1、- 1 -四川省眉山一中办学共同体 2019 届高三数学上学期期中试题 理第 I 卷（选择题）一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分,每个小题仅有一个正确答案）1.已知集合 ， ，则 （ ）2|3Ax|21xBABA0,3 B(0,3 C1,+) D1,1) 2.非零向量 的夹角为 ，则” ”是“ ”的( ),ab),0(0cosA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.各项均为正数的等比数列 na中， 24，则 153a的值为（ ）A.5 B.3 C.6 D.84.若当 xR 时，函数 f（x）=a |x|始终满足 0|f（x）|1，
2、则函数 y=loga| |的图象大致x1为（ ）A BC D5.设 ，函数 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，0sin23yx43则 的最小值是（ ）A B C.3 D234 326.若直线 与曲线 （ ， 为自然对数的底数）相切，则 （ ）yxxmyeRemA1 B2 C.-1 D-27. 圆 x2+y2+4x2y1=0 上存在两点关于直线 ax2by+1=0（a0，b0）对称，则 + 的最小值为（ ）A3+2 B9 C16 D18- 2 -8.设等差数列 na的前项的和为 nS，若 60a， 7，且 76a，则（ ）A 120S B 12 C. 12S D 120S9.设函数 ，若关于
3、 x 的方程 恰有三个不同的实数2log(),()xf()fxaf根，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C D 0,)(0,)(1,)1,)10.已知定义在 R上的可导函数 fx的导函数为 fx，若对于任意实数 x，有()fxf，且 1y为奇函数，则不等式 ()xfe的解集为( )A (,0) B (0, C 4,e D 4(,)e11.已知 ， 是两个非零向量，且 ， ，则 的最大值为( )mn1m23nmnA B C4 D5512. 将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学，每人至少 1 本，不同的分配方法数有（ ）A24 B28 C32 D36第 II 卷（非选择题）
4、二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.复数 则 .,21iz|z14.已知（1+ax）(1+x) 5的展开式中 x2的系数为 5，则 a= 15. .00cossin216.若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点 P 落在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率 e3、解答题（本题共 6 道小题,选做题 10 分，其余题每题 12 分，共 70 分）17.（本小题满分 12 分）已知函数 2sincocos3fxxx， 0，- 3 -（1）求 6f； （2）求 fx的最大值与最小值.18. （本小题满分 12 分）已知 为等差数列，前 n 项和为 ，
5、 是首项为 2na()nSNnb的等比数列，且公比大于 0， , ， .231b3412a4（）求 和 的通项公式；na（）求数列 的前 n 项和 .21n()N19. （本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 ;x2s（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ，Z2(,)N其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .x22s（i）利用该正态分布，求 ；(187.1)P（ii）某用户从该
6、企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标值位于区X间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 .E附： 12.2.150若 ，则 =0.6826， =0.9544.Z2(,)N()PZ(22)PZ- 4 -20.（本小题满分 12 分）如图，矩形 ABCD 中， ， ，点 F 是 AC 上的动点.6AB23D现将矩形 ABCD 沿着对角线 AC 折成二面角 ，使得 .C0（1）求证：当 时， ；3AFDBC（2）试求 CF 的长，使得二面角 的大小为 .AF421.（本小题满分 12 分）已知函数 有最大值 ，2()ln()fxaxR12，且 是
7、的导数.2()()gxfxg（1）求 a 的值；（2）证明：当 ， 时， .1212()30x12()gx请在 22、23 两题中任选一体作答，多选则按所答的第一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22.（10 分）已知 f(x)=|x+1|ax1|（1）当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集；（2）若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围23. 以直角坐标系的原点 O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的直角坐标为(1,0)，若直线 l的极坐标方程为 2cos()104，曲线 C 的参数方程是24xty（ 为参数） （1）求
