1、1第 9课时 直线与抛物线的位置关系基础达标(水平一 )1.直线 l经过抛物线 y2=8x的焦点,与抛物线交于 A、 B两点, O为原点,则 的值为( ).A.12 B.20 C.-12 D.-20【解析】焦点为(2,0),设直线 l方程为 x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 y2-8my-16=0,=+2,2=8, y 1y2=-16,x1x2= = (y1y2)2=4,218228 164 =x1x2+y1y2=-12.【答案】C2.抛物线 y2=4x的焦点为 F,准线为 l,经过点 F且斜率为 的直线与抛物线在 x轴上方的部分相交于点3A,AK l,垂足为 K,则
2、AKF的面积是( ).A.2 B.4 C.4 D.83【解析】由抛物线的定义知 AF=AK,又 KAF=60,所以 AFK是正三角形 .联立方程组 2=4,= 3(-1),消去 y得 3x2-10x+3=0,解得 x=3或 x= .由题意得 A(3,2 ),13 3所以 AKF的边长为 4,面积为 42 =4 .12 3 3【答案】C3.已知 AB是过抛物线 2x2=y的焦点的弦,若 |AB|=4,则 AB的中点的纵坐标是( ).A.1 B.2 C. D.58 158【解析】如图所示,设 AB的中点为 P(x0,y0),分别过 A,P,B三点作准线 l的垂线,垂足分别为 A,Q,B,由题意得
3、|AA|+|BB|=|AB|=4,|PQ|= =2,又 |PQ|=y0+ ,y 0+ =2,y 0= .|+|2 18 18 158【答案】D4.设抛物线 y2=8x的准线与 x轴交于点 Q,若过点 Q的直线 l与抛物线有公共点,则直线 l的斜率的取值范围是( ).A. B.-2,2-12,12C.-1,1 D.-4,4【解析】由题意知,抛物线准线方程为 x=-2,点 Q(-2,0),2设直线 l:y=k(x+2),由 =(+2),2=8, 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当 k=0时, x=0,即直线 l与抛物线的交点为(0,0),当 k0 时, 0, -1 k0)的准线为 l,
4、过点 M(1,0)且斜率为 的直线与 l相交于点 A,与抛物线的一个交3点为 B,若 = ,则 p= . 【解析】由题知准线 l为 x=- (p0),2过点 M且斜率为 的直线为 y= (x-1),3 3则点 A ,(-2, 3(-2-1)设 B(x,y),由 = 可知 M为 AB的中点,又 M(1,0),所以 即-2+=2,3(-2-1)+=0, =2+2,= 3(2+1),代入 y2=2px,得 p2+4p-12=0,即 p=2或 p=-6(舍去) .【答案】27.已知抛物线 y2=-x与直线 y=k(x+1)相交于 A,B两点 .(1)求证: OA OB.(2)当 OAB的面积为 时,求
5、 k的值 .10【解析】(1)如图所示,由 消去 x得 ky2+y-k=0.2=-,=(+1)3设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1y2=-1,y1+y2=- .1A ,B两点均在抛物线 y2=-x上, =-x1, =-x2,21 22 =x1x2.21 22又 k OAkOB= = = =-1,OA OB.11221212 112(2)设直线与 x轴交于点 N,显然 k0 .令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0).S OAB=S OAN+S OBN= |ON|y1|+ |ON|y2|12 12= |ON|y1-y2|12= 112 (1+2)2-412=
6、.12(-1)2+4= ,10 = ,解得 k= .1012 12+4 16拓展提升(水平二)8.已知 F为抛物线 y2=x的焦点,点 A,B在该抛物线上且位于 x轴的两侧, =2(其中 O为坐标原点),则 ABO与 AFO面积之和的最小值是( ).A.2 B.3 C. D.172810【解析】设直线 AB的方程为 x=ty+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2).又点 F ,直线 AB与 x轴的交点 M(m,0),不(14,0)妨设 y10,由 y2-ty-m=0,所以 y1y2=-m,=+,2= 又 =2,所以 x1x2+y1y2=2(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点 A,B在该
7、抛物线上且位于 x轴的两侧,所以 y1y2=-2,故 m=2,所以 S ABO+S AFO= 2(y1-y2)+ y1= y1+ 2 =3,12 12 14 98 21 98121当且仅当 y1= y1= 时取“ =”.98 21 43所以 ABO与 AFO面积之和的最小值是 3.4【答案】B9.已知抛物线 y2=8x,点 Q是圆 C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一点,记抛物线上任意一点 P到直线 x=-2的距离为 d,则 |PQ|+d的最小值为( ).A.5 B.4 C.3 D.2【解析】由题意知,抛物线 y2=8x的焦点为 F(2,0),连接 PF(如图),则 d=|PF|.将圆
8、 C化为( x+1)2+(y-4)2=4,圆心为 C(-1,4),半径为 r=2,则 |PQ|+d=|PQ|+|PF|,于是有|PQ|+|PF| |FQ|(当且仅当 F,P,Q三点共线时取得等号) .而 |FQ|为圆 C上的动点 Q到定点 F的距离,显然当 F,Q,C三点共线时, |FQ|取得最小值,且为 |CF|-r= -2=3,故选 C.(-1-2)2+(4-0)2【答案】C10.已知抛物线 y2=4x的弦 AB的中点的横坐标为 2,则 |AB|的最大值为 . 【解析】当直线 AB的斜率不存在时, |AB|=4 ;2当直线 AB的斜率 k存在时,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),中
9、点坐标为(2, t),则 k= = = ,1-221-224 41+22 直线 AB的方程为 y-t= (x-2),2将 y-t= (x-2)与 y2=4x联立,得 y2-2ty+2t2-8=0,2y 1+y2=2t,y1y2=2t2-8,|AB| 2= (y1-y2)2=-(t2-2)2+3636,(1+24)|AB| 6,当且仅当 t= 时,等号成立 .2综上所述, |AB|max=6.【答案】611.设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,经过点 F的直线与抛物线交于 A,B两点 .(1)若 p=2,求线段 AF的中点 N的轨迹方程;(2)若直线 AB的斜率为 2,当焦点为 F
10、时,求 OAB的面积;(12,0)(3)若 M是抛物线 C准线上的点,求证:直线 MA,MF,MB的斜率成等差数列 .【解析】(1)焦点 F(1,0),设点 A(x0,y0),N(x,y),则由题意 即=0+12 ,=02, 0=2-1,0=2, 故所求的轨迹方程为 4y2=4(2x-1),即 y2=2x-1.5(2) y2=2x,F ,直线 AB:y=2 =2x-1,(12,0) (-12)由 得 y2-y-1=0,2=2,=2-1,|AB|= |y1-y2|= ,1+12 52设 d为原点 O到直线 AB的距离, d= = ,15 55S OAB= d|AB|= .12 54(3)显然直线
11、 MA,MB,MF的斜率都存在,分别设为 k1,k2,k3.点 A,B,M的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),M .(-2,)设直线 AB:y=k ,代入抛物线方程 ,得 y2- y-p2=0,所以 y1y2=-p2.(-2) 2又 =2px1, =2px2,21 22所以 x1+ = + = ( +p2),x2+ = + = + = ( +p2),22122 122122222 42212 22121所以 k1+k2= + = + =- .1-1+22-2+222(1-)(21+2)221(-21-)(21+2) 2而 2k3=2 =- ,故 k1+k2=2k3,所以直线 MA,MF,MB的斜率成等差数列 .0-2-(-2) 2
