1、1第 8课时 抛物线的简单几何性质基础达标(水平一 )1.设 M(x0,y0)为抛物线 C:x2=8y上一点,点 F为抛物线 C的焦点,以 F为圆心、 |FM|为半径的圆与抛物线 C的准线相交于不同两点,则 y0的取值范围是( ).A.(0,2) B.0,2 C.(2,+ ) D.2,+ )【解析】圆心到抛物线准线的距离为 p=4,根据题意,只要满足 |FM|4即可 .由抛物线定义知,|FM|=y0+2.由 y0+24,解得 y02,故 y0的取值范围是(2, + ).【答案】C2.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是 60 cm,灯深 40 cm,则光源
2、到反光镜顶点的距离是( ).A.11.25 cm B.5.625 cmC.20 cm D.10 cm【解析】如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为 y2=2px(p0),则点 A(40,30). 302=2p40,p= ,y 2= x.454 452 光源到反光镜顶点的距离为 = = =5.625(cm).212 454 458【答案】B3.抛物线 y2=2x的焦点为 F,其准线经过双曲线 - =1(a0,b0)的左顶点,点 M为这两条曲线的一个交点,2222且 |MF|=2,则双曲线的离心率为( ).A. B.2 C. D.102552【解析】点 F ,准线 l:x=- ,(12,0) 1
3、2由题意知 a= .12由抛物线的定义知, xM- =2,x M= ,(-12) 32 =3. 点( xM,yM)在双曲线上, - =1,2941432b 2= ,c 2=a2+b2= ,e 2= = 4= ,38 58 2258 522e= .102【答案】A4.已知点 O为坐标原点,点 F为抛物线 y2=4x的焦点,点 A是抛物线上一点,若 =-4,则点 A的坐标是( ).A.(1,2) B.(4,4)C.(1,2)或(1,-2) D.(4,4)或(4,-4)【解析】因为抛物线的焦点为 F(1,0),设点 A ,(204,0)则 = , = .(204,0)(1-204,-0)由 =-4,
4、得 y0=2,所以点 A的坐标是(1,2)或(1, -2).【答案】C5.对标准形式的抛物线,给出下列条件: 焦点在 y轴上; 焦点在 x轴上; 抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于 6; 由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1) .其中满足抛物线方程 y2=10x的是 .(要求填写适合条件的序号) 【解析】抛物线 y2=10x的焦点在 x轴上, 不满足, 满足;设 M(1,y0)是抛物线 y2=10x上的一点, F为抛物线的焦点,则 |MF|=1+ =1+ = 6,所以 不满足;由于抛物线 y2=10x的焦点为 ,过该焦点的直线2 5272 (52,0)方程为 y=k ,若由原
5、点向该直线作垂线 ,垂足坐标为(2,1) 时,则 k=-2,此时存在,所以 满足 .(-52)【答案】 6.设过点 P(-2,4)且倾斜角为 135的直线 l与抛物线 C:y2=2px(p0)相交于 A,B两点,若 |PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则抛物线 C的方程为 . 【解析】直线 l的方程为 y=-x+2,联立 y=-x+2和 y2=2px,消去 x,得 y2+2py-4p=0.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=-2p,y1y2=-4p.由 P,A,B三点共线,且 |PA|,|AB|,|PB|成等比数列,则 |y1-4|,|y1-y2|,|y2-4|也成等
6、比数列,得 |(y1-4)(y2-4)|=|y1-y2|20,则 |y1y2-4(y1+y2)+16|=(y1+y2)2-4y1y2,且 y1 y2,即 |p+4|=p2+4p,且 = (2p)2-4(-4p)=4p2+16p0,解得 p=1.所求抛物线的方程为 y2=2x.【答案】 y2=2x7.在平面直角坐标系中,已知点 A(0,4),B(0,-2),动点 P(x,y)满足 -y2+8=0.(1)求动点 P的轨迹方程;(2)设(1)中所求的轨迹与直线 y=x+2交于 C,D两点,求证: OC OD(O为坐标原点) .【解析】(1)由题意,可知 =(-x,4-y),=(-x,-2-y),3x
