1、1第 1 课时 椭圆及其标准方程基础达标(水平一 )1.已知椭圆 + =1(a5)的两个焦点分别为 F1,F2,且 |F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则 ABF2的周长为( ).22225A.10 B.20 C.2 D.441 41【解析】因为 a5,所以该椭圆焦点在 x 轴上 .又因为 |F1F2|=8,所以 a2=b2+c2=41.所以 ABF2的周长为 4a=4 .41【答案】D2.椭圆 + =1 上的点 M 到焦点 F1的距离为 2,N 是 MF1的中点, O 为坐标原点,则 |ON|的值为( ).22529A.4 B.2 C.8 D.32【解析】由椭圆的定义,知 |MF1|+|
2、MF2|=2a=10,|MF 2|=10-2=8.又 O 为 F1F2的中点, N 为 MF1的中点,ON 为 MF1F2的中位线, |ON|= |MF2|=4.12【答案】A3.已知椭圆 x2sin -y 2cos = 1 (0 0,cos-cos, 2.34【答案】D4.椭圆的两个焦点分别为 F1(-4,0),F2(4,0),点 P 在椭圆上,若 PF1F2的面积的最大值为 12,则该椭圆的标准方程为( ).A. + =1 B. + =122529 225216C. + =1 D. + =121629 21026【解析】若 PF1F2的面积的最大值为 12,则 8b=12,所以 b=3,a
3、=5,即椭圆的标准方程为 + =1.12 22529【答案】A5.已知方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 . 2-1 22-2【解析】由题意得 解得 10,2-0,2-1, 32【答案】1 b0)上一点, F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,若 =0.试求:2222 1 2(1)椭圆的标准方程;(2)sin PF1F2的值 .【解析】(1)因为 =0,所以 -(c+6)(c-6)+64=0,解得 c=10,所以 F1(-10,0),F2(10,0),1 2所以 2a=|PF1|+|PF2|= + =12 ,所以 a=6 ,b2=80.(6+10)2+
4、82 (6-10)2+82 5 5所以椭圆的标准方程为 + =1.2180280(2)因为 PF1 PF2,所以 = |PF1|PF2|= |F1F2|yP=80,所以 |PF1|PF2|=160.1212 12又因为 |PF1|+|PF2|=12 ,且点 P(6,8)在第一象限内,所以 |PF2|=4 ,5 5所以 sin PF1F2= = = .|2|12| 4520 55拓展提升(水平二)8.已知 P 为椭圆 + =1 上的点, F1,F2为其两个焦点,则使 F1PF2=90的点 P 有( ).216212A.4 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个【解析】设点 P(x,y),由 =0
5、,得( x+2)(x-2)+y2=0.因为 + =1,所以 x2=-32,无意义,故不存在1 2216212使 F1PF2=90的点 P.【答案】D9.在 ABC 中,点 B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出 ABC 满足的条件,就能得到动点 A 的轨迹方程,下表给出了一些条件及方程:条件 方程 ABC 的周长为10 C1:y2=25 ABC 的面积为10 C2:x2+y2=4(y0)3 ABC 中, A=90 C3: + =1(y0)2925则满足条件 的点 A 的轨迹方程按顺序分别是( ).A.C3,C1,C2 B.C2,C1,C3C.C1,C3,C2 D.C3,C2,C1【解
6、析】如图,在平面直角坐标系中,因为 B(-2,0),C(2,0),若 ABC 周长为 10,则 |AB|+|AC|=64=|BC|,所以点 A 的轨迹为以 B,C 为焦点,长轴长为 6 的椭圆(去除与 x 轴的交点),方程为 + =1(y0);2925若 ABC 的面积为 10,设 A 到 BC 所在直线距离为 d,则 |BC|d=10,即 4d=10,d=5.12 12所以 |y|=5,y2=25,所以点 A 的轨迹方程为 y2=25;若 ABC 中, A=90,则 |OA|=2,即 =2,x2+y2=4(y0) .2+2所以满足条件 的点 A 的轨迹方程按顺序分别是 C3,C1,C2.【答
7、案】A10.已知椭圆 E: + (ab0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点 .若 AB 的中点坐标为(1, -1),2222则 E 的方程为 . 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),A ,B 在椭圆上,212+212=1, 222+222=1, - ,得 + =0,即 =- .(1+2)(1-2)2(1+2)(1-2)222(1+2)(1-2)(1+2)(1-2)AB 的中点为(1, -1),y 1+y2=-2,x1+x2=2,而 =kAB= = , = .1-21-2 0-(-1)3-1 12 2212又 a 2-b2=9,a 2=18,b2=9
8、. 椭圆 E 的方程为 + =1.21829【答案】 + =121829411.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称, P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 - .13(1)求动点 P 的轨迹方程 .(2)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P,使得 PAB 与 PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 .【解析】(1)因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的坐标为(1, -1).设点 P 的坐标为( x,y),由题意得 =- ,-1+1 +1-1
9、 13化简得 x2+3y2=4(x 1).故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x 1).(2)设点 P 的坐标为( x0,y0),点 M,N 的坐标分别为(3, yM),(3,yN),则直线 AP 的方程为 y-1= (x+1),0-10+1直线 BP 的方程为 y+1= (x-1),0+10-1令 x=3,得 yM= ,yN= ,40+0-30+120-0+30-1所以 PMN 的面积 S PMN= |yM-yN|(3-x0)= ,12 |0+0|(3-0)2|20-1|又直线 AB 的方程为 x+y=0,|AB|=2 ,2点 P 到直线 AB 的距离 d= ,|0+0|2所以 PAB 的面积 S PAB= |AB|d=|x0+y0|,12当 S PAB=S PMN时,得 |x0+y0|= ,|0+0|(3-0)2|20-1|又 |x0+y0|0,所以(3 -x0)2=| -1|,解得 x0= .2053又因为 +3 =4,所以 y0= .20 20339故存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 .(53, 339)