8、直线 l和曲线 C 的普通方程；（2）设直线 和曲线 C 交于 A，B 两点，求 1MAB- 5 -眉山一中办学共同体高三第五学期 11 月考试数学试题(理工)第 I 卷（选择题）一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分,每个小题仅有一个正确答案）1.已知集合 ， |21xB，则 AB（B ）2|3AxA0,3 B(0,3 C1,+) D1,1) 2.非零向量 ,ab的夹角为 ，则” ”是“ ”的( A ),0(0cosA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.各项均为正数的等比数列 na中， 24，则 153a的值为（ C ）A.5
9、B.3 C.6 D.84.若当 xR 时，函数 f（x）=a |x|始终满足 0|f（x）|1，则函数 y=loga| |的图象大致x1为（B ）A BC D【解答】解：当 xR 时，函数 f（x）=a |x|始终满足 0|f（x）|1因此，必有0a1先画出函数 y=loga|x|的图象：黑颜色的图象而函数 y=loga| |=log a|x|，其图象如红颜色的图象故选 B- 6 -5.设 0，函数 sin23yx的图像向右平移 43个单位后与原图像重合，则 的最小值是（ ）A 23 B 4 C.3 D 325.D6.若直线 yx与曲线 xmye（ R， e为自然对数的底数）相切，则 m（ ）
10、A1 B2 C.-1 D-26.C7.圆 x2+y2+4x2y1=0 上存在两点关于直线 ax2by+1=0（a0，b0）对称，则 + 的最小值为（ ）A3+2 B9 C16 D187.D【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆 x2+y2+4x2y1=0 上存在两点关于直线 ax2by+1=0（a0，b0）对称，说明直线经过圆心，推出 a+b= ，代入 + ，利用基本不等式，确定最小值，推出选项【解答】解：由圆的对称性可得，直线 ax2by+1=0 必过圆心（2，1） ，所以 a+b= 所以 + =2（ + ） （a+b）=2（5+ + ）2（5+4）=18，当且仅当 = ，即 2a=b 时取等
11、号，故选 D- 7 -8.设等差数列 na的前项的和为 nS，若 60a， 7，且 76a，则（ ）A 120S B 12 C. 120S D 120S8.C， ， ， ， ，故选 C.9.设函数 2log(),0()xf，若关于 x 的方程 2()0fxaf恰有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是 （ ）A 0,) B (0,) C (1,) D 1,)9.D作出函数 ()yfx的图象.因为由方程 2()0fxaf,得 ()fx或 ()fa.显然()0fx有一个实数根 1,因此只要 有两个根(不是 1),利用图象可得, 实数 a 的取值范围是 ,).10.已知定义在 R上的可导函数 (
12、fx的导函数为 ()fx，若对于任意实数 x，有()fx，且 )1yf为奇函数，则不等式 xe的解集为( )A ,0 B (0, C 4(,) D 4(,)e10.B11.已知 m， n是两个非零向量，且 1m， 23n，则 mn的最大值为( )A 5 B 0 C4 D511.B8. 将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学，每人至少 1 本，不同的分配方法数有（ ）A24 B28 C32 D3612.B【考点】排列、组合及简单计数问题- 8 -【分析】由敌意分为 3 类，第一类，先选 1 人得到两本语文书，剩下的 3 人各得一本，第二类，先选 1 人得到一本语文书和一本数学书
13、，其余 3 人各一本书，第三类，先选 1 人得到两本数学书，剩下的 3 人各得一本根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，先选 1 人得到两本语文书，剩下的 3 人各得一本，有 C41C31=12 种，第二类，先选 1 人得到一本语文书和一本数学书，其余 3 人各一本书，有 C41C31=12 种，第三类，先选 1 人得到两本数学书，剩下的 3 人各得一本，有 C41=4 种，根据分类计数原理可得，12+12+4 种，故选：B第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.复数 则 .,21iz|z14.已知（1+ax）(1+x) 5的展开式中 x2
14、的系数为 5，则 a= 14.-115. .001cos2sin15. 316.若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点 P 落在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率 e 16.213. 解答题（本题共 6 道小题,选做题 10 分，其余题每题 12 分，共 70 分）17.（本小题满分 12 分）已知函数 2sincocos3fxxx， 02，（1）求 6f；（2）求 fx的最大值与最小值.- 9 -17.解：（1） ， 1sin62,3)6cos(所以 ,)2()(f（2） 2sincocos3fxxx132incosincos2xx3si1s3sin6.因为 02x，所以
15、 5x，.又因为 sinyz在区间 62，上是递增，在区间 526，上递减.所以，当 x，即 3x时， fx有最大值 3；当 26，即 0时， 有最小值 0.4、 （本小题满分 12 分）已知 na为等差数列，前 n 项和为 ()nSN， nb是首项为 2的等比数列，且公比大于 0， 231b, 3412a， 4.（）求 na和 的通项公式；（）求数列 21n的前 n 项和 ()N.18.（I）设等差数列 的公差为 d，等比数列 nb的公比为 .q由已知 23b，得 21()bq，而 12，所以 260.又因为 0q，解得 .所以， n. 由 341a，可得 138da .由 14=S，可得
