1、- 1 -吉林省长春汽车经济技术开发区六中 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题 理考试说明： 1.考试时间为 120 分钟，满分 150 分，选择题涂卡。2.考试完毕交答题卡。第卷一、选择题（本题包括 12 个小题，每小题只有一个正确选项，每小题 5 分，共 60 分）1已知一组数据（1，2） ， （3，5） ， （6，8） ， （ ， ）的线性回归方程为 ，则的值为（ ） A -3 B -5 C -2 D -12抛物线 的焦点坐标是( )A (0,1) B (1,0) C (0,2) D (0, )3甲、乙两位射击运动员的 5 次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均
2、成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（ ）A B C D 4 “微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为 8 元，被随机分配为 1.72 元，1.83 元，2.28 元，1.55 元，0.62 元， 5 份供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 3 元的概率是 （ ）A B C D 5若 aR， 且 。则“a ”是“|a| ”的（ ）mR0mA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件6在区间0，4上随机取两个实数 x，y，使得 x+2y8 的概率为（ ）
3、- 2 -A B C D 7执行如右图所示的程序框图，输出的 的值是( )A 9 B 10 C 11 D 128已知椭圆 的面积公式为 ，某同学通过下面的随机模拟实验估计 的值过椭圆 的左右焦点 分别作与 轴垂直的直线与椭圆 交于 四点，随机在椭圆 内撒 粒豆子，设落入四边形 内的豆子数为 ，则圆周率的值约为（ ）A B C D 9已知 , 为椭圆 的左右焦点，过原点 且倾斜角为 30的直线与椭圆 的一个交点为 ，若 , ，则椭圆 的方程为A B C D 10有下列四个命题：（1） “若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；（2） “面积相等的三角形全等”的否命题；（3） “若 ，则 有实数解”的逆
4、否命题；（4） “若 ，则 ”的逆否命题.其中真命题为（ ）A （ 1） （2） B （2） （3） C （4） D （1） （2）（3） （ ）， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为21-3半 径 之 比 为的 内 切 圆 半 径 与 外 接 圆若 0在 上 双 曲 线 上 ， 满 足的 左 右 焦 点 ， 点)0,(1分 别 是 双 曲 线,.21 212FP PFPbabyx - 3 -A B C D23121312设 1F， 是双曲线21xyCab：（ 0ab， ）的左，右焦点， O是坐标原点过2作 的一条渐近线的垂线，垂足为 P若 16FP，则 C的离心率为（ ）A B 3C2 D
5、5第卷二、填空题（本题包括 4 个小题，共 20 分）13已知某单位有 100 名职工，现要从中抽取 5 名职工，将全体职工随机按 1100 编号,并按编号顺序平均分成 5 组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码，若第 1 组抽出的号码 8号，则第 3 组被抽出职工的号码为_14将一颗骰子连续抛掷 2 次，则向上的点数之和为 6 的概率为 _.15已知命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 双曲线的离心率 ，若“ ”为假命题， “ ”为真命题，则 的取值范围是_16椭圆 与双曲线 在第一象限内有交点 ，双曲线左、221(5)0xyttt2169xyA右焦点分别是 ， ，点 是椭圆上任意一点，
6、则 面积最大值是12,F012AP12PF_三、简答题（本题包括 6 个小题，共 70 分）17(满分 10 分) （1）点 在以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程；（2）已知双曲线 C 经过点（1，1） ，它的一条渐近线方程为 y= 3x，求双曲线 C 的标准方程。18(满分 12 分) 已知 a， b， c 分别是 ABC 内角 A， B， C 的对边，sin 2B2sin Asin C.(1)若 a b，求 cos B; (2)若 B90，且 a ， 求 ABC 的面积219(满分 12 分) 如图，在三棱柱 ABC 中， 平面 ABC， D， E， F， G 分别为 ，
7、1AB11A- 4 -AC， ， 的中点， AB=BC= ， AC= =2 1AC1B51A（1）求证： AC平面 BEF；（2）求二面角 BCDC1的余弦值；20(满分 12 分) 共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网 ”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注 某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值 百分制 按照， ， ， 分成 5 组，制成如图所示频率分直方图求图中 x 的值；求这组数据的平均数和中位数；
