1、- 1 -内蒙古包头市第四中学 2017-2018 学年高二数学上学期期末考试试题 理本试卷分为选择题和非选择题两部分。总分 150 分，考试时间 120 分钟。 第卷 选择题（共 60 分）一、 选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1命题“ ,Rx使得 012x”的否定是（ ） A ,均有 B Rx,均有 012xC x使得 2x D ,均有 2与向量 平行的一个向量的坐标是（ ）(1,3)aA （ ，1，1） B （1，3，2） C （ ， ，1）D （ ，3，2 ）233下列说法中正确的是（ ）A.一个命题的逆命题
2、为真，则它的逆否命题一定为真B.“ab ”与“ cb ”不等价C.“ 20 ，则 a， 全为 0”的逆否命题是“若 ab， 全不为 0，则 20ab ”D.一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真4已知命题 p： xR， 20；命题 q： xR， x，则下列说法中正确的是（ ）A.命题 q是假命题 B.命题 p是真命题C.命题 ()p是真命题 D.命题 ()q是假命题5设 为实数，则“ 是 ”的（ ）,ab0ab1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6设抛物线 上一点 到 轴的距离是 4，则点 到该抛物线焦点的距离是28yxPyPA12 B8 C6
3、D4 - 2 -7若抛 物 线 的 焦 点 与 双 曲 线 的 右 焦 点 重 合 ， 则 =（ ）2ypx0214xypA B8 C4 D248已知空间四边形 中， ，点 在 上，且 ，AD,OaBbcMOA2MA为 的中点，则 =（ ）NCMNA Bcba213 c213C D ba9若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 ，焦距为 ，则椭圆的标准方程为186（ ）A B C 或 1692yx1625yx1625yx125yxD以上都不对10已知 是椭圆 162x+ 9y=1 的两个焦点，经过点 的直线交椭圆于点 ，若12,F2F,AB，则 等于( )5ABBA11 B10 C9 D
4、811设 是椭圆 上一点， 是椭圆的两个焦点，且P215xy12,F120,PF（ ）12F则 的 面 积 是A. B. C. D.508912双曲线 与抛物线 有一个公共焦点 ，双曲线上过点12bxay,abyx2F且垂直于实轴的弦长为 ，则双曲线的离心率等于（ ）F3A. B. C. D.22233第卷 非选择题 （共 90 分）二、 填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上）- 3 -13双曲线 12yx的顶点到其渐近线的距离等于 14.已知 的三个顶点 ， ， ，则 边上的中线长为 ABC3,2A4,37B0,51CB15.已知向量 是两两垂直的单位
5、向量，且 ， ，则123,e 23ae132be6ab16若椭圆 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 1932yx三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分 10 分）给定两个命题， ：对任意实数 都有 恒成立；Px012ax： 如果 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围Q280aQ18.（本题满分 12 分）设双曲线与椭圆 + =1 有公共的焦点，且与椭圆相交，它们的交27x36y点中一个交点的纵坐标是 4，求双曲线的标准方程.19.(本题满分 12 分)如图，四边形 是正方形， 平面 ， ，ABCDEABCD/EA
6、P， 、 、 分别为 、 、 的中点2ADPEFGHP HGFEDCBA20.（本题满分 12 分）已知焦距为 的双曲线的焦点在 轴上，且过点 .4x(2,3)P（）求该双曲线的标准方程；（）若直线 经过该双曲线的右焦点且斜率为 1，求直线 被双曲线截得的弦长.mm21.（本题满分 12 分）已知椭圆 E： 的离心率 ，并且经过2 0xyab3 2e定点 .1 (3,)2P（）求椭圆 E 的方程；（）求证： 平面 ；/FGPE（）求平面 与平面 所成锐二面HBC角的大小.- 4 -（）是否存在直线 ，使直线与椭圆交于 两点，且满足 ,若存在yxm,ABOAB求 的值，若不存在请说明理由m22.
7、（本题满分 12 分）已知过抛物线 的焦20ypx- 5 -高二年级理科数学试题答案三、 选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D C A C B D C A A B二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 2 143 15.3 16. 082yx三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分）17解：命题 ： 恒成立P012ax当 时，不等式恒成立，满足题意 =0a当 时， ，解得 240a4a 0命题 ： 解得 Q2812 为真命题， 为假命题PPQ ， 有且只有一个为真
8、 或 10a2418解：因为椭圆 + =1 的焦点为 F1（0，-3） ，F 2（0，3）27x36y故可设双曲线方程为 (a0，b0)，且 c=3，a 2+b2=92a由题设可知双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为 4，将 y=4 代入椭圆方程得双曲线与椭圆的交点为( ，4)，(- ，4)1515因为点( ，4)或(- ，4)在双曲线上，所以有 2165ab可知 a2=4, b2=5- 6 -故所求方程为： - =124y5x19.解：（1）证明： F， G分别为 PB， E的中点， /FGPE 又 FG平面 PDE， 平面 ， /平面 D （2） A平面 BC， /AD平面 AC,平面 ， ,
9、.四边形 是正方形， .以 D为原点,分别以直线 ,AP为 x轴, y轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 1E，2ADPE,(0,)， (0)， (2,0)A， (,2)C， (,0)B， (2,1)E，,B， ,.F， G， H分别为 PB， E， 的中点，(1,)， 1(2,)， (0,)，0， 2，设 11(,)nxyz为平面 FGH的一个法向量，则 10nGFHA,即 102xz，令 1y，得 1(0,)n. - 7 -设 22(,)nxyz为平面 PBC的一个法向量,则, 20nPBC即 220z，令 21z，得 2(0,1). 所以 1122cos,nA. 所以平面 FGH
10、与平面 PBC所成锐二面角的大小为 4（或 5）20解：(1)设双曲线方程为 （a,b0）21xyab左右焦点 F1、F 2的坐标分别为（-2，0） （2，0）则|PF 1|PF 2|=2=2 ，所以 =1 又 c=2,b= 3所以方程为 21yx（2）直线 m 方程为 y=x2 联立双曲线及直线方程消 y 得 2x2 +4x-7=0 设两交点 ， 韦达定理得：x 1+x2=-2, x1x2=-3.5 1(,)Ax(,)B由弦长公式得|AB|=6 21解:（1）由题意： 且 ，又32cea214b22cab解得： 即：椭圆 E 的方程为:24,1ab 21xy（2）设 12(,)(,)AxyB
11、（*）222224()058404mxxmyx- 8 -所以212184,55mxx 22 212112184()()5myx245由 0OAB120y得2121244210(,), ,55mxyx又方程（*）要有两个不等实根， 22(8)(),mm 的值符合上面条件，所以 10522.解：(1)由题意知，直线 AB 的方程为 y2 2(xp2)与 y22 px 联立，消去 y 并整理，得 4x25 px p20| AB| x1 x2 p p9，解得 p45p4抛物线方程为 y28 x(2)由于 p4，则 4x25 px p20 为 4x220 x160，即 x25 x40.解得 x11， x24于是 y12 ， y242 2从而 A(1，2 )， B(4,4 )2 2设 C 的坐标为( x3， y3)，则( x3， y3)(1，2 ) (4,4 )OC 2 2(4 1,4 2 )2 2又 y 8 x3 (4 2 )28(4 1)23 2 2即(2 1) 24 1解得 0 或 2
