1、1一元二次不等式及其解法3.2.1 一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法一本节教学分析人民教育出版社 A 版必修数学 5 第三章不等式第二大节 3.2 一元二次不等式及其解法的教学分为三个学时，第 1 课时先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，以此激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教学.讲述完一元二次不等式的概
2、念后，再回归到先前的具体事例，总结一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤，由学生用表格将一元二次不等式解法与二次函数的数形关系的对应关系用图表形式表示出来；然后用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，根据这些图表，得出一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系，再辅以新的例题巩固.整个教学过程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法与二次函数的关系本质，引出一元二次不等式解法的步骤和过程，并及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.第 2 课时由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一
3、些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)这节课通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理
4、解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题，作为对一元二次不等式的概念、解法以及解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.本节课通过复习引入课题，通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式的概念、解法和解法与二次函数的关系以及一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习，充分体现了新课标的理念.第 3 课时由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步骤、求解一元二次不等式的程序框图.确定
5、一元二次不等式的概念和解法，通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，在学生深刻理解一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的基础上，再辅以新的例题巩固.一元二次不等式的解法的应用(一)通过对一元二次不等式的概念、一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系以及解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系的正确理解.用可以直接或间接转化为一元二次不等式、二次函数的知识来解决的问题，作为对一元二次不等式的概念、一元二次不等式
6、的解法和二次不等式解法与一元二次函数的关系以及一元二次不等式解法、一元二次不等式解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系的知识能力的延伸和补充.又讲解了分式不等式和高次不等式的解法.本节课通过一2元二次不等式的解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，学习含有参数的一元二次不等式的解法.通过例题的讲解和学生的练习，不断地发现、深入、探究，步步为营.层层铺垫既有利于一元二次不等式解法、一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系等知识的巩固和延伸，更有利于学生的自主学习，充分体现了新课标的理念.整个教学过程，更深入揭示一元二次不等式解法与一元二次函数的关系本质，继续一元二次不等式解法的步骤和过
7、程，及时加以巩固，同时让学生体验数学的奥秘与数学美，激发学生的学习兴趣.1 三维目标（1）知识与技能 经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程，通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系；会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论；使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及 技巧（
8、2）过程与方法采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学； 发挥学生的主体作用，作好探究性实验；理论联系实际，激发学生的学习积极性； 学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力;（3）情感态度与价值观.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观；进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；
9、强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风； 通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.2 教学重点（ 1）从实际问题中抽象出一元二次不等式模型；围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想；（2）分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则,把它们转化为与其等价的两个或多个不等式(组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定),于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意
