1、- 1 -第 10课时 “杨辉三角”与二项式系数的性质基础达标(水平一)1.若( x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+a11(x-2)11,则 a1+a2+a3+a11的值为( ).A.-1 B.1 C.3 D.5【解析】令 x=2,得 -5=a0,令 x=3,得 0=a0+a1+a2+a3+a11,所以 a1+a2+a3+a11=-a0=5.【答案】D2.若( -x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则( a0+a2+a10)2-(a1+a3+a9)2=( ).2A.1 B.-1 C.2 D.-2【解析】令 x=1,得 a0+a1+a2
2、+a10=( -1)10,2令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a10=( +1)10,2故( a0+a2+a10)2-(a1+a3+a9)2=(a0+a1+a2+a10)(a0-a1+a2-a3+a10)=( -1)10( +1)10=1.2 2【答案】A3.已知 +2 +22 +2n =729,则 + + 的值为( ).0 1 2 135A.64 B.32 C.63 D.31【解析】由已知(1 +2)n=3n=729,解得 n=6,则 + + = + + = =32.135163656262【答案】B4.把通项公式为 an=2n-1(nN *)的数列 an的各项排成如图所示的三角形数
3、阵 .记 S(m,n)表示该数阵的第 m行中从左到右的第 n个数,则 S(10,6)对应数阵中的数是( ).1 3 57 9 1113 15 17 19A.91 B.101 C.103 D.106【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列 bn,则 b1=1,bn-bn-1=2(n-1),b n=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2(n-1)+(n-2)+1+1=n2-n+1,b 10=102-10+1=91,S(10,6)=b10+2(6-1)=101.【答案】B5.若 展开式的各项系数之和为 32,则其展开式中的常数项是 . (2+13)【解析】令 x=1,
4、得 2n=32,所以 n=5.Tr+1= (x2)5-r = x10-5r,5 (13)5- 2 -由 10-5r=0,得 r=2,故展开式中的常数项是 =10.25【答案】106.已知(1 +x)n展开式的第五、六、七项系数成等差数列,求展开式中系数最大的项为 . 【解析】在(1 +x)n的展开式中,第五、六、七项的系数就是它们的二项式系数,即分别是、 、 .由题意有 + =2 ,即 n2-21n+98=0,解得 n=14或 n=7.4 5 6 64 5当 n=14时,(1 +x)n展开式的系数最大的项为 T8= x7=3432x7;714当 n=7时,(1 +x)n展开式中系数最大的项为
5、T4= x3=35x3或 T5= x4=35x4.37 47【答案】3432 x7或 35x4或 35x37.观察下列数表,试求出此表的最后一个数字 .【解析】因为第 1行有 100个数,以后每一行都比前一行少 1个数,因此共有 100行 .通过观察可以得到:第 1行首尾两项之和为 101;第 2行首尾两项之和为 1012;第 3行首尾两项之和为 10122;第 4行首尾两项之和为 10123;第 99行首尾两项之和为 101298.因为从第 2行开始,每一个数字是它“肩上”两个数字之和,所以最后一个数字,即第 100行的数字是它“肩上”两个数字之和,即 101298.拓展提升(水平二)8.已
6、知 的展开式中,各项系数之和为 A,各项的二项式系数之和为 B,且 A+B=72,则展开(+3)式中常数项为( ).A.6 B.9 C.12 D.18【解析】由二项展开式的性质,可得各项的二项式系数之和 B=2n,令 x=1,可得各项系数之和 A=(1+3)n=4n.因为 A+B=72,所以 4n+2n=72,解得 n=3.因为 的展开式的通项为 Tr+1= (+3)3 3)3-r =3r ,令 =0,可得 r=1,所以展开式中常数项为 T2=3 =9,故选 B. (3) 33-32 3-32 13【答案】B9.设(2 -x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5,那么 的值为 . 0+2+41
7、+3【解析】当 x=1时,1 =a0+a1+a2+a3+a4+a5;当 x=-1时,3 5=a0-a1+a2-a3+a4-a5,- 3 -a 0+a2+a4=122,a1+a3+a5=-121,a5= (-1)5=-1,a 1+a3=-120,55 =- .0+2+41+3 6160【答案】 -616010.在“杨辉三角”中,每一个数都是它“肩上”两个数的和,它开头几行如图所示 .那么,在“杨辉三角”中,第 行会出现三个相邻的数,其比为 3 4 5. 第 0行 1第 1行 1 1第 2行 1 2 1第 3行 1 3 3 1第 4行 1 4 6 4 1第 5行 1 5 10 10 5 1 【解析
8、】根据题意,设所求的行数为 n,则存在正整数 k,使得连续三项 , , ,有 = ,且 = .-1 +1-1 34+1 45化简得 = , = ,联立解得 k=27,n=62.-+134+1-45故第 62行会出现满足条件的三个相邻的数 .【答案】6211.已知 f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nN *)的展开式中, x的系数为 11.(1)求 x2的系数取最小值时 n的值 .(2)当 x2的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中 x的奇次项的系数之和 .【解析】(1)由已知 +2 =11,所以 m+2n=11,11x2项的系数为 +22 = +2n(n-1)2 2(-1)2= +(11-m) = + .2-2 (11-2 -1) (-214)235116因为 mN *,所以 m=5时, x2项的系数取得最小值 22,此时 n=3.(2)由(1)知,当 x2项的系数取得最小值时, m=5,n=3,所以 f(x)=(1+x)5+(1+2x)3,设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33=59,令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得 2(a1+a3+a5)=60,故展开式中 x的奇次项的系数之和为 30.
