1、1第 3课时 充分必要条件的综合应用基础达标(水平一 )1.“a=2”是“直线 y=-ax+2与直线 y= x-1垂直”的( ).4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】因为两条直线垂直,所以( -a) =-1,解得 a=2,所以答案是充分不必要条件 .4【答案】A 2.已知条件 p:函数 f(x)=x2+mx+1在区间 上单调递增 ,条件 q:m - ,则 p是 q的( ).(12,+) 43A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】因为函数 f(x)=x2+mx+1在区间 上单调递增 ,所以 - m
2、 -1,所以 p(12,+) 2 12是 q的充分不必要条件,故选 A.【答案】A 3.已知 p是 r的充分不必要条件, s是 r的必要条件, q是 s的必要条件,那么 p是 q的( ).A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】依题意有 pr,r/ p,rs,sq,p rsq.但由于 r推不出 p,因此 q推不出 p.故 p是 q的充分不必要条件 .【答案】A 4.已知命题 p:cos(+ )=cos 2 ,命题 q: , , 成等差数列,则 p是 q的( ).A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】由 ,
3、 , 成等差数列得 += 2 ,所以 cos(+ )=cos 2. 而由cos(+ )=cos 2 不一定得出 += 2 ,还可能是 += 2+ 2 等,所以 p是 q的必要不充分条件 .【答案】B5.函数 f(x)=ax+3在 -1,2上存在零点的充要条件是 .【解析】函数 f(x)=ax+3在 -1,2上存在零点等价于 f(-1)f(2)0,即( -a+3)(2a+3)0,解得 a3 或 a - .32【答案】 a3 或 a -326.已知 m,n为两条不同的直线, , 为两个不同的平面,有下列四个条件:m n,n ;m n,n ;m ,m , ;m , . 其中能使 m 成立的充分条件是
4、 .(填序号) 【解析】 m n,n ,不能推得 m ,m可能在平面 内;m n,n ,不能推得 m ,m可能在平面 内;2m ,m , ,能推得 m ;m , ,不能推得 m ,m可能在平面 内 .【答案】 7.已知集合 A为函数 f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)的定义域,集合 B=x|1-a2-2ax-x20,求证:“a2”是“ A B=”的充分不必要条件 .【解析】若函数 f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)有意义,则 解得 -10,1-0,故 A=x|-10,若 p是 q的充分不必要条件 ,则实数 a的取值范围1-1是( ).A.(-2,-1 B.-2,-1 C.-3,-1
5、 D.-2,+ )【解析】 0x2,记 P=x|x2;1-1 2-1x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1)0,记 Q=x|(x+a)(x-1)0.因为 p是 q的充分不必要条件,所以 P是 Q的真子集 .当 a-1时, Q=x|x1,此时 P不可能是 Q的真子集;当 a=-1时, Q=x|x1,符合题意;当 a-a,只需 -a-2.综上所述, a的取值范围是( -2,-1.【答案】A 9.已知“ -10,则 q:-31k1.p 是 q的充分条件, p q,- 1m1,即实数 m的取值范围是( -1,1.【答案】( -1,110.(1)“= ”是“tan = ”的 条件; 6 33(2)“
6、 =-2”的 条件是“直线 ax+2y+3=0和直线 x+by+2=0互相垂直” .(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”) 【解析】(1)由 = 能够推出 tan = ,反之不然,所以是充分不必要条件 .6 33(2)若直线 ax+2y+3=0和直线 x+by+2=0互相垂直,则 a=b=0或 =-1,即 a=b=0(-2) (-1)或 =-2,所以是必要不充分条件 .【答案】(1)充分不必要 (2)必要不充分311.已知数列 an的前 n项和 Sn=pn+q(p0 且 p1),求证:数列 an为等比数列的充要条件为 q=-1.【解析】充分性:当 q=-1时, a1=S1=p-1;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),且当 n=1时也成立 .于是 = =p(p0 且 p1),即 an为等比数列 .+1 (-1)-1(-1)必要性:当 n=1时, a1=S1=p+q;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).因为 p0 且 p1,所以当 n2 时, = =p,可知等比数列 an的公比为 p.+1 (-1)-1(-1)故 = =p,即 p-1=p+q,解得 q=-1.21(-1)+综上可知, q=-1是数列 an为等比数列的充要条件 .
