1、1四川省眉山一中办学共同体 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理第 I 卷（选择题）一、选择题（共 60 分，每小题 5 分，每个小题有且仅有一个正确的答案）1下列结论正确的个数为( )A梯形可以确定一个平面；B若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C若 l 上有无数个点不在平面 内，则 l D如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合2.平面 的法向量为 (1,2，2)，平面 的法向量 (2， h， k)，若 ，ab则 h k 的值为( )A.2 B.8 C.0 D.63. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 BC1， CD1的中点
2、，则下列判断错误的是( )A MN 与 CC1垂直 B MN 与 AC 垂直C MN 与 BD 平行 D MN 与 A1B1平行4若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，l则直线 与平面 所成的角等于( )A120 B30 C 60 D60或 305. 已知二面角 l 的大小是 ， m， n 是异面直线，3且 m ， n ，则 m， n 所成的角为( )A. B. C. D.32266已知 A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( )A(1,1,1) B 3,（C (1，1,1) D ),3（7下列结论中，正确的是( )A若
3、直线 平行平面 ，点 P ，则平面 内经过点 P 且与直线 平行的直线有且只aa有一条B若 a， b 是两条直线，且 a b，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面C若直线 a 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行2D若 a， b 是两条直线， ， 是两个平面，且a ， b ，则 a， b 是异面直线8.已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为 的正三角形.若 P 为底面 A1B1C1493的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 ( )A. B. C. D.1253469.已知平面 与平面 相交，直线 m ，则( )A. 内必存在直线与
4、 m 平行，且存在直线与 m 垂直B. 内不一定存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直C. 内必存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直D. 内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直10在下列结论中：若向量 共线，则向量 所在的直线平行；ba,ba,若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；ba,若三个向量 两两共面，则向量 共面；c, c,已知空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数 x， y， z 使得ba, p.zyaxp其中正确结论的个数是( )A0 B1 C2 D311已知 l， m， n 为不同的直线， ， ， 为不同的平面，则
5、下列判断正确的是( )A若 m ， n ，则 m nB若 m ， n ， ，则 m nC若 m， n， l m， l n，则 l D若 l， m ， m ，则 m l12已知 a， b 是异面直线， A， B a， C， D b， AC b， BD b 且 AB2， CD1，则异面直线 a， b 所成的角等于( )A30 B45 C60 D90第 II 卷（非选择题）二、填空题（共 20 分，每小题 5 分）13已知向量 ， ，若 ，则 _.)1,4(xa)4,2(xbbax314.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线 AP 与BD 所成的角为_
6、15.在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 6 的正三角形， SA SB SC15，平面 DEFH 分别与 AB， BC， SC， SA 交于点 D， E， F， H.且 D， E 分别是 AB， BC 的中点，如果直线 SB平面 DEFH，那么四边形 DEFH 的面积为_16.如图，圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形， O 为底面中心， M 为SO 中点，动点 P 在圆锥底面内(包括圆周)若 AM MP，则点 P 形成的轨迹长度为_三、解答题（共 70 分）17.（10 分）直三棱柱 中， AC BC AA=2， ACB90，CBAD、 E 分别为 AB、 BB的中点.