10、分式不等式的同解变形有如下几种:(1) )(xgf0 f(x)g(x)0;3(2) )(xgf0 f(x)g(x)0;(3) )(f0 f(x)g(x)0 且 g(x)0;(4) )(xgf0 f(x)g(x)0 且 g(x)0.解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数乘法的运算性质,把高次不等式转化为低次的不等式组.数轴标根法的基本思路是:整理(分解)标根画线选解.（3）熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论；围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.3 教学难点 （1）深入理
11、解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.（2.）分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式,要注意分母不能为零.由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,计算较繁,且容易出错,同学们一定要细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.（2）正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.4 教具准备 多媒体及课件二课时安排3 课时三教学过程第
12、 1 课时导入新课师 上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司（Internet Service Provider）的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用.某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家 ISP 公司可供选择，公司 A 每小时收费1.5 元；公司 B 的收费原则是在用户上网的第一小时内收费 1.7 元，第二小时内收费 1.6元，以后每小时减少 0.1 元.（若用户一次上网时间超过 17 小时，按 17 小时计算）一般来说，一次上网时间不会超过 17 小时，所以，不妨一次上网时间总小于 17 小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司
13、 A 比选择公司 B 所需费用少？假设一次上网 x 小时，则 A 公司收取的费用为 1.5x，那么 B 公司收取的费用为多少？怎样得来？生 结果是 20)35(元，因为是等差数列，其首项为 1.7，公差为-0.1，项数为 x 的和，即 .20)35(1.7.1xx4师 如果能够保证选择 A 公司比选择 B 公司所需费用少，则如何列式？生 由题设条件应列式为 20)35(x1.5x(0x17)，整理化简得不等式 x2-5x0.推进新课师 因此这个问题实际就是解不等式：x 2-5x0 的问题.这样的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我们下面要学习讨论的重点.什么叫做一元二次不等式？含有一个未知
14、数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（ a0）.例如 2x2-3x-20，3x 2-6x-2，-2x 2+30 等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？师 在初中，我们已经学习过一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函数的有关知识，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函数三者之间有什么关系呢？思考：对一次函数 y=2x-7，当 x 为何值时，y=0？当 x 为何值时，y0？当 x 为何值时，y0？它的对应值表与图象如下：x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5y -3 -2 -1 0 1 2 3由对应值表与
15、图象（如上图）可知：当 x=3.5 时，y=0，即 2x-7=0；当 x3.5 时，y0，即 2x-70；当 x3.5 时，y0，即 2x-70.师 一般地，设直线 y=ax+b 与 x 轴的交点是(x 0，0),则有如下结果：（1）一元一次方程 ax+b=0 的解是 x0；（2）当 a0 时，一元一次不等式 ax+b0 的解集是x|xx 0；一元一次不等式ax+b0 的解集是x|xx 0.当 a0 时，一元一次不等式 ax+b0 的解集是x|xx 0；一元一次不等式 ax+b0 的解集是x|xx 0.师 在解决上述问题的基础上分析，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.能通过观察
16、一次函数的图象求得一元一次不等式的解集吗？生 函数图象与 x 轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图象落在 x 轴上方(下方)部分对应的横坐标.a0 a0一次函数y=ax+b(a0)的图象5一元一次方程 ax+b=0 的解集 x|x= ab x|x= ab一元一次不等式 ax+b0 的解集 x|x x|x 一元一次不等式 ax+b0 的解集 x|x x|x 师 在这里我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系.利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起
17、来讨论找到其求解方法呢？在初中学习二次函数时，我们曾解决过这样的问题：对二次函数 y=x2-5x，当 x 为何值时，y=0？当 x 为何值时，y0？当 x 为何值时，y0？当时我们又是怎样解决的呢？生 当时我们是通过作出函数的图象，找出图象与 x 轴的交点，通过观察来解决的.二次函数 y=x2-5x 的对应值表与图象如下：x -1 0 1 2 3 4 5 6y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6由对应值表与图象（如上图）可知：当 x=0 或 x=5 时，y=0，即 x2-5x=0；当 0x5 时，y0，即 x2-5x0；当 x0 或 x5 时，y0，即 x2-5x0.这就是说，若抛物线 y