8、已知满意度评分值在 内的男生数与女生数的比为 ，若在满意度评分值为的人中随机抽取 2 人进行座谈，求恰有 1 名女生的概率21(满分 12 分) 设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差na ()nSNnb数列. 已知 ， ， ， .132435b462ab（1）求 和 的通项公式；nb（2）设数列 的前 n 项和为 ，S()nTN- 5 -（i）求 ； （ii）证明nT 221()()nnkkTbN22(满分 12 分) 已知斜率为 k的直线 l与椭圆2143xyC：交于 A， B两点，线段 AB的中点为 10Mm， （1）证明： ；（2）设 F为 C的右焦点， P为 C上
9、一点，且 FPAB0证明： F， P， 成等差数列，并求该数列的公差- 6 -答案一、单选题1已知一组数据（1，2） ， （3，5） ， （6，8） ， （ ， ）的线性回归方程为 ，则的值为（ ）A -3 B -5 C -2 D -1【答案】A2抛物线 的焦点坐标是( )A (0,1) B (1,0) C (0,2) D (0, )【答案】D3甲、乙两位射击运动员的 5 次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（ ）A B C D 【答案】D4 “微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中
10、，若所发红包的总金额为 8 元，被随机分配为 1.72 元，1.83 元，2.28 元，1.55 元，0.62 元， 5份供甲、乙等 5 人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 3 元的概率是 （ ）A B C D 【答案】D5若 aR， 且 。则“a ”是“|a| ”的（ ）mR0mA充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B- 7 -6在区间0，4上随机取两个实数 x，y，使得 x+2y8 的概率为（ ）A B C D 【答案】D7执行如右图所示的程序框图，输出的 的值是( )A 9 B 10 C 11 D 12【答案】B8已知椭圆 的
11、面积公式为 ，某同学通过下面的随机模拟实验估计 的值过椭圆 的左右焦点 分别作与 轴垂直的直线与椭圆 交于四点，随机在椭圆 内撒 粒豆子，设落入四边形 内的豆子数为 ，则圆周率的值约为（ ）A B C D 【答案】A- 8 -9已知 , 为椭圆 的左右焦点，过原点 且倾斜角为 30的直线与椭圆 的一个交点为 ，若 , ，则椭圆 的方程为A B C D 【答案】A10有下列四个命题：（1） “若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；（2） “面积相等的三角形全等”的否命题；（3） “若 ，则 有实数解”的逆否命题；（4） “若 ，则 ”的逆否命题.其中真命题为（ ）A （1） （2） B （2） （3
12、） C （4） D （1） （2） （3）【答案】D （ ）， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为21-3半 径 之 比 为的 内 切 圆 半 径 与 外 接 圆若 0在 上 双 曲 线 上 ， 满 足的 左 右 焦 点 ， 点)0,(分 别 是 双 曲 线,.21 212FP PFPbabyax A B C D31312设 12， 是双曲线21xyCab：（ 0ab， ）的左，右焦点， O是坐标原点过F作 的一条渐近线的垂线，垂足为 P若 16FP，则 C的离心率为A 2B 3C2 D 5【答案】B三、填空题13已知某单位有 100 名职工，现要从中抽取 5 名职工，将全体职工随机按 110
13、0 编号,并按编号顺序平均分成 5 组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码，若第 1 组抽出的号码 8号，则第 3 组被抽出职工的号码为_;【答案】48- 9 -14将一颗骰子连续抛掷 2 次，则向上的点数之和为 6 的概率为 _.【答案】15已知命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，命题 双曲线 的离心率 ，若“ ”为假命题， “ ”为真命题，则 的取值范围是_【答案】16若椭圆 与双曲线 在第一象限内有交点 ，且双曲221(5)0xyttt2169xyA线左、右焦点分别是 ， ，点 是椭圆上任意一点，则 面积的12,F012AP12PF最大值是_【答案】 253二、解答题17 （1）点 在以
14、原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程；（2）已知双曲线 经过点 ，它渐近线方程为 ，求双曲线 的标准方程。【答案】解：（1） 或 ；（2）【解析】（1）设抛物线方程为 或 （2 分）将点 A（2，-4）代入解得方程为： 或 （5 分）（2）解析：设双曲线的方程为 ，将点 代入可得 。故答案为 。 （10 分）18已知 a， b， c 分别是 ABC 内角 A， B， C 的对边，sin 2B2sin Asin C.(1)若 a b，求 cos B; (2)若 B90，且 a ， 求 ABC 的面积2- 10 -解：(1)由题设及正弦定理可得 b22 ac.又 a b，所以可得 b
