1、1第 9 课时 抛物线及其标准方程基础达标(水平一 )1.抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 到抛物线焦点的距离为( ).A.2 B.3 C.4 D.5【解析】由抛物线方程,知抛物线准线为 y=-1.由抛物线定义,知点 A 到焦点的距离等于到准线的距离,距离为 5.【答案】D2.若抛物线 y2=ax 的焦点与双曲线 - =1 的左焦点重合,则 a 的值为( ).26 23A.-6 B.12 C.-12 D.6【解析】由双曲线方程可知左焦点坐标为( -3,0),所以抛物线开口向左,且 =3,所以 p=6,2故抛物线方程为 y2=-12x,所以 a=-12.【答案】C3.已知
2、曲线 :x2+ =1,其中 a 是常数,则下列结论正确的是( ).2A.a0,曲线 表示椭圆B.a0),因为点 C(5,-5)在抛物线上,可解得 p= ,52所以该抛物线的方程为 x2=-5y.(2)设车辆高 h 米,则 |DB|=h+0.5,故 D(3.5,h-6.5),代入方程 x2=-5y,解得 h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0 米 .拓展提升(水平二)38.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与到直线C1D1的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ).A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物
3、线【解析】在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, C1D1平面 BB1C1C,连接 PC1,则 PC1 C1D1,所以P,C1两点间的距离 PC1即为 P 到直线 C1D1的距离 .所以在平面 BB1C1C 内,动点 P 到定点 C1的距离等于到定直线 BC 的距离 .由抛物线的定义,知点 P 的轨迹所在的曲线是以点 C1为焦点,以直线 BC 为准线的抛物线 .【答案】D9.已知点 A 是抛物线 x2=4y 的对称轴与准线的交点,点 B 为抛物线的焦点, P 在抛物线上且满足 |PA|=m|PB|,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A,B 为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为( ).A
4、. B.5-12 2+12C. +1 D. -12 5【解析】设点 P(x,y),y0,则 m2= = =1+ 1 + =2,当且|2|22+(+1)2(+1)24(+1)24(2)2仅当 y=1 时取等号,此时点 P(2,1),2c=2,2a=|PA|-|PB|=2 -2,e= = +1,故选 C.222 2【答案】C10.若抛物线 y2=2px(p0)上一点 M 到准线的距离和对称轴的距离分别为 10 和 6,则点 M 的横坐标为 . 【解析】 点 M 到对称轴的距离为 6, 可设点 M 的坐标为( x,6).又 点 M 到准线的距离为 10,+2=10,(6)2=2,解得 或 即点 M
5、的横坐标为 1 或 9.=9,=2 =1,=18,【答案】1 或 911.已知点 M 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 .(12,0) 12(1)求点 M 的轨迹方程 .(2)已知点 A(3,2),是否存在点 M,使 |MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 .【解析】(1)因为动点 M 到点 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M 到点 F(12,0) 12的距离与它到直线 l:x=- 的距离相等 .由抛物线的定义,知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点,(12,0) 12l 为准线的抛物线,其方程应为 y2=2px(p0)的形式,而 = ,所以 p=1,故轨迹方程为 y2=2x.2124(2)如图,因为点 M 在抛物线上,所以 |MF|等于点 M 到其准线 l 的距离 |MN|,所以|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,所以当 A,M,N 三点共线时, |MA|+|MN|取得最小值,即 |MA|+|MF|取得最小值,这时点 M 的纵坐标为 2,可设 M(x0,2),代入抛物线方程,得 x0=2,即 M(2,2).故存在点 M,使 |MA|+|MF|取得最小值,此时点 M 的坐标为(2,2) .
