1、1第 3课时 几个常用函数的导数及其公式基础达标(水平一)1.已知 f(x)= ,则 f(1)=( ).13A.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】因为 f(x)= =x-3,13所以 f(x)=-3x-4.故 f(1)=-3.【答案】D2.曲线 y=x3的斜率等于 1的切线的条数为( ).A.1 B.2 C.3 D.不确定【解析】 y= 3x2,且 k=1, 3x2=1,解得 x= .33【答案】B3.曲线 y=ex在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ).A.e2B.2e2 C.4e2 D.22【解析】因为点(2,e 2)在曲线上, y=ex,所以切线的斜率 k=e
2、2,所以切线的方程为 y-e2=e2(x-2),即 e2x-y-e2=0.又此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0, -e2),(1,0),所以三角形的面积 S= 1e2= .12 22【答案】D4.已知直线 y=kx是曲线 y=ex的切线,则实数 k的值为( ).A. B.- C.-e D.e1 1【解析】因为 y=(ex)=ex,设切点坐标为( x0,y0),所以 k= = = ,得 x0=1,所以 k=e.0-00-0000【答案】D5.若曲线 y=x2的某一切线与直线 y=4x+6平行,则切点坐标是 . 【解析】设切点坐标为( x0, ),20因为 y=2x,所以切线的斜率 k=2x0,
3、又切线与 y=4x+6平行,所以 2x0=4,解得 x0=2,故切点坐标为(2,4) .【答案】(2,4)6.抛物线 y=x2上的点到直线 x-y-2=0的距离的最小值为 . 【解析】由题意可知,与直线 x-y-2=0平行的抛物线的切线的切点到直线 x-y-2=0距离最小 . 该切线斜率为 1.设切点为( x0,y0),则有 y =1=2x0,|=02x 0= , 切点为 ,12 (12,14)d= = .|12-14-2|12+(-1)2728【答案】7287.求曲线 y= 与 y=x2在它们交点处的两条切线与 x轴所围成的三角形的面积 .1【解析】联立两条曲线方程 解得=1,=2, =1,
4、=1,故交点坐标为(1,1) .k 1=- x=1=-1,k2=2x|x=1=2,12 两条切线的方程分别为 x+y-2=0,2x-y-1=0,与 x轴所围成的图形如图(阴影部分)所示 . 两条切线与 x轴的交点分别为(2,0), .(12,0) 三角形的面积 S= 1 = .12 (2-12)34拓展提升(水平二)8.已知曲线 y=x3-1与曲线 y=3- x2在 x=x0处的切线互相垂直,则 x0的值为( ).12A. B. C. D.33 3333393【解析】由导数的定义得,曲线 y=x3-1在 x=x0处的切线斜率 k1=3 ,曲线 y=3- x2在 x=x0处的切线斜2012率为
5、k2=-x0. 两条曲线在 x=x0处的切线互相垂直, 3 (-x0)=-1,x 0= .故选 D.20393【答案】D9.若曲线 y= 在点 P(a, )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则实数 a的值是( ). A.4 B.-4 C.2 D.-2【解析】 y= , 切线方程为 y- = (x-a).令 x=0,得 y= ,令 y=0,得 x=-a.由题意知12 12 2 a=2,a= 4.12 2【答案】A310.函数 y=x2(x0)的图象在点( ak, )处的切线与 x轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 kN *,若 a1=16,则2a1+a3+a5= . 【解析】 y= 2
6、x, 在点( ak, )处的切线方程为 y- =2ak(x-ak).又该切线与 x轴的交点为( ak+1,0),2 2a k+1=ak,即数列 ak是首项 a1=16,公比 q= 的等比数列, a 3=4,a5=1,a 1+a3+a5=21.12 12【答案】2111.已知两条曲线 y1=sin x,y2=cos x,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直?并说明理由 .【解析】不存在 .理由如下:设 y1=sin x,y2=cos x两条曲线的一个公共点为 P(x0,y0).则两条曲线在 P(x0,y0)处的斜率分别为k1=y1 =cos x0,|=0k2=y2 =-sin x0,|=0若使两条切线互相垂直,必须有cos x0(-sin x0)=-1,即 sin x0cos x0=1,即 sin 2x0=2,这是不可能的, 两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直 .
