1、- 1 -第 9课时 空间几何中的平行和垂直的综合应用基础达标(水平一 )1.已知 , 为平面, a,b,c为直线,则下列命题中正确的是( ).A.a ,若 b a,则 b B. , =c ,b c,则 b C.a b,b c,则 a cD.a b=A,a ,b ,a ,b ,则 【解析】选项 A中, b 或 b ,故 A错误 .选项 B中, b与 不一定垂直,故 B错误 .选项 C中, a c或 a与 c异面或 a与 c相交,故 C错误 .利用面面平行的判定定理,可知 D正确 .【答案】D2.已知 , 是两个不同的平面, m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( ).A.若 m ,
2、=n ,则 m nB.若 m ,n m,则 n C.若 m ,n , ,则 m nD.若 , =n ,m n,则 m 【解析】对于 A,m , =n ,则 m n或 m与 n异面,故 A错误;对于 B,若 m ,n m,则n 或 n ,故 B错误;对于 C,若 n , ,则 n 或 n ,又 m ,所以 m n,故C正确;对于 D,若 , =n ,m n,则 m可能与 相交或与 平行或在 内,故 D错误 .故选 C.【答案】C3.在三棱锥 A-BCD中, AD与 BC互相垂直,且 AB+BD=AC+CD.则下列结论中错误的是( ).A.若分别作 BAD和 CAD的边 AD上的高,则这两条高所在
3、直线异面B.若分别作 BAD和 CAD的边 AD上的高,则这两条高长度相等C.AB=AC且 DB=DCD. DAB= DAC【解析】如图,作 BE AD交 AD于点 E,连接 CE.因为 AD BC,所以 AD平面 BEC,所以AD CE.设 AB+BD=AC+CD=m,则 BE2=AB2-AE2=(m-AB)2-DE2,可得 AB= .同理, AC=2-2+22,所以 AB=AC.故 ABD ACD.2-2+22【答案】A4.若 a,b为异面直线,则下列结论不正确的是( ).A.必存在平面 使得 a ,b B.必存在平面 使得 a,b与 所成角相等- 2 -C.必存在平面 使得 a ,b ,
4、D.必存在平面 使得 a,b与 的距离相等【解析】选项 C中,由线面垂直的性质定理知,当 a,b不垂直时,不存在平面 使得a ,b ,故错误 .【答案】C5.如图所示, ABCD-A1B1C1D1是棱长为 a的正方体, M、 N分别是棱 A1B1、 B1C1的中点, P是棱 AD上的一点, AP= .若过点 P、 M、 N的平面交上底面于 PQ,点 Q在 CD上,则 PQ= . 3【解析】如图所示,连接 AC,易知 MN平面 ABCD,MN PQ.又 MN AC,PQ AC.AP= , = = = ,3 23PQ= AC= a.23 223【答案】 a2236.如图,在正方体 ABCD-A1B
5、1C1D1中, EF与异面直线 AC,A1D都垂直相交 .求证: EF BD1.【解析】如图,连接 AB1,B1D1,B1C,BD.DD 1平面 ABCD,AC平面 ABCD,DD 1 AC.又 AC BD,DD1 BD=D,AC 平面 BDD1B1.又 BD1平面 BDD1B1,AC BD1.同理可证 BD1 B1C.又 B1C AC=C,BD 1平面 AB1C.- 3 -EF AC,EF A1D,又 A1D B1C,EF B1C.又 AC B1C=C,EF 平面 AB1C,EF BD1.7.如图, ABC是正三角形, AE与 CD均垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2a,CD=a,F是
6、BE的中点 .求证:(1)DF平面 ABC;(2)AF BD.【解析】(1)如图,取 AB的中点 G,连接 FG,CG,则 FG AE.12CD 平面 ABC,AE平面 ABC,CD AE.又 CD= AE.FGCD.12FG 平面 ABC, 四边形 CDFG是矩形, DF CG.又 CG平面 ABC,DF平面 ABC,DF 平面 ABC.(2)在 Rt ABE中, AE=2a,AB=2a,F为 BE的中点,AF BE. ABC是正三角形, CG AB,DF AB.又 DF FG,FG AB=G,DF 平面 ABE.AF 平面 ABE,DF AF.BE DF=F,AF 平面 BDF.又 BD平
7、面 BDF,AF BD.拓展提升(水平二)8.如图所示,在四边形 ABCD中, AD BC,AD=AB, BCD=45, BAD=90.将 ADB沿 BD折起,使平面 ABD平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD中,下列命题正确的是( ).A.AD平面 BCDB.AB平面 BCDC.平面 BCD平面 ABCD.平面 ADC平面 ABC【解析】在四边形 ABCD中, AD BC,AD=AB, BCD=45, BAD=90,所以 BD CD.又平面 ABD平面 BCD,且平面 ABD平面 BCD=BD,- 4 -所以 CD平面 ABD,所以 CD AB,又 AD AB,AD
8、CD=D,所以 AB平面 ADC,所以平面 ABC平面 ADC.【答案】D9.设 m,n,l是三条不同的直线, 是一个平面, l m,则下列说法正确的是( ).A.若 m ,l ,则 m B.若 l n,则 m nC.若 l n,则 m nD.若 m n,n ,则 l 【解析】若 l m,l n,则 m与 n可能平行,也可能相交或异面,故 B,C都不正确;由l m,m n,可得 l n,但不一定有 l ,故 D不正确;A 正确 .故选 A.【答案】A10.如图,在边长为 4 cm的正方形 ABCD中, E,F分别为 BC,CD的中点, M,N分别为 AB,CF的中点,现沿 AE,AF,EF折叠
9、,使 B,C,D三点重合,重合后的点记为 B,构成一个三棱锥,则 MN与平面AEF的位置关系是 . 【解析】如图,由题意可知,点 M,N在折叠后分别是 AB,BF的中点(折叠后 B,C两点重合),所以 MN AF.因为 MN平面 AEF,AF平面 AEF,所以 MN平面 AEF.【答案】平行11.如图,在四棱锥 P-ABCD中, AB CD,AB AD,CD=2AB,平面 PAD底面 ABCD,PA AD,E和 F分别是 CD和 PC的中点,求证:(1)PA底面 ABCD;(2)BE平面 PAD;(3)平面 BEF平面 PCD.【解析】(1) 平面 PAD底面 ABCD,且 PA垂直于这两个平
10、面的交线 AD,PA平面 PAD,PA 底面 ABCD.(2)AB CD,CD=2AB,E为 CD的中点,AB DE,且 AB=DE,- 5 - 四边形 ABED为平行四边形, BE AD.又 BE 平面 PAD,AD平面 PAD,BE 平面 PAD.(3)AB AD,且四边形 ABED为平行四边形,BE CD,AD CD.由(1)知 PA底面 ABCD.PA CD,且 PA AD=A,PA平面 PAD,AD平面 PAD,CD 平面 PAD.又 PD平面 PAD,CD PD.E 和 F分别是 CD和 PC的中点, PD EF,CD EF.又 BE CD且 EF BE=E,CD 平面 BEF.又 CD平面 PCD, 平面 BEF平面 PCD.
