1、- 1 -四川省绵阳市江油中学 2019届高三 9月月考数学试卷数 学 （理科）本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分第 I卷 1至 2页，第 II卷 2至 4页满分 150分考试时间 120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用 0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用 2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内2选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用 0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效3考试结束后将答题卡收回第卷（选择题，共 60
2、分）一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A. 第二象限 B. 第一象限 C. 第四象限 D. 第三象限【答案】C【解析】，复数 在复平面内对应坐标为 ，所以复数 在复平面内对应的点在第四象限，故选 C.2.已知 ，函数 的定义域为 ， ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合 M，N 后，再判断【详解】由题意 ， ， - 2 -故选 A【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素确定集合的元素时要注意代表元
3、形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定3.已知 f（x）=ax 2+bx是定义在a1，3a上的偶函数，那么 a+b的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由定义域关于原点对称求出 a的值，再由 f（x）=f（x）求得 b的值，则答案可求【详解】由 f（x）=ax 2+bx是定义在a1，3a上的偶函数，得 a1=3a，解得：a= 再由 f（x）=f（x） ，得 a（x） 2bx=ax 2+bx，即 bx=0，b=0则 a+b= 故选：B【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，函数是偶函数或奇函数，其定义域关于原点对称，是基础题4
4、.设 ，则不等式 f（x）f（1）的解集是（）A. （3，1）（3，+） B. （3，1）（2，+）C. （3，+） D. （，3） （1，3）【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论 x的范围进行求解即可【详解】由函数的解析式得 f（1）=14+6=3，则不等式等价为 f（x）3，若 x0 得x+63，得 x3，若 x0，则不等式等价为 x2+4x+63，即 x2+4x+30，得3x1，- 3 -综上不等式的解集为（3，1）（3，+） ，故选：A【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进行求解是解决本题的关键5.已知命题 ： , ，命题 ： , ，则下列命题
5、中为真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】命题 p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题 q：由 2x+21x =2 ，化为：（2 x） 222x+2=0，解得 2x= ，x= ，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出【详解】命题 p：xN *， （ ） x（ ） x，利用指数函数的性质可得：是真命题；命题 q：由 2x+21x =2 ，化为：（2 x） 22 2x+2=0，解得 2x= ，x= ，因此 q是假命题则下列命题中为真命题的是 P（q） ，故选：C【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，
6、属于中档题6.已知实数 满足 ，则函数 的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以 ，所以函数 是增函数，又因为 ，根据零点存在定理可知函数 的零点所在的区间是 ，故选 B.- 4 -考点：1、函数的单调性；2、零点存在定理.【方法点睛】本题是一个关于函数的单调性与函数零点问题的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，首先根据题目条件判断出实数 的取值范围，再根据此范围判断出函数 在其定义域上的单调性，最后再应用零点存在定理，即可得到函数的零点所在的区间，从而使问题得到解决 .7.已知函数 ，则 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答
7、案】A【解析】【分析】由函数奇偶性定义判断函数的奇偶性，再给函数求导判断单调性，最后代入特殊点判断.【详解】因为 ，所以函数为奇函数，排除 B选项，求导： ，所以函数单调递增，故排除 C选项，令 ，则 ，故排除 D.故选 A.【点睛】本题考查函数图像的判断，由对称性可知可以先由奇偶性判断，由其图像趋势可知- 5 -可以利用单调性判断，最后对比两图像可以用代入特殊点的方式判断，一般要根据函数图像的差别代入相应的点.8.若 是奇函数，且在 内是增函数，又 ，则 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意画出函数的单调性示意图，由不等式 xf（x）0 可得，x 与 f（
8、x）的符号相反，数形结合求得不等式的解集【详解】由题意可得，函数 f（x）在（，0）上是增函数，且 f（3）=f（3）=0，函数的单调性示意图如图所示：由不等式 xf（x）0 可得，x 与 f（x）的符号相反，结合函数 f（x）的图象可得，不等式的解集为（3，0）（0，3） ，故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题9.已知函数 ,则 在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D. 【答案】C- 6 -【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为函数 f（x）=ax 24axlnx 与 x轴在（1，3）有交点，通
