1、1第 1课时 方程的根与函数的零点基础达标(水平一)1.函数 f(x)=x- 的零点是( ).1A.1 B.-1C.1和 -1 D.不存在【解析】 x- = =0,x= 1.12-1【答案】C2.函数 f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( ).A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)【解析】 f (x)为增函数, f(-1)=- 0, 52f (x)的零点位于区间( -1,0)内 .【答案】B3.已知函数 f(x)= 则函数 f(x)的零点为( ).2-1,1,1+2,1,A. ,0 B.-2,012C. D.012【解析】当 x1 时,由 f(x)=0,得
2、2x-1=0,所以 x=0.当 x1时,由 f(x)=0,得 1+log2x=0,所以 x= ,不合题12意,所以函数的零点为 0,选 D.【答案】D4.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且 , 是函数 f(x)的两个零点,则实数 a,b, , 的大小关系可能是( ).A.a0, 函数 f(x)的零点在(3,4)内, k= 3.【答案】37.已知方程 ax2-2x+1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数 a的取值范围 .【解析】当 a=0时,方程为 -2x+1=0,只有一个根,不符合题意 .当 a0时,设 f(x)=ax2-2x+1, 方程的根分别在
3、区间(0,1),(1,2)上, 即 解得 0,(1)0, 10,-2+10, 34当 a0,f(21)0),且 g(1)=- .2(1)求证:函数 g(x)有两个零点 . 3(2)讨论函数 g(x)在区间(0,2)内的零点个数 .【解析】(1) g (1)=a+b+c=- ,2 3a+2b+2c=0,c=- a-b.32g (x)=ax2+bx- a-b, =b2+4a =(2a+b)2+2a2,32 (32+)a 0, 0恒成立,故函数 f(x)有两个零点 .(2)根据 g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,由(1)知 3a+2b+2c=0,g (2)=a-c. 当 c0时,有 g(0)0
4、,又 a 0,g (1)=- 0, 函数 f(x)在区间(1,2)内有一个零点,综合 ,可知函数 g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点 .第 2课时 函数零点的应用基础达标(水平一)1.函数 f(x)= 的零点有( ).(-1)(+2)ln-3A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】由 f(x)= =0得 x=1或 x=-2(舍去), 函数 f(x)只有 1个零点 .(-1)(+2)ln-3【答案】B2.已知函数 f(x)= 若方程 f(x)=k无实数根,则实数 k的取值范围为( ).lg,32,lg(3-),0,f(2)0,f(2)0.f (1)0,f(2)0且 a1)有两个零点,
5、则实数 a的取值范围是 . 【解析】函数 f(x)的零点的个数就是函数 y=ax与函数 y=x+a图象交点的个数,由函数的图象可知当 a1时,两函数图象有两个交点;当 01.【答案】(1, + )7.若关于 x的方程 x2+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数 k的取值范围 .【解析】令 f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由图象可得只需 f(0)0,f(1)0即可满足题意,即 2-10,1+-2+2-10,解得12,14.因此实数 k的取值范围为 .(12,23)5拓展提升(水平二)8.定义在 R上的奇函数 y=f(x),当 x0时,
6、y=f(x)是增函数,且 f(1)f(2)0B.f(1)f(2)=0C.f(1)f(2)1,【解析】当 01时, f(x)+g(x)=ln x+x2-6单调递减,值域为( -5,+ ),方程 f(x)+g(x)=1有 1个解,方程 f(x)+g(x)=-1有 1个解 .综上所述,原方程有 3个实根 .【答案】311.已知函数 f(x)=x2-2x-3,x -1,4.(1)画出函数 y=f(x)的图象,并写出其值域;(2)当 m为何值时,函数 g(x)=f(x)+m在区间 -1,4内有两个零点?【解析】(1)依题意, f(x)=(x-1)2-4,x -1,4,其图象如图所示 .由图可知,函数 f