18、=x 2-5x 与 x 轴的交点是(0，0)与(5，0),则一元二次方程 x2-5x=0 的解就是 x1=0，x 2=5.一元二次不等式 x2-5x0 的解集是x|0x5;一元二次不等式 x2-5x0 的解集是x|x0 或 x5.教师精讲由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（ a0）的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.如何讨论一元二次不等式的解集呢？我们知道，对于一元二次方程 ax2
19、+bx+c=0(a0)，设其判别式为 = b2-4ac，它的解按照0,=0，0 分为三种情况，相应地，抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴的相关位置也分为三种情况（如下图） ，因此，对相应的一元二次不等式 ax2+bx+c0 或ax2+bx+c0（ a0）的解集我们也分这三种情况进行讨论.6（1）若 0，此时抛物线 y=ax 2+bx+c(a0)与 x 轴有两个交点图（1） ，即方程 ax 2+bx+c=0(a0)有两个不相等的实根 x1，x 2（x 1x 2）,则不等式 ax2+bx+c0（ a0）的解集是x|xx 1，或 xx 2；不等式 ax2+bx+c0（ a0）的解集是x|
20、x 1xx 2.（2）若 =0，此时抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴只有一个交点图（2） ，即方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的实根 x1=x2=,则不等式 ax2+bx+c0（ a0）的解集是x|x ；不等式 ax2+bx+c0（ a0）的解集是.(3)若 0，此时抛物线 y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴没有交点图(3) ，即方程ax2+bx+c=0(a0)无实根，则不等式 ax2+bx+c0（ a0）的解集是 R；不等式ax2+bx+c0（ a0）的解集是.= b2-4ac 0 =0 0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0 的根 ab
21、x2.1x1=x2= abax2+bx+c0 的解集 x|xx 1或 xx 2 x|x Rax2+bx+c0 的解集 x|x1xx 2 对于二次项系数是负数（即 a0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.知识拓展【例 1】 解不等式 2x 2-5x-30.生 解：因为 0，2x 2-5x-3=0 的解是 x1=- 2,x 2=3.所以不等式的解集是x|x 21，或 x3.【例 2】 解不等式-3x 2+15x12.生 解：整理化简得 3x 2-15x+120.因为 0，方程 3x2-15x+12=0 的解是 x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是x|1x4.【例 3】 解不等式 4
22、x 2+4x+10.生 解：因为 =0，方程 4x 2+4x+1=0 的解是 x1=x 2=.所以不等式的解集是x|x .【例 4】 解不等式-x 2 +2x-30.生 解：整理化简，得 x2-2x+30.因为 0，方程 x 2-2x+3=0 无实数解，所以不等式的7解集是 .师 由上述讨论及例题，可归纳出解一元二次不等式的程序吗？生 归纳如下：（1）将二次项系数化为“+”：y= ax 2+bx+c0(或0)( a0).（2）计算判别式 ，分析不等式的解的情况：0 时，求根 x1x 2， .,0;21yx则若 或则若=0 时，求根 x 1=x 2=x 0， .,;00xy则若 则若 的 一 切
23、 实 数则若0 时，方程无解， .,;R则若 则若（3）写出解集.师 说的很好.下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.学生活动过程方法引导上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用与新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣与勇于探索的精神.课堂小结1.一元二次不等式：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（ a0）.2.求解一元二次不等式的步骤和解一元二次不等式的程序.8当堂检测一、选
24、择题1设集合 M x|0 x2， N x|x22 x30， N x|x24，则 M N( )A(1,2) B1,2)C(1,2 D1,26不等式 x22 x30 的解集为( )A x|x1 或 x3 B x|1 x3C x|x3 或 x1 D x|3 x1二、填空题7(2013广东理，9)不等式 x2 x20 的解集为( ， )，求 cx22 x a0 的解集13 12参考答案1 D解析 由 x22 x31，N x|2 x2，所以 M N x|10 的解集为( ， )，知 a0，即 2x22 x120 的解集为 x|20 的解集是( )A x|x5 或 x1 B x|x5 或 x0 的解集是
25、x|x3 或 x0，得 x5 或 x0 得，10 0；(2) 0 对一切 xR 恒成立，从而原不等式等价于32 342x22 mx m0 对一切实数 x 恒成立 (62 m)28(3 m)4( m1)( m3)x 知 x0， 0 即 x(1 x2)1x 1x 1 x2x0，所以 x1，1x 1x 1 x3x所以 x0 恒成立( a0)Error!； y ax2 bx c0， x .故原不等式的解集为13 1224x|x 13 12(2) 0 时， ax(x1)0 x|x0，或 x1.布置作业（1）已知不等式 x2+5x+m0 的解集为x|x-7 或 x2，求实数 m 的值.(答案：m=-14)
26、（2）已知关于 x 的二次不等式 px 2+px-40 对任意实数 x 都成立，求实数 p 的范围.(由p0 且 0，得 pp|-16p0)(3)若 y=ax 2+bx+c 经过(0，-6)点，且当-3x1 时，y0，求实数 a,b,c 的值.（答案：a=2,b=4,c=-6）(4)已知方程 2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 有两个负实根，求实数 k 的取值范围.解：要使原方程有两个负实根，必须 0)1221 （ xk0)1(234012 kk132或 或 kk-2k-1 或 32k1.实数 k 的取值范围是k|-2k-1 或 k1.板书设计一元二次不等式的解法的应用（二）例 3例 1、2例 4
