1、1第一章 常用逻辑用语综合检测一、选择题1.命题“若 x22 或 x4D.若 x2 或 x -2,则 x24【解析】命题“若 p,则 q”的逆否命题为“若 q,则 p”.故选 D.【答案】D2.设 p:log2x0【解析】选项 A 中,若 b 为零向量, a 为非零向量,则不存在实数 ,使 a=b ;选项 B 中,当a,b 的夹角为 180时,也有 ab3-1,所以命题 p:xR,2 x0,所以函数 f(x)=x3+x2-1 在(0,1)上存在零点,即命题 q:xR, x3=1-x2为真命题 .所以( p) q 为真命题 .故选 B.【答案】B6.已知命题 p:若不等式 x2+x+m0 恒成立
2、,则 m ;命题 q:在 ABC 中,“ AB”是“sin 14Asin B”的充要条件,则( ).A.p 假 q 真 B.“p q”为真C.“p q”为假 D.p 假 q 真【解析】易判断出命题 p 为真命题,命题 q 为真命题,所以 p 为假命题, q 为假命题,结合各选项知 B 正确 .【答案】B7.给定两个命题 p,q,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的( ).A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 pq,q/ p,所以 qp,p/ q,所以 q 是 p 的充分不必要条件 .【答案】
3、C8.下列有关命题的叙述,错误的个数为( ). 若 p q 为真命题,则 p q 为真命题; “x5”是“ x2-4x-50”的充分不必要条件; 若命题 p:x0R,使得 +x0-10 得 x5 或 x5”是“ x2-4x-50”的充分不必要条件,所以 正确 .由特称命题的否定是全称命题知 正确 .“若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x1 且 x2,则 x2-3x+20”,故 错误 .【答案】B9.下列说法正确的个数是( ). 若命题 p:xR,使得 x2+x-10; 若 p 是 q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的充分不必要条件; 命题“若 x=y,则 s
4、in x=sin y”的逆否命题为真命题; “m=-1”是“直线 l1:mx+(2m-1)y+1=0 与直线 l2:3x+my+3=0 垂直”的充要条件 .A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 若命题 p:xR,使得 x2+x-10 对任意的 xR 恒成立 .若 p q 为真命题, p q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( ).A.(1,4) B.-2,4 C.(- ,1(2,4) D.(- ,1)(2,4)【解析】当命题 p 为真命题时, 函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=m,m 2 .当命题 q 为真命题时,若 m=0,则原不等式为 -4x+10,该不等式的解集不为 R,不符合条
5、件;若 m0,则有 解得 10,=4(-2)2-42,11; “= +k( kZ)”是“函数 y=sin(2x+ )为偶函数” 的充要条件;2 命题 p:x0R, 使 sin x0+cos x0= ;命题 q:若 sin sin ,则 ,那么( p) q 为32真命题 .其中正确的个数是( ).A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】因为 中的原命题为真,所以其逆否命题也为真,所以 错误 .由全称命题的否定是特称命题知 正确 .当函数为偶函数时,有 = +k( kZ),所以其为充要条件,所以 2正确 .因为 sin x+cos x= sin 的最大值为 0,则 x0满足关于 x 的方程 ax=
6、b 的充要条件是( ).A.x0R, ax2-bx a -bx012 20B.x0R, ax2-bx a -bx012 1220C.xR, ax2-bx a -bx012 1220D.xR, ax2-bx a -bx012 1220【解析】因为 x0满足方程 ax=b,所以 x0= .而 ax2-bx- = ax2-bx- a +b = ax2-bx+ ,12 (1220-0)12 12 ()2 12 22令 h(x)= ax2-bx+ ,则其对应的一元二次方程 ax2-bx+ =0 的判别式 =b 2-4 a12 22 12 22 12=0.又 a0,故对 xR,有 h(x)0 恒成立,即对
7、 xR, ax2-bx a -bx0恒成立 .22 12 1220【答案】D二、填空题13.已知命题 p:函数 f(x)=log0.5(3-x)的定义域为( - ,3);命题 q:若 k0,得 x0,若 p 是 q 的充分条件,则实数 a 的取值范围是 . 【解析】 p:a-4b+d”是“ ab 且 cd”的必要不充分条件 .【解析】 当 x=1 时, x2=x 成立,反之,不一定,所以“ x=1”是“ x2=x”的充分不必要条件,所以 正确 .5 函数 y=cos2kx-sin2kx=cos 2kx,其最小正周期 T= = ,当 k=1 时, T=;当 = 时,2|2| | |k=1.所以
8、不正确 . 转化为等价命题,即判断“ x2=1”是“ x=1”的充分不必要条件,由于 x2=1 时, x=1,不一定有 x=1,所以充分条件不成立,所以 不正确 .a+cb+d 不一定有 ab 且 cd,但 ab 且 cd 时,必有 a+cb+d,所以 正确 .综上可知,正确结论的序号为 .【答案】 16.命题“对于正数 a,若 a1,则 lg a0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为 m.命题“设 nN *,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根”是真命题,则 logmn 的值为 . 【解析】原命题“对于正数 a,若 a1,则 lg a0”是真命题,逆命题“对于正数 a,
9、若lg a0,则 a1”是真命题,所以其否命题与逆否命题都是真命题 .所以 m=4.因为一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根,所以由 = 16-4n0 得 n4,又因为 nN *,所以 n=1,2,3,4,验证可知 n=3,4 符合题意 .因此,log mn=log43 或 logmn=log44=1.【答案】log 43 或 1三、解答题17. 为圆周率, a,b,c,dQ,已知命题 p:若 a +b=c +d,则 a=c 且 b=d.(1)写出 p 并判断真假;(2)写出 p 的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假 .【解析】(1) p:若 a +b=c +d,则 a c 或 b d.
