1、12.2.1 向量的加法运算与几何意义教案【学习目标】1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量.2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义，掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.3.通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识，体会数学在生活中的作用. 培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力.【重点难点】教学重点:向量加法的运算及其几何意义.教学难点:对向量加法法则定义的理解.【学习过程
2、】一、提出问题 1（1）数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？（2）猜想向量加法的法则是什么? 与数的运算法则有什么不同?图 1探究活动:向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图 1. 某对象从 A 点经 B 点到 C 点，两次位移 AB、 C的结果，与 A 点直接到 C 点的位移 A结果相同. 力也可以合成。老师引导，让学生共同探究如下的问题:图 2(1)表示橡皮条在两个力的作用下，沿着 GC 的方向伸长了 EO；图 2(2)表示撤去 F1和 F2，用一个力 F 作用在橡 皮条上,使橡皮条沿着相同的
3、方向伸长相同的长度.图 2改变力 F1与 F2的大小和方向，重复以上的实验,你能发现 F 与 F1、F 2之间的关系吗?2力 F 对橡皮条产生的效果与力 F1与 F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力 F 叫做 F1与 F2的合力.合力 F 与力 F1、F 2有怎样的关系呢? 由图 2(3)发现，力 F 在以 F1、F 2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小 等于平行四边形对角线的长.数的加法启发我们，从运算的角度看,F 可以认为是 F1与 F2的和，即位移、力的合 成看作向量的加法.探究结果:（1）向量加法 的定义: 如图 3，已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作 B=a， C
4、=b，则向量 AC叫做 a 与 b 的和，记作 a+b，即 a+b=AB+ C= .图 3求两个向量和的运算，叫做向量的加法.（2）向量加法的法则:向量加法的三角形法则：在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则. 运用这一法则时要特别注意“首尾相接” ，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理 模型.向量加法的平行四边形法则：图 4如图 4，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的对角线 OC就是 a 与 b 的和.我们把这种作两个向量和的
5、方法叫做向量加法的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出问题 2（1）对于零向量与任一向量的加法，结果又是怎样的呢？（2）两共线向量求和时，用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个 向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？（3）思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？（4）数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算. 类似地，向量的加法是否也有运算律呢?探究活动:观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨、诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系. 数的加法满足交换律与结合律，即对任意 a,bR,有3a+b=b+a,(a+b)+
6、c=a+(b+c).任意向量 a,b 的加法是否也满足交换律和结合律? 引导学生画图进行探索.探究结果:（1）对于零向量与任一向量，我们规定 a+0=0+a=a.（2）两个数相加其结 果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段.（3）当 a,b 不共线时，|a+b|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);当 a,b 共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;当 a,b 共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|). 其中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时,|a+b|=|a|-|b|；当向量 a 的
7、长度小于向量 b 的长度时，|a+b|=|b|-|a|.一般地，我们有|a+b|a |+|b|.（4）如图 5，作 AB=a, D=b,以 AB、AD 为邻边作 ABCD，则 BC=b,D=a.因为 C= + =a+b， C= + =b+a，所以 a+b=b+a.如图 6，因为 = + =( + )+ =(a+b)+c,AD= B+ =A+( + D)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.图 5 图 6二、应用示例思路 1【例 1】 如图 7，已知向量 a、b，求作向量 a+b.活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平
8、行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点 O 的依据它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.图 7 图 8 图 9解:作法一:在平面内任取一点 O(如图 8),作 OA=a, B=b,则 =a+b.作法二:在平面内任取一点 O(如图 9)，作 =a, =b.以 OA、OB 为邻边作 OACB,连接 OC,则OC=a+b.4变式训练化简：(1) BC+A;(2)D+ +BC，(3) A+DF+C+B+ A.活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次
9、相接，再运用向量加法的结合律调整运算顺序，然后相加.解:(1) + = + = .(2)DB+C+ = + D+ B=( C+ )+DB= + =0.(3)A+ F+ + +FA=A+ + + F+ A= + + + = + + = + =0.点评: 要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.解:如图 11 所示, AD表示船速, B表示水速,以 AD、AB 为邻边作 ABCD,则 AC表示船实际航行的速 度.(2)在 RtABC 中,| |=2,| C|=5,所以| C|= 295| 225.4.因为 tanCAB= 9，由计算器得CAB=70.答:船实际航行速度的大小约为 5.4
10、km/h，方向与水的流速间的夹角为 70.点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题，解决问题.变式训练用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.5图 12活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.证明:如图 12,设四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB= O+ ， DC= +O.AC 与 BD 互相平分， =
11、 ， B= ， A=DC,因此 且| |=| |， 即四边形 ABCD 是平行四边形 .点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明 B= 或 = C即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明 AB与 DC共线,且| A| DC|.思路 2【例 1】 如图 13，O 为正六边形 ABCDEF 的中心,作出下列向量:(1) + ； (2) +FE； (3) +F.活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.图 13解:(1)因四边形 OABC 是以 OA、OC 为邻边的平行四边形,OB 是其对角线，故 O
12、A+ C= B.(2)因 =FE，故 + F与 C方向相同,长度为 BC的长度的 2 倍，故 + = D.(3)因 = ， 故 A+ =O+ D=0.点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.【例 2】 在长江的某渡口处，江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度是 25 km/h,渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？活动:6变式训练已知 O 是四边形 ABCD 内一点，若 OA+ B+ C+ D=0，则四边形 ABCD 是怎样的四边形? 点O 是四 边形的什么点?活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系，如平行
13、、相等等;而要判断点 O是该四边形的什么点，就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.图 15解:如图 15 所示，设点 O 是任一四边形 ABCD 内的一点，且 OA+ B+ C+ D=0,过 A 作AE OD，连 结 ED，则四边形 AEDO 为平行四边形，设 OE 与 AD 的交点为 M，过 B 作 BF OC，则四边形 BOCF 为平行四边形，设 OF 与 BC 的交点为 N，于是 M、N 分别是 AD、BC 的中点. OA+ B+ C+ D=0， A+ = + E= ， + = + F=O E+ F=0,即 与 的长度相等，方向相反.M、O、N 三点共线,即点 O 在 AD 与 BC 的中点连线上.同理，点 O 也在 AB 与 DC 的中点连线上.点 O 是四边形 ABCD 对边中点连线的交点，且该四边形可以是任意四边形.知能训练7课本本节练习.解答:1.直接在教科书上据原图作(此处从略).2.直接在教科书上据原图作(此处从略).3.(1)DA；(2) CB.点评:在向量的加法中要注意向量箭头的方向.4.(1)c；(2)f；(3)f；(4)g.点评:通过填空,使 学生得出首尾相接的几个向量的求和规律.