15、2 c， a2 c.由余弦定理可得 cos B .a2 c2 b22ac 14(2)由(1)知 b22 ac.因为 B90，所以由勾股定理得 a2 c2 b2.故 a2 c22 ac，得 c a ，2所以 ABC 的面积为 1.19.如图，在三棱柱 ABC 中， 平面 ABC， D， E， F， G 分别为 ，1ABC11AAC， ， 的中点， AB=BC= ， AC= =2 1AC151A（）求证： AC平面 BEF；（）求二面角 BCDC1的余弦值；解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1中， CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1为矩形又 E， F 分别为 AC， A1C1的中点， AC
16、 EF AB=BC AC BE， AC平面 BEF（）由（I）知 AC EF， AC BE， EF CC1又 CC1平面 ABC， EF平面 ABC BE 平面 ABC， EF BE- 11 -如图建立空间直角坐标系 E-xyz由题意得 B（0，2，0） ， C（-1，0，0） ， D（1，0，1） ， F（0，0，2） ， G（0，2，1） ，=(1)()CDurur， ， ， ， ，设平面 BCD 的法向量为 ，abc， ，n ， ，0CBrun20令 a=2，则 b=-1， c=-4，平面 BCD 的法向量 ，(214)， ，n又平面 CDC1的法向量为 ，=0EBur， ， 21cos
17、|EBurrn由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为 2120共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网 ”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注 某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值 百分制 按照 ， ， 分成 5 组，制成如图所示频率分直方图- 12 -求图中 x 的值；求这组数据的平均数和中位数；已知满意度评分值在 内的男生数与女生数的比为 ，若在满意度评分值为的人中随机
18、抽取 2 人进行座谈，求恰有 1 名女生的概率【答案】 （1） ；（2）平均数为 ，中位数为 ；（3） 【解析】由 ， 解得 这组数据的平均数为 中位数设为 ，则 ，解得 满意度评分值在 内有 人，其中男生 3 人，女生 2 人记为 ,记“满意度评分值为 的人中随机抽取 2 人进行座谈，恰有 1 名女生”为事件 A通过列举知总基本事件个数为 10 个， A 包含的基本事件个数为 6 个，利用古典概型概率公式可知 .- 13 -(18)(本小题满分 13 分)设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列. 已知na ()nSNnb， ， ， .132435ab462ab（I）求
19、 和 的通项公式；n（II）设数列 的前 n 项和为 ，S()nTN（i）求 ；nT（ii）证明 .221()()nkkb解：（I）解：设等比数列 的公比为 q.由 可得 .na132,a20q因为 ，可得 ，故 .0q2n设等差数列 的公差为 d，由 ，可得 由 ，nb435b14.d5462ab可得 从而 故 136,1,.n所以，数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为na12na.n（II） （i）解：由（I） ，有 ，故nnS.1112(1)(2) 2nnnkk nT （ii）证明：因为，1 1212()(2)1)()k kkkk+b 所以， .324321221( () nnnkk
20、Tb20 （12 分）- 14 -已知斜率为 k的直线 l与椭圆2143xyC：交于 A， B两点，线段 AB的中点为10Mm，（1）证明： 12k；（2）设 F为 C的右焦点， P为 C上一点，且 FPAB0证明： FA， P，B成等差数列，并求该数列的公差解：（1）设 12(,)(,)AyxB，则221,143yxy.两式相减，并由 12k得 1122043yxk.由题设知 1212,xym，于是 34k.由题设得 302m，故 1.（2）由题意得 (,)F，设 3(,)Pxy，则312(1,)(0,xy.由（1）及题设得 32(),yxxm.又点 P 在 C 上，所以 4m，从而 (1,)P， 3|2F.于是 22211111|()()3()4xFAxxy.同理 2|B.- 15 -所以 12|4()3FABx.故 2|P，即 |,|FAPB成等差数列.设该数列的公差为 d，则 1 12212|()4Bxxx.将 34m代入得 1k.所以 l 的方程为 74yx，代入 C 的方程，并整理得 21740x.故 1212,8x，代入解得 31|8d.所以该数列的公差为 3或 2.
