1、- 1 -内蒙古包头市第四中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理第 I 卷（选择题）一、选择题（每题 5 分共 60 分每小题只有一个正确选项）1已知空间向量 ，且 ，则 （ ）)1,3(),013(xbaabxA B. C. D. 32已知 为空间两两垂直的单位向量，且 ，则 ( ) ijk、 、 2,2ijkijk53abA15 B5 C3 D13 设 为正整数, ，经计算得n1().2fnn观察上述结果，可推测出一般结论( )7(2)4,8,(6),(32),f ffA1fnB2fC2nfD以上都不对4如上图，第 个图形是由正 边形“扩展”而来， （ ） ，则在第 个图
2、形中n,31n共有（ ）个顶点.A B C D)2(1n)3(2n2nn5设函数 axfm的导函数 1xf，则数列 *)()1Nf的前 n 项和是（ ） A 1nB 2nC nD 6如图所示的是函数 dcxbxf3)(的大致图象，则 21x等于 （ ）A 32 B 4 C8 D 6- 2 -7曲线 31yx在 点 4(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A 9 B 2 C D 238函数 xyln的单调递减区间是 （ ）A ),(1e B ),(1eC ),0(1e D ),(e9函数 xyl的最大值为（ ）A 1e B C 2e D 310一个物体的运动方程为 其中 的单位是米，
3、的单位是秒，那么物体在 秒1tsst 3末的瞬时速度是（ ）A 米/秒 B 米 /秒 C 米/秒 D 米/秒 765811 2(1cos)xd等于（ ）A B. 2 C. -2 D. +212如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体ABCO-A B C D ， A C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 ( )A. a B. a C a D. a2212- 3 -第 II 卷（非选择题）二、填空题（本题 4 道小题，每题 5 分共 20 分）13在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点 P 到平面 OAB
4、 的距离 d 等于 14已知 类比这些等式，若,.154,83,32（a，b 均为正实数） ，则 _.6ba15在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2=a2+b2设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两 垂直的三棱锥 OLMN，如果用 S1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么 你类比得到的结论是 16函数 5123xxy在0，3上的最大值和最小值分别是_. 三、解答题（本题 6 道小题，共 70 分）17 （本小题满分 12 分）已知空间向量 )2,0(,51),cos
5、2,1()cos,1(sin baba（1）求 及 的值；i,in（ 2）设函数 的最小正周期及 取得)(,(cos)2cos(5)( xfRxxf 求 )(xf最大值时 x 的值。18 （本题满分 12 分）- 4 -如图，正三棱柱 的所有棱长都为 2，1CBA为 中点，试用空间向量知识解下列问题：D1C（1）求证 面 ；D1（2）求二面角 的余弦值。BA19 （本题满分 12 分）已知函数 bxf)(的图像与函数 23)(2xg的图象相切，记 ).()(xgfxF（1）求实数 b 的值及函数 F（x）的极值（2）若关于 x 的方程 F（x）=k 恰有三个 不等的实数根，求实数 k 的取值范
6、围。20 （本题满分 12 分）已知函数32()fxabxc在23与 1x时都取得极值(1)求 ,ab的值与函数 ()f的单调区间(2)若对 1,2x，不等 式恒成立，求 c 的取值范围21（本题满分 12 分） 设函数 ()|1|,fxxaR（1）当 4a时，求不等式 5的解集；（2）若 ()fx对 R恒成立，求 的取值范围。22 （本题满分 10 分）设 a,b,c 均 为正数,且 a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca(2) .参考答案1C 2A. 3C 4B 5A； 6C; 7A； 8C；9A 10C 11D 12B132 14 15 165，-151- 5 -17 【解析】 （
7、1） 51ba 2 分cosin 251i21 4 分4sin联立，解得： 6 分53cos,sin（2） xxf 2)2co(5)(cosinssi43)2co(inx10 分4si4 11 分.)(Txf的 最 小 正 周 期当 ,24)(,242maxfk时此时 )(,8Zx18【解析】取 BC 中点 O，连 AO， 为正三角形，ABC ，在正三棱柱 中，BCA1平面 ABC 平面 , 平面 ，1D取 中点为 ,以 O 为原点， , , 的方向为 ， 轴的正方向，建立空间1 B1OA,xyz直角坐标系，则 .)0,21()30()20()()0( BB- 6 -,)32,1(),012(
8、),32,1( BADAB , 。 04 ， , 面 。6 分 111D1（2）设平面 的法向量为 , 。AD)(zyxn)0,2(),3,(1AA， ， ， ，令 ，1,n012zzxy31得 为平面 的一个法向量，由（1）知 面 ，),03( 1BD1 为平面 的法向量，1ABD1，4623,cos1nAB二面角 的余弦值为。12 分 119极大值 ，极小值 0，（0， ）42727【解析】 （1）依题意，令 ),(xgf，得 1,31x故 分或解 得令故 分即故 有 唯 一 实 数 解即依 题 意 方 程或 可 得将 切 点 坐 标 代 入 函 数 的 图 象 的 切 点 为的 图 像
9、与 函 数函 数 4.351,0)( )(83 224)2)(1,042 0(:)()(2 232xxFxxxbbgfxf列表如下： x),()1,35(1 ),1()F+ 0 0 +(x 极大值 274 极小值 0 从上表可知 1,35) x在处 取 得 极 大 值在 处取得极小值 0 - 7 -6 分（2）由（1）可知函数 .)(大 致 图 象 如 下 图 所 示xFy作 函数 ky的图象，当 )(xFy 的图象与函数 k的图象有三个交点时，关于 x 的方程 恰 有 三 个 )274,0(:.k结 合 图 形 可 知不 等 的 实 数 根12 分20 【解析】 （1） 322(),()3f
10、xabxcfxab由 24()039f， (1)0f得 1,2 (32xx，函数 ()fx的单调区间如下表：,)2,3(1,)()fx0 0 极大值 极小值 所以函数 ()fx的递增区间是 2(,)3与 (1,),递减区间是 2(,1)3；（2） 321xc，当 x时， 7fc为极大值，而 ()f，则 ()2fc为最大值，要使 2(),x恒成立，则只需要 2cf，得 1,2或21 （1） 0x或 5（2） 3a或 5【解析】 （1）当 4a时，不等式 ()fx为 541x，所以 25x 或 135 或 425，解得 0或 4 分- 8 -故不等式 ()5fx的解集为 0x或 5 5 分（2）因为 1(1)1axa（当 x时等号成立） ， 8 分所以 min()fxa 由题意得 4， 解得 3或 5a 10 分22【解析】(1)由 得 .由题设得 ,即 .所以 3(ab+bc+ca)1,即 .(2)因为 +b2a, +c2b， +a2c,故 +(a+b+c)2(a+b+c),即a+b+c，所以 .
