1、1第 5课时 简单复合函数的求导法则基础达标(水平一)1.函数 f(x)=(2kx)2的导数是( ).A.f(x)=4kx B.f(x)=4k2xC.f(x)=8kx D.f(x)=8k2x【解析】 f(x)=2(2kx)(2kx)=8k2x.【答案】D2.若函数 f(x)=3sin ,则 f =( ).(2+3) (2)A.-3 B.3 C.-6 D.6【解析】因为 f(x)=3cos (2+3) (2+3)=6cos ,所以 f =6cos =-3.(2+3) (2) 43【答案】A3.已知直线 y=x+1与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a的值为( ).A.1 B.2 C.-1 D.-
2、2【解析】设切点 P(x0,y0),则 y0=x0+1=ln(x0+a).又由 y = =1,解得 x0+a=1,y 0=0,x0=-1,a= 2.|=010+【答案】B4.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】令 f(x)=ax-ln(x+1),则 f(x)=a- .1+1由 f(0)=a-1=2,得 a=3.故选 D.【答案】D5.若曲线 y=e-x上点 P处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P的坐标是 . 【解析】设 P(x0,y0),因为 y=e-x,所以 y=-e-x.故点 P处的切线斜率
3、为 k=- =-2,-0所以 -x0=ln 2,得 x0=-ln 2,所以 y0=eln 2=2,即点 P的坐标为( -ln 2,2).【答案】( -ln 2,2)6.曲线 y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线 y=0和 y=x围成的三角形面积为 . 【解析】 y=- 2e-2x,y| x=0=-2,切线方程为 y=-2x+2. 所围成的三角形的三个顶点为(0,0),(1,0), .(23,23) 三角形的面积 S= 1 = .12 2313【答案】1327.设函数 f(x)=x+ln(x-5),g(x)=ln(x-1),解不等式 f(x)g(x).【解析】因为 f(x)=1+ ,g(
4、x)= ,1-5 1-1由 f(x)g(x),得 1+ ,1-5 1-1即 0,解得 x5或 x5,-50,-10,所以不等式 f(x)g(x)的解集为(5, + ).拓展提升(水平二)8.曲线 y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率等于( ).A.2e B.e C.2 D.1【解析】 y=ex-1+xex-1=(1+x)ex-1,y| x=1=2,即曲线 y=xex-1在点(1,1)处的切线斜率 k=2.【答案】C9.已知曲线方程 f(x)=sin2x+2ax(aR),若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则 a的取值范围是( ).A.(- ,-1)( -
5、1,0)B.(- ,-1)(0, + )C.(-1,0)(0, + )D.aR 且 a0, a -1【解析】假设存在实数 m,使直线 l是曲线 y=f(x)的切线,f (x)=2sin xcos x+2a=sin 2x+2a, 方程 sin 2x+2a=-1有解, - 1 a0 .故所求a的取值范围是( - ,-1)(0, + ),故选 B.【答案】B10.设函数 f(x)=cos( x+ )(0 ),若 f(x)+f(x)是奇函数,则 = . 3【解析】因为 f(x)=- sin( x+ ),3 3所以 f(x)+f(x)=cos( x+ )- sin( x+ )3 3 3=2sin .(3
6、+56)若 f(x)+f(x)为奇函数,则 f(0)+f(0)=0,即 2sin =0,所以 + =k( kZ) .(+56) 56又 (0,),即 = .6【答案】611.若点 P是曲线 y=ex+1上任意一点,求点 P到直线 y=x的最小距离 .【解析】根据题意设平行于直线 y=x的直线与曲线 y=ex+1相切于点( x0,y0),该切点即为与直线 y=x距离最近的点 .如图,则在点( x0,y0)处的切线斜率为 1,即当 x=x0时, y=1.3因为 y=(ex+1)=ex+1,所以 =1,得 x0=-1,0+1代入 y=ex+1,得 y0=1,即 P(-1,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为 .2