7、(1)求证： ；C(2)求异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值.18.(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面ABCD， AD AB， AB DC，AD DC AP2， AB1，点 E 为棱 PC 的中点(1)证明： BE DC；(2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；19.(12 分)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别是 AB， BB1的中点，AA1 AC CB .2(1)证明： BC1平面 A1CD；4(2)求二面角 D A1C E 的正弦值.20.（12 分）如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱PA P
8、D ， PA PD，2底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD， AB AD， AB BC1， O 为 AD 中点(1)求 B 点到平面 PCD 的距离；(2)线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角 Q AC D的余弦值为 ？36若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由DP21. (12 分)如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD， AB4， BC3， AD5， DAB ABC90， E 是 CD 的中点.(1)证明： CD平面 PAE；(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P ABCD 的体积.22.（12
9、 分）如图，三棱锥 的侧面 是等ABCDAB腰直角三角形， ， ，905，且 120BDC2AB（1）求证：平面 平面 ；DC（2）求二面角 的余弦值6眉山一中办学共同体 2020 届第三期半期考试题数学（理工类）参考答案一选择题1A. 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C二填空题13.2 14. 15. 16.6024527三解答题17 题（10 分）解：法一：如图建立空间直角坐标系，其各点坐标如图所示（1）证明： )2,1(),20(DACEA（2） )2,0(),120(|,cosCAEC1异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为
10、。0法二：(1)证明 设 a， b， c，根据CA CB CC 题意，| a| b| c|，且 ab bc ca0， b c， c b a.CE 12 A D 12 12 c2 b20. CE A D 12 12 CE ，即 CE A D.A D (2)解 a c，| | |a|，|AC AC 2| |a|.CE 52 ( a c) c2 |a|2，cos ， AC CE (b 12c) 12 12 AC CE 7 .12|a|2252|a|2 1010即异面直线 CE 与 AC所成角的余弦值为 .101018 题（12 分）解： (1)证明 依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图，可
11、得 B(1,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)， E(1,1,1)。(0,1,1)， (2,0,0)，BE DC 故 0，所以 BE DC.BE DC (2) (1,2,0)， (1,0，2)BD PB 设 n( x， y， z)为平面 PBD 的一个法向量，则Error! 即Error!不妨令 y1，5 分可得n(2,1,1)于是有 cos n， BE nBE |n|BE | 262，33所以，直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 .7 分3319 题（12 分）解：(1)证明 连接 AC1交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1的中点.又 D 是
12、AB 的中点，连接 DF，则 BC1 DF.因为 DF平面 A1CD， BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.(2)由 AC CB AB 得， AC BC.22以 C 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 的方向为 y 轴正方向， 的方向CA CB CC1 为 z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz.设 CA2，则 D(1,1,0)， E(0,2,1)， A1(2,0,2)， (1,1,0)， (0,2,1)， (2,0,2).CD CE CA1 8设 n( x1， y1， z1)是平面 A1CD 的法向量，则Error! 即Error!可取 n(1，1，1).同理
13、，设 m 是平面 A1CE 的法向量，则Error! 可取 m(2,1，2).从而 cos n， m ，故 sin n， m .nm|n|m| 33 63即二面角 D A1C E 的正弦值为 .6320 题（12 分）.解：在 PAD 中， PA PD， O 为 AD 中点， PO AD.又侧面 PAD底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， PO平面 PAD， PO平面ABCD.在 PAD 中， PA PD， PA PD ， AD2.2在直角梯形 ABCD 中， O 为 AD 的中点， AB AD， OC AD.以 O 为坐标原点， OC 为 x 轴， OD 为 y 轴， OP 为
