 23X 1 2 3P16 16 23所以 E(X)=1 +2 +316 16 23=52.11.解 (1)个位数是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345;(2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 =84,随机变量 X 的取值为:0, -1,1,因此 P(X=0)=39,P(X=-1)= ,P(X=1)=1- 所以 X 的分布列为3839=232439=114 11423=1142
8、.X 0 -1 1P23 114 1142则 E(X)=0 +(-1) +123 1141142=421.二、思维提升训练712.C 解析 因为曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线,所以 P(-1E(X2),所以应生产甲品牌家电 .110 91016.解 (1)20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)= p2(1-p)18.220因此 f(p)= 2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2 p(1-p)17(1-10p).220 2208令 f(p)=0,得 p=0.1.当 p(0,0 .1)时, f(p)0;当 p(0 .1,1)时, f(p)400,故应该对余下的产品作检验 .
