1、1第三章 直线的方程综合检测一、选择题1.在平面直角坐标系中,若 P(m,m-1),Q(m,m+1),则下列关于直线 PQ的说法中正确的是( ).A.倾斜角与斜率都有确定值B.倾斜角有确定值,斜率不存在C.斜率有确定值,倾斜角不存在D.倾斜角和斜率都不存在【解析】倾斜角为 90,斜率不存在 .【答案】B2.若直线( a+2)x+(1-a)y-3=0与( a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直,则 a=( ).A.-1 B.1 C.1 D.-32【解析】由( a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,化简得 1-a2=0,所以 a=1.【答案】C3.已知直线 l1:3x+y-3=0与直
2、线 l2:6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( ).A.4 B. C. D.21313 51326 71020【解析】由两条直线平行得直线的斜率相等,即 -3=- ,解得 m=2,则直线 l2:6x+2y+1=0.6取直线 l1:3x+y-3=0上的点(1,0),则 d= = .故选 D.|6+1|62+2271020【答案】D4.已知等边 ABC的两个顶点 A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则 BC边所在的直线方程是( ).A.y=- xB.y=- (x-4)3 3C.y= (x-4) D.y= (x+4)3 3【解析】因为 ABC是等边三角形,所以 BC边所在的直
3、线过点 B,且倾斜角为 ,所以 BC边所在的直线3方程为 y= (x-4),故选 C.3【答案】C5.直线 l:mx-m2y-1=0经过点 P(2,1),则倾斜角与直线 l的倾斜角互为补角的一条直线方程是( ).A.x y1 =0 B.2x y3 =0C.x+y-3=0 D.x+2y-4=0【解析】由点 P在直线 l上得 2m m21 =0,所以 m=1,即直线 l的方程为 x y1 =0.所以所求直线的斜率为 -1,显然 x+y-3=0满足要求 .【答案】C6.已知 A(3,2)和 B(-1,4)两点到直线 mx+y+3=0的距离相等,则 m的值为( ).A.0或 - B. 或 -612 1
4、22C.- 或 D.0或12 12 12【解析】由题意知,直线 mx+y+3=0与 AB平行或过 AB的中点,则有 -m= 或4-2-1-3m + +3=0,m= 或 m=-6.3-12 2+42 12【答案】B7.已知直线 l的倾斜角为 135,直线 l1经过点 A(3,2),B(a,-1),且 l1与 l垂直,直线 l2:2x+by+1=0与直线 l1平行,则 a+b等于( ).A.-4 B.-2 C.0 D.2【解析】因为 l的斜率为 tan 135=-1,所以 l1的斜率为 1,即 kAB= =1,解得 a=0.又 l1 l2,即2-(-1)3- =1,解得 b=-2,所以 a+b=-
5、2,故选 B.2【答案】B8.已知直线 l1:ax+4y-2=0与直线 l2:2x-5y+b=0垂直,且垂足为(1, c),则 a+b+c的值为( ).A.-4 B.20 C.0 D.24【解析】由题意可知,垂足(1, c)是两条直线的交点,且 l1 l2,所以 - =-1,解得 a=10,所以直线 l14 25的方程为 10x+4y-2=0.将(1, c)代入 l1,得 c=-2;将(1, c)代入 l2,得 b=-12,所以 a+b+c=-4,故选 A.【答案】A9.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m的值是( ).A.-2
6、B.-7 C.3 D.1【解析】因为线段 AB的垂直平分线的方程是 x+2y-2=0.所以线段 AB的中点 在直线 x+2y-2=0上,解得 m=3.(+12 ,0)【答案】C10.将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与( -6,8)重合,则与点( -4,2)重合的点是( ).A.(4,-2) B.(4,-3)C. D.(3,-1)(3,32)【解析】以(10,0)和( -6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为 y=2x,则( -4,2)关于直线 y=2x的对称点即为所求点 .设所求点为( x0,y0),则 解得 0-20+4=-12,0+22 =20-42 , 0=4,0=-2.【答案】