9、过讨论 a的范围，结合二次函数的性质判断即可【详解】f（x）=2ax4a = ，若 f（x）在（1，3）上不单调，令 g（x）=2ax 24ax1，则函数 g（x）=2ax 24axl 与 x轴在（1，3）有交点，a=0时，显然不成立，a0 时，只需 ，解得：a ，故选：C【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题10.若函数 的最大值为 ，则实数 的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】讨论 x0 时，运用基本不等式可得最大值 f（1）=a，求得 x0 的函数的导数，讨论 a=0显然成立；a0，求得单调性，可得最大值，可令最大
10、值小于等于 a，解不等式可得所求范围【详解】当 x0 时，f（x）=x+ +a+22 +a+2=a，当且仅当 x=1，即 f（1）取得最大值 a，当 x0 时，f（x）=alnxx 2，导数为 f（x）= 2x，- 7 -若 a=0时，f（x）=x 20，显然成立；若 a0，则可得 f（x）在（0， ）递增， （ ，+）递减，可得 f（ ）取得极大值，且为最大值 aln ，由题意可得 aln a，解得 0a2e 3，综上可得 0a2e 3，故选：C【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和函数的导数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题11.已知函数 ，若 ，则（ ）A. B. C
11、. D. 【答案】C【解析】分析：先利用数形结合得到 ，判断函数 的单调性，得到函数在 为增函数，从而可得结果.详解：时， ，所以函数 ，在 为增函数，通过平移可得 ，在 为增函数，作出 与 的图象，- 8 -，可得 ，故 ，故选 C.点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解
12、集；4、研究函数性质12.已知函数 ，若函数 的图象与 轴的交点个数不少于 2个，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数 y=f（x）的图象与直线 y=m（x+1）的交点个数至少为 2个，分别作出y=f（x）的图象和直线 y=m（x+1） ，分别求得直线与 x0 的曲线相切，以及 x1 的曲线相切的 m的值，和经过点（1， ）时 m的值，结合图象可得 m的范围【详解】函数 g（x）=f（x）mxm 的图象与 x轴的交点个数不少于 2个，即为函数 y=f（x）的图象与直线 y=m（x+1）的交点个数至少为 2个，分别作出 y=f（x）的图象和直
13、线 y=m（x+1） ，- 9 -当直线与曲线在 x0 相切时，设切点为（s，t） ，由 y=（ ） x的导数为 y=（ ） xln2，可得 m=（ ） sln2，t=（ ） s=m（s+1） ，解得 m=2eln2，由 x1 时，联立直线 y=m（x+1）和 y=x 2+4x ，可得x 2+（4m）xm =0，由相切条件可得=（4m） 24（m+ ）=0，解得 m=6 （6+ 舍去） ，由直线经过点（1， ） ，可得 m= ，则由图象可得 m的范围是 ，6 （，2eln2故选：D【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查分类讨论思想方法和方程思想、以及数形结合思想方法，属于中档题第卷（非
14、选择题，共 90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分13.已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为_- 10 -【答案】【解析】设幂函数 ，把点 代入函数 ，得 ，解得 ，则 ，故答案为 .14.已知函数 是定义在实数集 上周期为 2的奇函数，当 时， ，则 _.【答案】1【解析】【分析】利用函数的周期为 2，且函数为奇函数，得到 f（ ）+lg14=f（ ）+lg14=f（ ）+lg14=f（ ）+lg14，再利用当 x（0，1时，f（x）=lg（x+1） ，能求出结果【详解】函数 f（x）是定义在实数集 R上周期为 2的奇函数，当 x（0，1时，f（x）=lg（x+1）
15、，f（ ）+lg14=f（ ）+lg14=f（ ）+lg14=f（ ）+lg14=lg +lg14=lg（14 ）=lg10=1故答案为：1【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15.若函数 f（x）= +m在区间a，b上的值域为 ， （ba1） ，则实数 m的取值范围为_.【答案】 - 11 -【解析】【分析】由题意可得 ，即 +m= 在1，+）上有 2个不等实数根，故函数 y= 的图象和直线 y= m 在1，+）上有 2个交点，数形结合求得 m的范围【详解】由于函数 f（x）= +m在区间a，b上有意义且是增函数，值域为 ，
16、，ba1，故有 ， +m= 在1，+）上有 2个不等实数根，故函数 y= 的图象和直线 y= m 在1，+）上有 2个交点如图所示：当 m=0时，函数 y= 的图象（红线）和直线 y= m （虚的蓝线）相切于点（2，1） 当直线 y= m（实蓝线）经过点（1，0）时，由 0= m，求得 m= ，数形结合可得 m的范围是（0， ，故答案为：（0， 【点睛】本题主要考查求函数的定义域和值域，二次函数的性质应用，求得 ，是解题的关键，属于中档题- 12 -16.已知函数 ， (e是自然对数的底数)，对任意的 R，存在 ，有 ，则 的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】问题转化为 f（x） maxg
17、（x） max，分别求出 f（x）和 g（x）的最大值，得到关于 a的不等式，解出即可【详解】对任意的 x1R，存在 x2 ，2，有 f（x 1）g（x 2） ，故 f（x） maxg（x） max，f（x）= ， （x0） ，令 f（x）0，解得：0xe，令 f（x）0，解得：xe，故 f（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，故 f（x） max=f（e）= ，g（x）=2ex+a，a0 时，g（x）0，g（x）在 ，2递减，g（x） max=g（ ）=e + a ，解得：a + （舍） ，a0 时，令 g（x）=0，解得：x= ，（i） 即 a 时，g（x）在 ，2递减，结合，不合题意
18、，舍，（ii） 2 即 a4e 时，g（x）在 ， ）递增，在（ ，2递减，故 g（x） max=g（ ）= ，- 13 -解得：a2；（iii） 2 即 a4e 时，g（x）在 ，2递增，g（x） max=g（2）=4e+2a ，解得：a2e+ ，综上，a2，故答案为：2，+） 【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知 m0，p：x 22x80，q：2mx2+m（1）若 p是 q的充分不必要条件，求实数 m的取值范围；（2）若 m=5， “pq”为真命题， “pq”