7、 2+(4-y)(-2-y)-y2+8=0,整理得 x2=2y, 动点 P的轨迹方程为 x2=2y.(2)由 整理得 x2-2x-4=0,=+2,2=2,x 1+x2=2,x1x2=-4.k OCkOD= =1122(1+2)(2+2)12=12+2(1+2)+412=-4+4+4-4=-1,OC OD.拓展提升(水平二)8.已知点 M在抛物线 y2=6x上, N为抛物线的准线 l上的一点, F为抛物线的焦点,若 = ,则直线 MN的斜率为( ).A. B.1 C.2 D.2 3【解析】由题设可知点 M,N,F三点共线,且点 F是线段 MN的中点,不妨设点 M(x0,y0)(y00),F ,则
8、 x0= ,y0=-t.又点 M(x0,y0)在抛物线上 ,所以 =6x0,即 y0=-3 ,所以 t=3 .故直线(-32,) (32,0) 92 20 3 3MN的斜率 k=- .3设 y00,则 t0,同理可得 MN的斜率 k= ,故选 D.3【答案】D9.已知点 A(1,2)在抛物线 C:y2=4x上,过点 A作两条直线分别交抛物线于 D,E两点,直线 AD,AE的斜率分别为 kAD,kAE,若直线 DE过点 P(-1,-2),则 kADkAE=( ).A.4 B.3 C.2 D.1【解析】设点 D(x1,y1),E(x2,y2),则 kAD= ,kAE= ,1-21-12-22-1k
9、 ADkAE= = , 1-21-12-22-112-2(1+2)+412-(1+2)+1设直线 DE:y+2=k(x+1),联立方程 2=4,+2=(+1),消去 x,可得 ky2-4y+4k-8=0.y 1+y2= ,y1y2= .4 4-8x 1+x2= = ,1+2+4-24+4-2224x1x2= = ,(12)2162-4+42代入 可得 kADkAE= =2.4-8 -24+42-4+42 -4+4-222 +1【答案】C10.已知南北方向有条公路 L,A地在公路正东 2 km处, B地在 A地北偏东 60方向 2 km处,河流沿岸曲3线 PQ上任意一点到公路 L和到 A地距离相
10、等 .现要在曲线 PQ上某处建一座码头,向 A,B两地运货物 .经测算,从 M到 A,B修建公路的费用都为 a万元 /km,那么,修建这两条公路的总费用最低是 万元 . 【解析】如图所示,由题意知,曲线 PQ是以 A为焦点、 L为准线的抛物线,根据抛物线的定义,知欲求M到 A,B修建公路的费用最低,只需求出 B点到准线 L的距离即可 .B 地在 A地北偏东 60方向 2 km3处, B 点到抛物线 L的距离为 2 sin 60+2=5(km), 修建这两条公路的总费用最低为 5a万元 .3【答案】5 a11.已知抛物线 y2=4x的焦点为 F,(1)若直线 l过点 M(4,0),且点 F到直线
11、 l的距离为 2,求直线 l的方程 .(2)设 A,B为抛物线上两点,且 AB不与 x轴垂直,若线段 AB中点的横坐标为 2.求证:线段 AB的垂直平分线恰过定点 .【解析】(1)由已知, x=4不合题意 .设直线 l的方程为 y=k(x-4),由已知,抛物线的焦点坐标为 F(1,0),因为点 F到直线 l的距离为 2,所以 =2,|3|1+2解得 k= ,所以直线 l的斜率为 .255 255所以直线 l的方程为 y= (x-4).255(2)设 A,B两点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),因为 AB不与 x轴垂直,所以设直线 AB的方程为 y=kx+b,联立方程 2=4,=+,消去 y,得 k2x2+(2bk-4)x+b2=0,x1+x2= ,4-22又因为线段 AB中点的横坐标为 2,所以 =4,4-225整理得 b= .2-22由线段 AB中点的坐标为(2,2 k+b),得线段 AB的垂直平分线的方程为y-(2k+b)=- (x-2), ()1将 b= 代入方程(),2-22整理得 x+ky-4=0,显然过定点(4,0) .所以线段 AB的垂直平分线恰过定点(4,0) .