7、(x)的值域为 -4,5.(2) 函数 g(x)=f(x)+m在区间 -1,4上有两个零点, 方程 f(x)=-m在 x -1,4上有两个相异的实数根,即函数 y=f(x)与直线 y=-m的图象有两个交点 .由(1)所作的图象可知, -40,则 f(x)( ).A.在3,4上有零点 B.在4,5上有零点C.在3,4上无零点 D.在4,5上无零点【解析】根据 f(3)f(4)0无法判断函数 f(x)在区间3,4上是否有零点,故排除 A、C,但可推出f(4)f(5)0,f(1.25)0, 方程的根落在(1 .25,1.5)上 .【答案】D3.用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时,经计算 f(
8、0.64)0,f(0.68)0,f(0.68)1,并且当 00.(13)1【答案】正6.用二分法求连续函数 f(x)=0在(1,5)上的近似解(精确度为 0.1)的部分过程如下: f(1)f(5)0,则此时能判断函数 f(x)一定有零点的最小区间为 1+52. 【解析】因为函数 f(x)为连续函数,且 f(1)f(3)0,f = - 4,故需将区间 D等分 5次 .3-12【答案】511.如图,有一块边长为 15 cm的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为 x cm的小正方形,然后折成一个无盖的盒子 .(1)求盒子的容积 y(以 x为自变量)的函数解析式,并写出这个函数的定义域 .(2)如果要
9、做一个容积为 150 cm3的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长 x是多少(结果精确到 0.1 cm)?【解析】(1)盒子的容积 y是以 x为自变量的函数,解析式为 y=x(15-2x)2,x(0,7 .5).(2)如果要做成一个容积是 150 cm3的盒子,则(15 -2x)2x=150.令 f(x)=(15-2x)2x-150,由 f(0)f(1)y2y3 B.y2y1y3C.y1y3y2 D.y2y3y1【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为 y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故 y2y1y3.也可取特殊值,如
10、 3,代入即可 .【答案】B2.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示 .现给出下列说法: 前 5 min温度增加的速度越来越快; 前 5 min温度增加的速度越来越慢; 5 min以后温度保持匀速增加; 5 min以后温度保持不变 .其中正确的说法是( ).A. B. C. D.【解析】因为温度 y关于时间 t的图象是先凸后平,即 5 min前每当 t增加一个单位, y相应的增量越来越小,而 5 min后 y关于 t的增量保持为 0,故 正确 .【答案】B3.某商品降价 20%,由于原材料上涨,欲恢复原价,则需提价( ).A.10% B.15% C
11、.20% D.25%【解析】设该商品原价为 a,需提价 x,依题意得a(1-0.2)(1+x)=a,即 0.8+0.8x=1,得 x=0.25=25%,故选 D.【答案】D4.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x倍,需经过 y年,则函数 y=f(x)的图象大致为( ).【解析】设该林区的森林原有蓄积量为 a,由题意可得 ax=a(1+0.104)y,故 y=log1.104x(x1),函数为对数函数,所以函数 y=f(x)的图象大致为 D中图象,故选 D.【答案】D95.某种动物的繁殖数量 y(只)与时间 x(年)的关系式为 y=alog2(x+1),已知该动
12、物第一年繁殖 100只,则第 15年会繁殖 只 . 【解析】由题意 100=alog2(1+1),解得 a=100,将 x=15代入,得 y=400.【答案】4006.下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 80 km的甲、乙两城间从甲城行驶到乙城的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息: 骑自行车者比骑摩托车者早出发 3 h,晚到 1 h; 骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; 骑摩托车者在出发 1.5 h后追上了骑自行车者; 骑摩托车者在出发 1.5 h后与骑自行车者速度一样 .其中,正确信息的序号是 . 【解析】看时间轴易知 正确;