10、因为 a,b,c,dQ,由 a +b=c +d,得 ( a-c)=d-bQ,所以 a=c 且 b=d.故 p 是真命题, p 是假命题 .(2)逆命题:若 a=c 且 b=d,则 a +b=c +d.它是真命题 .否命题:若 a +b c +d,则 a c 或 b d.它是真命题 .逆否命题:若 a c 或 b d,则 a +b c +d.它是真命题 .18.给出下列两个命题:命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a20 的解集为;命题乙:函数 y=(2a2-a)x为增函数 .分别求出符合下列条件的实数 a 的取值范围 .(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且只有一个是真
11、命题 .【解析】当命题甲为真时, = (a-1)2-4a2 或 a1,解得 a1 或 a13(2)甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况:6当甲真乙假时, 0 的充分条件?(2)是否存在实数 m,使得 2x+m0 的必要条件?【解析】(1)欲使得 2x+m0 的充分条件,则只要 x|x3,则只要满足 - -1,即 m2 .故存在实数 m2,使得 2x+m0 的充分条件 .2(2)欲使得 2x+m0 的必要条件,则只要 x|x3.而这|0 的必要条件 .20.设 a,b,c 为 ABC 的三边,求证:方程 x2+2ax+b2=0 与 x2+2cx-b2=0 有公共根的充要条件是 A=90.【解
12、析】充分性:因为 A=90,所以 a2=b2+c2.于是方程 x2+2ax+b2=0 可化为 x2+2ax+a2-c2=0,所以 x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.所以 x+(a+c)x+(a-c)=0.所以该方程有两根 x1=-(a+c),x2=-(a-c),同样,方程 x2+2cx-b2=0 也可化为 x2+2cx-(a2-c2)=0,即 x+(c+a)x+(c-a)=0,所以该方程有两根 x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以发现, x1=x3,所以这两个方程有公共根 .必要性:设 x 是这两个方程的公共根,则 2+2+2=0, 2+2-2=0. 由 + ,得 x=-(a+c
13、)或 x=0(舍去) .代入 并整理得 a2=b2+c2.所以 A=90.所以结论成立 .21.已知 aR,命题 p:对于 x1,2,不等式 x2+2ax-20 恒成立;命题 q:关于 x 的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-20 的解集为空集 .当 p,q 中有且仅有一个为真命题时,求实数 a 的取值范围 .【解析】因为对于 x1,2,不等式 x2+2ax-20 恒成立,所以 2a = -x 在 x1,2上2-2 2恒成立 .令 g(x)= -x,则 g(x)在1,2 上是减函数,2所以 g(x)max=g(1)=1,所以 2a1,所以若命题 p 为真,则 a .12当命题 q 为真时,
14、 a 应满足 a=1 或 2-112,1或 0 成立 .20(1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围;(2)若命题 q 为真命题,求实数 m 的取值范围;(3)若命题( p)( q)为真命题,且命题 p q 为真命题,求实数 m 的取值范围 .【解析】(1)因为方程 x2-4mx+1=0 有实根,所以 = 16m2-40,解得 m - 或 m .12 12所以实数 m 的取值范围是 .(-,-12 12,+)(2)设 f(x)=mx2-2x-1.当 m=0 时, f(x)=-2x-1,q 为真命题;当 m0 时, q 为真命题;当 m0,解得 -1-1, 所以实数 m 的取值范围是( - ,-1 .(-12,12)