7、A11.已知等腰直角 ABC的直角顶点为 C(3,3),若点 A的坐标为(0,4),则点 B的坐标可能是( ).A.(2,0)或(4,6) B.(2,0)或(6,4)C.(4,6) D.(0,2)【解析】设点 B的坐标为( x,y),由 BC AC得 kBCkAC= =-1,所以 y=3x-6.-3-3 (-13)3又 |BC|=|AC|,所以( x-3)2+(y-3)2=(0-3)2+(4-3)2=10,解得 或 所以点 B的坐标为(2,0)或(4,6),故选 A.=2,=0 =4,=6,【答案】A12.若动点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)分别在直线 l1:x+y-7=0和 l2:x
8、+y-5=0上移动,则 AB中点 M到原点距离的最小值为( ).A.3 B.2 C.3 D.42 3 3 2【解析】由题意知点 M在直线 l1与 l2之间,且与两直线距离相等的直线上,设该直线方程为 x+y+c=0,则 = ,即 c=-6.所以点 M在直线 x+y-6=0上 .|+7|2 |+5|2故 M点到原点的最小值就是原点到直线 x+y-6=0的距离,即 =3 .|-6|22【答案】A二、填空题13.已知直线 x-2y+2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于 1,则实数 k的取值范围是 . 【解析】依条件得 |2k|k|1,其中 k0(否则三角形不存在),解得 -1 k1 且 k0
9、.12【答案】 -1 k1 且 k014.已知直线 ax+y+a+2=0恒过一个定点,则过这个定点和原点的直线方程是 . 【解析】已知直线变形为 y+2=-a(x+1),所以直线恒过点(1,2) .故所求的直线方程是 y+2=2(x+1),即 y=2x.【答案】 y=2x15.已知直线 l过点(2,3),其斜率为方程 3x2-2x-1=0的两个根之一,且不过第四象限,则直线 l的方程为 . 【解析】方程 3x2-2x-1=0的两个根为 1和 - .13由于直线 l不过第四象限,因此直线 l的斜率大于或等于 0.又直线 l的斜率为方程的两个根之一,所以其斜率为 1.因为直线 l过点(2,3),所
10、以直线 l的方程为 y-3=x-2,整理得 x-y+1=0.【答案】 x-y+1=016.给出下列五个命题: 过点( -1,2)的直线方程一定可以表示为 y-2=k(x+1)(kR)的形式; 过点( -1,2)且在 x,y轴截距相等的直线方程是 x+y-1=0; 过点 M(-1,2)且与直线 l:Ax+By+C=0(AB0)垂直的直线方程是 B(x+1)+A(y-2)=0; 设点 M(-1,2)不在直线 l:Ax+By+C=0(AB0)上,则过点 M且与直线 l平行的直线方程是 A(x+1)+B(y-2)=0; 点 P(-1,2)到直线 ax+y+a2+a=0的距离不小于 2.以上命题中,正确
11、的序号是 . 【解析】直线 x=-1过点( -1,2),但无法用 y-2=k(x+1)(kR)表示,故 不正确;过点( -1,2)且在 x,y轴截距相等的直线方程为 y=-2x或 x+y-1=0,故 不正确;与直线 l:Ax+By+C=0(AB0)垂直的直线的斜率为 ,则所求直线的方程为 y-2= (x+1),即 B(x+1)- A(y-2)=0,故 不正确;4与直线 l:Ax+By+C=0(AB0)平行的直线斜率为 - ,则所求直线的方程为 y-2=- (x+1),即 A(x+1) +B(y-2)=0,故 正确;点 P(-1,2)到直线 ax+y+a2+a=0的距离 d= = = + 2 =