13、骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此 正确;两条曲线的交点的横坐标对应着 4.5,故 正确; 错误 .【答案】 7.某人对东北一种松树的生长情况进行了研究,收集了其高度 h(米)与生长时间 t(年)的相关数据,选择h=mt+b与 h=loga(t+1)两种函数模型来刻画 h与 t的关系,你认为哪种函数模型更符合该松树的生长情况?并预测第 8年的松树高度 .t(年) 1 2 3 4 5 6h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7【解析】据表中数据作出散点图如图:由图可以看出用一次函数模型不吻合,
14、选用对数函数模型比较合理 .不妨将(2,1)代入到 h=loga(t+1)中,得 1=loga3,解得 a=3.故可用函数 h=log3(t+1)来拟合这个实际问题 .当 t=8时,求得 h=log3(8+1)=2,故可预测第 8年松树的高度为 2米 .拓展提升(水平二)8.某公司为开发新产品,计划逐年加大研发资金的投入 .若该公司 2015年全年投入的研发资金为 130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是( ).(参考数据:lg 1 .120 .05,lg 1.30 .11,lg 20 .30)A.2018年 B.2
15、019年 C.2020年 D.2021年【解析】设第 n年开始超过 200万元,则 130(1+12%)n-2015200,整理得( n-2015)lg 1.12lg 2-lg 1.3,10n-2015 =3.8,故 n=2019.0.30-0.110.05因此开始超过 200万元的年份是 2019年 .故选 B.【答案】B9.如图,点 P在边长为 1的正方形边上运动,设 M为 CD的中点,则当 P沿 ABCM运动时,点 P经过的路程 x与APM的面积 y之间的函数 y=f(x)的图象大致是( ).【解析】依题意,当 010时, y=32+5(x-10).即函数关系式为 y=3.2,010.(
16、2)设小华家四月份用水量为 x吨 . 423.2010, 小华家四月份用水量超过 10吨,由题意得 3.2010+(x-10)5=42,x= 12(吨) .即小华家四月份的用水量为 12吨 .【答案】(1) y= (2)123.2,0101111.函数 y=2x-2和 y= x2的图象如图所示,其中有且只有 x=x1,x2,x3时,两函数数值相等,且 x1 (-1)2= .13 13 13而 0,f(2)=- 0,所以当 t= =3.75时, p取最大值,故此时的 t=3.75分(-154)21316 154钟为最佳加工时间 .【答案】B5.某商家将彩电价格先按原价提高 40%,然后在广告上写
17、上“大酬宾,八折优惠”,结果每台彩电比原价多赚270元,那么每台彩电的原价为 元 . 13【解析】设原价为 x元,则 x(1+40%)80%-x=270,解得 x=2250.【答案】22506.为了在“十一”黄金周期间降价促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额: 如果不超过 200元,则不予优惠; 如果超过 200元,但不超过 500元,则按标价给予 9折优惠; 如果超过 500元,其中 500元按第 条给予优惠,超过 500元的部分给予 7折优惠 .小云和她的母亲两次去购物,分别付款 168元和 423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 元 . 【解析】依题
18、意,一次性购买 x元商品和实际付款数 f(x)之间的函数关系式为f(x)=,0200,0.9,200500,当 f(x)=168时,由 1680.9187 1.(注: x表示上市时间, f(x)表示价格,记 x=0表示 4月 1日, x=1表示 5月 1日,以此类推, x0,5)(1)在上述三个价格模拟函数中,哪一个更能体现该种水果的价格变化趋势?并简要说明理由 .(2)对(1)中所选的函数 f(x),若 f(2)=11,f(3)=10,记 g(x)= ,经过多年的统计发现,当函数 g(x)取()-2-13+1得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请预测明年拓展外销市场的时间是几月 1日?【
19、解析】(1)根据题意,该种水果的价格变化趋势是先增加后减少,基本符合开口向下的二次函数图象的变化趋势,故应该选择 .(2)由 f(2)=11,f(3)=10,得 解得4+2+7=11,9+3+7=10, =-1,=4,故 f(x)=-x2+4x+7.所以 g(x)= = =- =- ,此函数在0,2上单调递增,在2,5()-2-13+1 -2+2-6+1 2-2+6+1 9+1+(+1)-4上单调递减,所以当 x=2时, g(x)最大 .所以明年拓展外销市场的时间应为 6月 1日 .第三章章末小结一、选择题1.下列函数中,既是奇函数又有零点的增函数的是( ).A.y= B.y=(12) 1C.