16、156ad ，联立，解得 ， 3，由此可得 2n.所以，数列 n的通项公式为 n，数列 b的通项公式为 2nb.（II）解：设数列 21ab的前 项和为 nT，由 26na， 4nn，有 21(3)4na，- 10 -故 234584(1)4nnT ， 1(3)4n，上述两式相减，得 2 13()nnT 1112(4)()438.nn得 3nnT.所以，数列 21nab的前项和为 12843n.5、 （本小题满分 12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x和样本方差 2s（
17、同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z服从正态分布 2(,)N，其中 近似为样本平均数 x， 2近似为样本方差 2s.（i）利用该正态分布，求 (187.1)P；（ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 E.附： 15012.2.- 11 -若 Z 2(,)N，则 ()PZ=0.6826， (22)PZ=0.9544.19.() 抽取产品质量指标值的样本平均数 x和样本方差 s分别为170.280.91.20.343x22223
18、1040830s5（） （）由()知 Z (2,15)N，从而(187.21.)P0.201.)682PZ（）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 (,.68)XB:，所以 EX 20.（本小题满分 12 分）如图，矩形 ABCD 中， 6AB， 23D，点 F 是 AC 上的动点.现将矩形 ABCD 沿着对角线 AC 折成二面角 C，使得 0.（1）求证：当 3AF时， DBC；（2）试求 CF 的长，使得二面角 AF的大小为 4.20.（1）连结 ， B在矩形 ABCD中， 23,6CD, 043,ACB, 06DAC- 12 -在
19、 ADF中， 3, 22cos9DFADAFC， 29， C，即 又在 B中， 22cos1BB ，在 F中， 23(1)F ,D,又 AC, D平面 AC B（2）解：在矩形 中，过 作 E于 O，并延长交 AB于 E. 沿着对角线 AC翻折后，由（1）可知， ,OECD两两垂直，以 为原点， 的方向为 x轴的正方向建立空间直角坐标系 xyz，则(0,)(1,0)(,3)(,20)B, EO平面 ADF,OE为平面 ADF的一个法向量 设平面 B的法向量为 (,)xyzn(0,)Ft， (3,2),(3,2,0)t,由 ,Bn得 0()xyzt，取 ,y则 3,xtzt , (23,)ttn
20、|cos,4OE即 22|3|()9tt, 4t当 13CF时，二面角 ADFB的大小是 21.（本小题满分 12 分）? 2()ln()fxaxR? 12, 2()()gxfx,?()gx? ?.(1)?a?;- 13 -(2)?:? 12x, 12()30gx?, 12()gx.（1） ()f的定义域为 (,)，fa当 0a时， 0x，()fx在 ,上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去,当 0a时，令 ()0fx，得12xa，当1(,)2x时， ()f，函数 ()fx单调递增；当(,)a时， ()0fx，函数 ()f单调递减， max11()()ln22ff a,11ln22,a（2
21、）由（1）可知，2()lngxx,1()2gxx， ()0, ()在 0)上单调递增又 12， 123gx且12g, 12x,(),当 x时， ()0x， ()gx单调递增,要证 12(g，即 12()(，只要证 12x，即 21xx， 1x,所以只要证 21()(3()ggx11()3gx（*）, 设 ()Gxxln2（其中 0）,1()212()x3(1)x,x在（0，1）上为增函数, - 14 -()13Gx，故（*）式成立，从而 12()gx请在 22、23 两题中任选一体作答，多选则按所答的第一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22.（10 分）已知 f(x
22、)=|x+1|ax1|（1）当 a=1 时，求不等式 f(x)1 的解集；（2）若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围22.解（1）当 1a时， ()|1|fxx，即 .1,2,)(xf故不等式 ()fx的解集为|2（2）当 0,1时 |1|ax成立等价于当 (0,1)x时 |1ax成立若 a，则当 (,)x时 |；若 0， |1|的解集为20xa，所以1，故 02a综上，a 的取值范围为(0,220. 以直角坐标系的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的直角坐标为(1,0)，若直线 l的极坐标方程为 2cos()104，曲线 C 的参数方程是24xty（ 为参数） （1）求直线 l和曲线 C 的普通方程；（2）设直线 和曲线 C 交于 A，B 两点，求 1MAB解：（1）因为 2cos()04，所以 cosin10由 cs,inxy，得 1xy，因为24xty，消去 得 24yx 所以直线 l和曲线 C的普通方程分别为 0和 2 5 分- 15 -（2）点 M的直角坐标为 (1,0)，点 M在直线 l上，设直线 l的参数方程：12xty，（ 为参数） ，,AB对应的参数为 12,t 480t12124,8tt2112()1Mtt3