12、2,|-+2+2+|2+12+22+1 2+112+1 2+112+1当且仅当 a=0时取等号,故 正确 .【答案】 三、解答题17.已知直线 l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0.(1)若 l1 l2,求实数 a的值;(2)当 l1 l2时,求直线 l1与 l2之间的距离 .【答案】(1) a= (2)32 42318.求证:不论 m取什么实数,直线(2 m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标 .【解析】(法一)对于方程(2 m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令 m=0,得 x-3y-11=0;令 m=1,得 x+4y+1
13、0=0.解方程组 得两直线的交点为(2, -3).-3-11=0,+4+10=0,将点(2, -3)代入已知直线方程左边,得(2 m-1)2+(m+3)(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.所以不论 m取什么实数,所给直线均经过定点(2, -3).(法二)将 m作为已知方程的未知数,整理为(2 x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由 m取值的任意性,有 2+-1=0,-+3+11=0,解得 x=2,y=-3.所以不论 m取什么实数,所给直线均经过定点(2, -3).19.如图,直线 l过点 P(0,1),夹在两条已知直线 l1:2x+y-8=0和 l2:x-3y+10
14、=0之间的线段 AB恰被点 P平分 .(1)求直线 l的方程;(2)设点 D(0,m),且 AD l1,求 ABD的面积 .【答案】(1) x+4y-4=0 (2)S ABD=2820.已知直线 l过点 P(3,2).(1)若直线 l在两坐标轴上的截距之和为 12,求直线 l的方程;(2)若直线 l与 x、 y轴的正半轴分别交于 A、 B两点,当 OAB的面积为 12时,求直线 l的方程 .【答案】(1)2 x+y-8=0或 x+3y-9=0(2)2x+3y-12=021.甲、乙两人要对 C处进行考察,甲在 A处,乙在 B处,基地在 O处,此时 AOB=90,测得 |AC|=5 km,|BC|
15、= km,|AO|=|BO|=2 km(如图) .试问:甲、乙两人应向什么方向走,才能使两人的行程之和最小?135【解析】以 O为原点, OB为 x轴,建立平面直角坐标系(如图),设点 C的坐标为( x,y),则有 A(0,2),B(2,0),由 |AC|=5得 =5. 2+(-2)2由 |BC|= 得 = . 13 (-2)2+2 13由 解得 或=0,=-3 =5,=2.由 x,y的实际意义知, x0,y0, 点 C的坐标为(5,2) .又 A(0,2),AC x轴,即 AC OB.由 B(2,0)和 C(5,2)知, kBC= = .2-05-223故甲应向与 OB平行的方向行走,乙应沿
16、斜率为 的直线向上方行走,才能使他们的行程和最小 .2322.如图,四边形 OABC的四个顶点坐标分别为 O(0,0),A(6,2),B(4,6),C(2,6),直线 y=kx 将四边形(133)OABC分为两部分, S表示靠近 x轴一侧的那一部分的面积 .(1)求 S=f(k)的函数表达式 .(2)当 k为何值时,直线 y=kx将四边形 OABC分为面积相等的两部分?【解析】(1) k OA= ,kOB= , 需分两种情况讨论 .13 32当 k 时,直线 y=kx与直线 AB:2x+y=14相交,设交点为 P1.13 32由 得交点 P1的坐标为 .=,2+=14, ( 14+2,14+2)又点 P1到直线 OA:x-3y=0的距离为 d= ,|OA|=2 ,14(3-1)10(+2)106S= |OA|d= .12 14(3-1)+2当 k3时,直线 y=kx与直线 BC:y=6相交,设交点为 P2.32由 得交点 P2的坐标为 .=,=6, (6,6) = |P2C|6= .212 6(3-)又 S OAB+S OBC=S 四边形 OABC=20.S= 20- =26- .6(3-) 18故 S=f(k)=14(3-1)+2 ,1332,26-18,323. (2)若直线 y=kx平分四边形 OABC的面积,则 =10,解得 k= .14(3-1)+2 1716