20、y=log3x D.y=x3【解析】A,C 错, y= 与 y=log3x是非奇非偶函数;B 是奇函数,但无零点,只有 D正确 .(12)【答案】D2.下列关于函数 f(x),x a,b的命题中,正确的是( ).A.若 x0 a,b且满足 f(x0)=0,则 x0是 f(x)的一个零点B.若 x0是 f(x)在 a,b上的零点,则可以用二分法求 x0的近似值C.函数 f(x)的零点是方程 f(x)=0的根,但 f(x)=0的根不一定是函数 f(x)的零点D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解【解析】选项 A正确 .使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,选项 B错误 .f(x)=0的根
21、也一定是函数 f(x)的零点,选项 C错误 .用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,选项 D错误 .故选 A.【答案】A3.若函数 f(x)=x2lg a-2x+1有两个零点,则实数 a的取值范围是( ).A.00,解得 00,x 0(1,2) .【答案】B5.如图,在直角梯形 OABC中, AB OC,AB=1,OC=BC=2,直线 l:x=t截此梯形所得位于 l左方的图形面积为 S,则函数 S=f(t)的图象大致为( ).【解析】由题意可得 S=f(t)= 122,01,1212+(-1)2,11,则实数 m的取值范围是( ).A.(1,+ ) B.(- ,1)17C.(-1,+ )
22、 D.(- ,-1)【解析】函数 f(x)=x2+2(m-1)x-5m-2开口向上,函数 f(x)的两个零点 x1,x2满足 x11,可得 1+2(m-1)-5m-2-1.【答案】C8.函数 f(x)=lg x- 的零点所在的区间是 ( ).1A.(0,1) B.(1,10)C.(10,100) D.(100,+ )【解析】 f (1)=-10,110910f (1)f(10)0 B.f(x1)f(x2)0,f(-1)=-40,所以方程在区间(2,4)内必有根 .【答案】A11.函数 f(x)=|x|+k有两个零点,则( ).A.k=0 B.k0 C.0 k0,即 k0,12-|12+|,0,
23、. 【解析】由函数图象(图略)可知,当直线 y=kx-k过点 时,直线的斜率最小,即 k=- ;当直线 y=kx-k(-12,12) 13与函数 y=x2-x(x0)相切时有一个交点, k=y=1,故当函数 f(x)与直线 y=kx-k有两个不同的交点,即关于 x的方程 f(x)=kx-k至少有两个不相等的实数根时,则实数 k的取值范围是 (1, + ).-13,1)【答案】 (1, + )-13,1)三、解答题17.若二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1的一个零点小于 -1,另一个零点大于 3,求实数 a的取值范围 .【解析】因为二次函数 f(x)=-x2+2ax+4a+1的图象开口
24、向下,且在区间( - ,-1)内与区间(3, + )内各有一个零点,所以 (-1)0,(3)0,即 -(-1)2+2(-1)+4+10,-32+23+4+10, 即 解得 a .20,10-80, 45故实数 a的取值范围是 .(45,+)18.已知函数 f(x)=lg (a0)为奇函数,函数 g(x)= +b(bR) .1+1- 22(1)求 a的值;(2)若 b1,讨论方程 g(x)=ln |x|实数根的个数 .【解析】(1)由 f(x)=lg (a0)为奇函数,得 f(-x)+f(x)=0,1+1-即 lg +lg =lg =0,1-1+ 1+1- 1-221-2所以 =1,解得 a=1
25、(a=-1舍去) .1-221-2(2)当 b1时,设 h(x)=g(x)-ln |x|= +b-ln |x|,22则 h(x)是偶函数且在(0, + )上单调递减,又 h(1)=2+b0,h(e2b)= -b10.(2)由题意知,1 .5+2log5(x-9)=5.5,2log5(x-9)=4,log5(x-9)=2,得 x-9=52,解得 x=34.故业务员老江的销售利润是 34万元 .21.某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与服药的时间 t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线,其中 OA是线段,曲线 AB是函数 y=k
26、at(t1, a0,且 k,a是常数)的图象 .(1)写出服药后 y关于 t的函数关系式 .(2)据监测,每毫升血液中的含药量不少于 2微克时治疗疾病有效 .假设某人第一次服药为早上 6:00,为保持疗效,第二次服药最迟应当在当天几点钟?(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药 3小时后,该病人每毫升血液中的含药量为多少微克?(精确到 0.1) 21【解析】(1)当 0 t0. (1)计算 f 的值;(214)(2)写出 f(x)的单调区间;(3)设函数 g(x)=f(x)+c,若函数 g(x)有三个零点,求实数 c的取值范围 .【解析】(1)由已知得 f =f(-2)=-2(-
27、2)2-4(-2)+1=1.(214)所以 f =f(1)=1+1=2.(214)(2)当 x0 时,函数 f(x)=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3.由函数的性质可知, f(x)在区间( - ,-1)内单调递增,在区间 -1,0内单调递减;当 x0时,函数 f(x)=x+1,显然 f(x)在区间(0, + )上单调递增 .综上, f(x)的单调递增区间是( - ,-1)和(0, + ),单调递减区间是 -1,0.(3)作出 f(x)的图象,如图 .函数 g(x)有三个零点,即方程 f(x)+c=0有三个不同实根,又方程 f(x)+c=0等价于方程 f(x)=-c,所以当 f(x)的图象与直线 y=-c有三个交点时,函数 g(x)有三个零点 .数形结合得 1-c3,即 -3c-1.因此,函数 g(x)有三个零点,实数 c的取值范围是( -3,-1).
