1、- 1 -第 8 课时 排列组合综合应用基础达标(水平一)1.若从 1,2,3,9 这 9 个数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ).A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种【解析】9 个数中有 4 个偶数,5 个奇数 .取的 4 个数均为奇数时,有 =5 种;均为偶数时,45有 =1 种;两奇两偶时 ,有 =60 种 .故共有 5+1+60=66 种 .44 24 25【答案】D2.学校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛,现有 4 位选手参加决赛,若每位选手都可以从4 个备选题目中任选 1 个进行演讲,则恰有 1 个题目没有被这 4 位选手选中的情况有(
2、 ).A.36 种 B.72 种 C.144 种 D.288 种【解析】恰有 1 个题目没有被这 4 位选手选中,即 4 位选手选中 3 个题目,即有 1 个题目被 2 位选手选中,故满足条件的情况有 =144 种 .342433【答案】C3.设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿 x 轴跳动,每次向 x 轴正方向或负方向跳 1 个单位,经过 5 次跳动,质点落在点(3,0)处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共有( ).A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种【解析】记向左跳 1 次为 -1,向右跳 1 次为 +1,则只要 5 次和为 +3,质点一定落在(3,0),所以只需 4 个
3、“ +1”,1 个“ -1”即可,从 5 次中挑出 1 次取“ -1”,结果数为 =5,故质点运动15方法共有 5 种 .【答案】C4.某班组织文艺晚会,准备从 A,B 等 8 个节目中选出 4 个节目演出 .要求: A,B 两个节目至少有一个选中,且 A,B 同时选中时,它们的演出顺序不能相邻 .那么不同演出顺序的种数为( ).A.1860 B.1320 C.1140 D.1020【解析】分两类:第一类, A,B 只有一个选中,则不同演出顺序有 种;第二类, A,B 同时123644选中,则不同演出顺序有 种 .故共有 + =1140 种 .262223 123644262223【答案】C5
4、.由 1,2,3 三个数字组成的五位数中,相邻的数字不相同的五位数共有 个 . 【解析】先分类,只有两个数字组成的五位数,共有 32=6 种 .由三个数字组成的五位数,其中 1,2,3 是固定的,剩下两个数可能是 1、1,1、2,1、3,2、2,2、3,3、3 六种情况,其中有1、1,2、2,3、3 的情况先排三个相同的数字,再排剩下的两个数字,所以有 32=6 种,对于有1、2,1、3,2、3 的三种情况,由于有两个数字相同,各有 10 种排法,共有 30 种排法 .综上所述,满足条件的五位数共有 6+6+30=42 个 .【答案】426.某校准备参加 2018 年高中数学联赛,把 10 个
5、选手名额分配到高三年级的 8 个教学班,每班至少 1 个名额,则不同的分配方案共有 种 . 【解析】问题等价于把 10 个相同小球放入 8 个不同的盒子里,每个盒子至少有 1 个小球的放法种数问题,将 10 个小球串成一串,截为 7 段有 =36 种截断法,对应放到 8 个盒子里 .79- 2 -因此,不同的分配方案共有 36 种 .【答案】367.(1)一条长椅上有 9 个座位,3 个人坐,若相邻 2 人之间至少有 2 个空椅子,共有几种不同的坐法?(2)一条长椅上有 7 个座位,4 个人坐,要求 3 个空位中,恰有 2 个空位相邻,共有多少种不同的坐法?【解析】(1)先将 3 人(用 表示
6、)与 4 张空椅子(用表示)排列如图( ),这时共占据了 7 张椅子,还有 2 张空椅子, 分开插入,如图中箭头所示( ),从 4 个空当中选 2 个插入,有 种插法; 2 张同时插入,有 种插法,再考虑 3 人可交换,有24 14种方法 .33所以共有 ( + )=60 种 .332414(2)可先让 4 人坐在 4 个位置上,有 种排法,再让 2 个“元素”(一个是 2 个作为一个整44体的空位,另一个是单独的空位)插入 4 个人形成的 5 个空当之中,有 种插法,所以所求的坐25法数为 =480.44 25拓展提升(水平二)8.对所有满足 1 m n5 的自然数 m,n,方程 x2+ y
7、2=1 所表示的不同的椭圆的个数为( ).A.15 B.7 C.6 D.5【解析】由于 的值不能为 1,故 m,n 的值不能相同,可以从 1,2,3,4,5 这 5 个数中选出2 个,有 种选法 ,较大的数赋值给 n,较小的数赋值给 m,但 = , = , = , = ,共 4 对值25 2313341445152535是相同的,故所表示的不同椭圆的个数为 -4=6.故选 C.25【答案】C9. 某公园有 P,Q,R 三只小船, P 船最多可乘 3 人, Q 船最多可乘 2 人, R 船只能乘 1 人 .现有 3 个大人和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船,规定有小孩的船必须有大人,则不同的乘
8、船方法共有( ).A.36 种 B.33 种 C.27 种 D.21 种【解析】若 2 个小孩都乘 P 船,有 ( + )=9 种方法;若 2 小孩分别在 P,Q 两只小船上,则132222有 ( + )=18 种方法 .由分类加法计数原理得共有 9+18=27 种不同的乘船方法 .故选 C.22132222【答案】C10.如图,圆内的矩形及四条线段把圆分成 A、 B、 C、 D、 E 五部分,现有 5 种不同色彩可以给这五部分涂色,每部分涂 1 种颜色,要求相邻的两部分颜色互异,共有 种不同的涂色方法 . - 3 -【解析】依题意,给五部分涂色,至少要用三种颜色,故可分成三类涂色:第一类,用
9、 5 种颜色涂色,有 种方法;55第二类,用 4 种颜色涂色,选 4 种颜色的方法有 种,在涂的过程中,选相对的两部分( A、 C45或 B、 D)涂同色有 种选法,4 种颜色涂上去有 种涂法,共 种涂法;12 44 45 12 44第三类,用 3 种颜色涂色,选颜色有 种选法, A、 C 与 B、 D 与 E 各涂一色有 种涂法,35 33共 种涂法 .35 33所以共有涂色方法 + + =420 种 .5545 12 4435 33【答案】42011.把 4 名男同志和 4 名女同志平均分成 4 组,到 4 辆公共汽车里售票,如果同样 2 人在不同汽车上服务算作不同情况 .(1)有几种不同
10、的分配方法?(2)每个小组必须是 1 名男同志和 1 名女同志有几种不同的分配方法?(3)男同志与女同志分别分组,有几种不同的分配方法?【解析】(1)男、女合在一起共有 8 人,每辆车上 2 人,可以分四个步骤完成:先安排 2 人上第一辆车,有 种;然后上第二辆车,有 种;再上第三辆车 ,有 种;最后上第四辆车,有 种 .28 26 24 22根据分步乘法计数原理,共有 =2520 种不同的分配方法 .28262422(2)要求男、女各 1 人,因此先把男同志安排上车,共有 种不同方法,同理,女同志也有44种方法,根据分步乘法计数原理,男、女各有 1 人上车的不同分配方法有 =576 种 .44 4444(3)男、女分别分组,4 名男同志平均分成两组共有 =3 种不同分法,4 名女同志平均分242222成两组也有 =3 种不同分法 ,这样分组方法就有 33=9 种,对于其中每一种分法上 4 辆车,242222又有 种上法, 因此不同分配方法种数为 9 =216 种 .44 44