14、 z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 P(0,0,1)， A(0，1,0)， B(1，1,0)，C(1,0,0)， D(0,1,0)，(1) (1，1，1)PB 设平面 PCD 的法向量为 u( x， y， z)，则Error! 取 z1，得 u(1,1,1)则 B 点到平面 PCD 的距离 d .|PB u|u| 33(2)设 (0 1) (0,1，1)， (0， ， )，PQ PD PD OQ OP PQ (0， ，1 )， Q(0， ，1 )OQ 设平面 CAQ 的法向量为 m( x， y， z)，则Error! 取 z1 ，得 m(1 ， 1， 1)平面 CAD 的一个法向量为 n(
15、0,0,1)，二面角 Q AC D 的余弦值为 ，63|cos m， n| .|mn|m|n| 63整理化简，得 3 210 30.解得 或 3(舍去)，存在，且 .13 PQQD 12921 题(12 分)解：方法一 (1)证明 如图，连接 AC.由 AB4， BC3， ABC90得 AC5.1 分又 AD5， E 是 CD 的中点，所以 CD AE.2 分因为 PA平面 ABCD， CD平面 ABCD，所以 PA CD. 4 分而 PA， AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE. 5 分(2)过点 B 作 BG CD，分别与 AE， AD 相交于点 F， G，连接
16、PF.由(1) CD平面 PAE 知， BG平面 PAE.于是 BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且 BG AE. 6 分由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 7 分由题意得 PBA BPF，因为 sin PBA ，sin BPF ，所以 PA BF.PAPB BFPB由 DAB ABC90知， AD BC.又 BG CD，所以四边形 BCDG 是平行四边形.故 GD BC3.于是 AG2.在 Rt BAG 中， AB4， AG2， BG AF，所以BG 2 ， BF .于是 PA BF . 10 分AB2 AG2 5AB2BG 162
17、5 855 855又梯形 ABCD 的面积为 S (53)416，12所以四棱锥 P ABCD 的体积为 V SPA 16 . 12 分13 13 855 128515方法二 如图，以 A 为坐标原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系.设 PA h，则 A(0,0,0)， B(4,0,0)， C(4,3,0)， D(0,5,0)， E(2,4,0)， P(0,0， h). 2分(1)证明 易知 (4,2,0)， (2,4,0)， (0,0， h).CD AE AP 因为 8800， 0， 4 分CD AE CD AP 所以 CD AE， CD
18、 AP.而 AP， AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.5 分(2)由题设和(1)知， ， 分别是平面 PAE，平面CD PA ABCD 的法向量. 6 分10而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，所以|cos ， |cos ， |，CD PB PA PB 即 . 8|CD PB CD |PB | |PA PB PA |PB |分由(1)知， (4,2,0)， (0,0， h)，CD PA 又 (4,0， h)，PB 故 .解得 h . 10 分| 16 0 02516 h2| | 0 0 h2h16 h2| 855又梯形 AB
19、CD 的面积为 S (53)416，12所以四棱锥 P ABCD 的体积为 V SPA 16 . 12 分13 13 855 12851522 （本小题满分 12 分）解：（1）证明：如图，取 BD 中点 E，连结 、 ， 1 分ACE因为 是等腰直角三角形，ABD所以 ， 2 分E设 ，则 ， 3 分a2Ca在 中，由余弦定理得：， 4 分222()()cos120CE27a因为 ， ，ABaAEa所以 ，即 ， 5 分22C又 ， ，ED所以 平面 ，AB所以平面 平面 ； 6 分D（2）解法一：过点 E 在平面 内作 交 于点 F，由（I）知 平面CEFBCAE，BCD分别以 为 x 轴
20、， y 轴， z 轴建立如图空间直角坐标系， 7 分,BFA不妨设 ，2D则： ， 8 分(0,1)(,)(1,0)(2,30)C则 ， ， ， 9 分3ACAB(1,)D11设平面 的法向量 ，ABC(,)xyzm则 ，取 ， 10 分023xzy1,3设平面 的法向量 ， (,)xyzn则 ，取 ， 11 分023xyz3,1所以 ， 05cos|7Amn,因为二面角 的平面角是锐角，BCD所以二面角 的余弦值为 . 12 分1053解法二：过点 D 作 DN AC 于点 N，设 D 在平面 ABC 上的射影为 M，连接 MN，则 AC MN，所以 DNM 为所求二面角的平面角， 7 分设 AB=1,则 AD=1,BD=CD= ， AC=2， BC= ,26在 ADC 中，cos DAC= ,34所以 DN= , 8 分74在 ABC 中，cos BAC= ,所以 sin BAC=14, 9 分154由 ,DABCDV所以 ,2115132()343M即 , 11 分0在 DMN 中，sin DNM= ,4235所以 cos DNM= ,10所以二面角 的余弦值为 . 12 分BACD53