19、为假命题，求实数 x的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件的定义进行求解即可（2）根据复合命题真假关系，进行求解即可【详解】 （1）由 x22x80 得2x4，即 p：2x4，记命题 p的解集为A=2，4，p是 q的充分不必要条件，AB， ，解得：m4 （2）“pq”为真命题， “pq”为假命题，命题 p与 q一真一假， 若 p真 q假，则 ，无解，若 p假 q真，则 ，解得：3x2 或 4x7综上得：3x2 或 4x7【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的判断，利用定义法是解决本题的关键18.已知函数 ，是否存在实数 ，使函数
20、 有三个不同的零点，若- 14 -存在，求出 的取值范围，若不存在，说明理由【答案】 .【解析】【分析】要使函数 有三个不同的零点，即使函数 的图象与 轴的正半轴有三个不同的交点【详解】 ， ， 令 ，则 或 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ，单调递减；当 时， ， 单调递增； ， ，当 充分接近 0时， ，当 充分大时， ，要使函数 有三个不同的零点，即使函数 的图象与 轴的正半轴有三个不同的交点；故应有 ，解得 ，存在实数 ，使函数 有三个不同的零点，所以 的取值范围是 【点睛】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方
21、程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力19.已知函数 （1）求函数 的单调区间；（2）设 ，求函数 在区间 上的最大值【答案】 （1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； （2）当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 【解析】【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）对 a分类讨论，明确函数的- 15 -单调性，从而得到函数的最值.【详解】 （1） ，由 ，解得 ；由 ，解得 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）由（1）可知：当 时，即 ， 在 上是增函数，所以此时 ；当 ， 时，即 ， 在 处取得极大值，也是
22、它的最大值，所以此时；当 时， 在 上是减函数，所以此时 综上，函数 在区间 上的最大值；当 时，为 ；当 时，为 ；当 时，为 【点睛】函数的最值(1)在闭区间 上连续的函数 f(x)在 上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在 上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在 上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值20.已知函数 u（x）= ）（）若曲线 u（x）与直线 y=0相切，求 a的值（）若 e+1a2e，设 f（x）=|u（x）| ，求证：f（x）有两个不同的零点 x1，x 2，且|x 2x 1|e （e 为自然对数
23、的底数）【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】【分析】（）设出切点坐标，求出函数的导数，根据斜率是 0，求出 a的值即可；（）求出必存在 x0（e，2e） ，使得 u（x 0）=0，即 =lnx0，通过讨论 x的范围，求出函- 16 -数的零点的范围，从而证明结论即可【详解】 （）设切点 又切点在函数 上， 即 （）证明:不妨设 ， ，所以 在 上单调递减，又 ，所以必存在 ，使得 ，即.当 时， ， 所以 在区间 上单调递减，注意到 ，所以函数 在区间 上存在零点 ，且 . 10分当 时, 所以 在区间 上单调递增，又 ，且 ，所以 在区间 上必存在零点 ，且 . 综上， 有两个不同的
24、零点 、 ，且 .【点睛】本题考查切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题- 17 -21.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:( 0),已知过点 P(-2,-4)的直线 l的参数方程为: （t 为参数）,直线 l与曲线 C分别交于 M,N两点(1)写出曲线 C和直线 l的普通方程；(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 的值【答案】(1) 曲线 C: , 直线 的普通方程为 ；(2) 【解析】试题分析：(1) 由 代入 可得曲线 C普通方程，直线 l参数方程 ， 两式相减消去参数 ，可得直线
25、l的普通方程；(2)设两交点M,N对应的参数分别为 t1,t2， 将直线的参数方程代入抛物线方程可得，韦达定理求出 ，又|MN| 2=|PM|PN|得(t 1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t1t2,解得 解：(1)由 得曲线 C: ,消去参数 t可求得,直线 l的普通方程为 4 分(2)直线 l的参数方程为 (t为参数),代入 ,得 ,设两交点 M,N对应的参数分别为 t1,t2,则有 , 因为|MN| 2=|PM|PN|,所以(t 1-t2)2=(t1+t2)2-4t1t2=t1t2,解得 12 分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程22.已知函数 .（1）求不等式 的
26、解集；（2）若不等式 解集非空，求实数 的取值范围.- 18 -【答案】 （1） ；（2） 或【解析】【分析】（1）通过对 x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式 f（x）6 的解集；（2）由题意可得|a1|应大于函数 f（x）=|2x+1|+|2x3|的最小值，而由绝对值的意义可得 f（x）的最小值为 4，故有 a23a4，由此求得实数 a的取值范围【详解】 （1） ，（2）因为 ，当且仅当 时取等故不等式 解集非空，等价于 或 .【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
