1、1课时训练(二十) 直角三角形与勾股定理|夯实基础|1.若 ABC 的三边 a,b,c 满足( a+b)2-c2=2ab,则此三角形是 ( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形2.如图 20-7,公路 AC,BC 互相垂直,公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开,若测得 AC 的长为 0.5 km,BC 的长为 1.2 km,则M,C 两点间的距离为( )图 20-7A.0.5 km B.0.65 km C.0.9 km D.1.2 km3.如图 20-8,在 ABC 中, ACB=90,AC=8,AB=10,DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E,则 DE 的
2、长是 ( )图 20-8A.6 B.5C.4 D.34.2018青岛 如图 20-9,已知三角形纸片 ABC,AB=AC, BAC=90,E 为 AB 的中点 .沿过点 E 的直线折叠,使点 B与点 A 重合,折痕 EF 交 BC 于点 F.已知 EF= ,则 BC 的长是 ( )322图 20-9A. B.3322 2C.3 D.3 35.2018泸州 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲 .如图 20-10 所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形 .设直角三角形较长直角边长为 a,较短直角边长为 b,若 ab=8,大正方形的
3、面积为 25,则小正方形的边长为 ( )图 20-10A.9 B.6 C.4 D.36.2017黄石 如图 20-11,在 ABC 中, E 为 BC 边的中点, CD AB,AB=2,AC=1,DE= ,则 CDE+ ACD 等于( )32图 20-11A.60 B.75C.90 D.1057.2017大连 如图 20-12,在 ABC 中, ACB=90,CD AB,垂足为 D,E 是 AB 的中点, CD=DE=a,则 AB 的长为( )图 20-123A.2a B.2 a2C.3a D. a4338.2017包头 如图 20-13,在 Rt ABC 中, ACB=90,CD AB,垂足
4、为 D,AF 平分 CAB,交 CD 于点 E,交 CB 于点F.若 AC=3,AB=5,则 CE 的长为 ( )图 20-13A. B.32 43C. D.53 859.如图 20-14,将 Rt ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定的角度得到 Rt ADE,点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上 .若 AC= , B=60,则 CD 的长为 ( )3图 20-14A.0.5 B.1.5C. D.1210.2017安顺 三角形三边长分别为 3,4,5,那么最长边上的中线长等于 . 11.已知直角三角形的两条直角边长为 6,8,那么斜边上的中线长是 ,斜边上的高是 . 12.在 ABC
5、中, C=90, B=30,AB=12,AC=6,则 BC= . 13.如图 20-15,在 ABC 中, CD AB 于点 D,E 是 AC 的中点 .若 AD=6,DE=5,则 CD 的长等于 . 4图 20-1514.如图 20-16,已知 Rt ABE 中, A=90, B=60,BE=10,D 是线段 AE 上的一动点,过点 D 作 CD 交 BE 于点 C,并使得 CDE=30,则 CD 长度的取值范围是 . 图 20-1615.2017徐州 如图 20-17,已知 OB=1,以 OB 为直角边作等腰直角三角形 A1BO,再以 OA1为直角边作等腰直角三角形 A2A1O,如此下去,
6、则线段 OAn的长度为 . 图 20-1716.2018包头 如图 20-18,在 Rt ACB 中, ACB=90,AC=BC,D 是 AB 上的一个动点(不与点 A,B 重合),连接 CD,将CD 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CE,连接 DE,DE 与 AC 相交于点 F,连接 AE.下列结论:图 20-18 ACE BCD;若 BCD=25,则 AED=65; DE2=2FCAC;5若 AB=3 ,AD=2BD,则 AF= .253其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 17.2015柳州 如图 20-19,在 ABC 中, D 为 AC 边的中点,且 DB BC,BC=4,
7、CD=5.(1)求 DB 的长;(2)在 ABC 中,求 BC 边上的高 .图 20-1918.2017徐州 如图 20-20,已知 AC BC,垂足为 C,AC=4,BC=3 ,将线段 AC 绕点 A 按逆时针方向旋转 60,得3到线段 AD,连接 DC,DB.(1)线段 DC= ; (2)求线段 DB 的长 .图 20-206|拓展提升|19.如果将长为 6 cm,宽为 5 cm 的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是 ( )A.8 cm B.5 cm2C.5.5 cm D.1 cm20.2017淄博 如图 20-21,在 Rt ABC 中, ABC=90,AB=6,BC=8, B
8、AC, ACB 的平分线相交于点 E,过点 E作 EF BC 交 AC 于点 F,则 EF 的长为 ( )图 20-217A. B. C. D.52 83 103 15421.2015青山区一模 如图 20-22, ABC 绕点 A 顺时针旋转 45得到 ABC.若 BAC=90,AB=AC= ,则图2中阴影部分的面积等于 . 图 20-2222.2018青山区二模 如图 20-23,在 Rt ABC 中, A=90,AB=AC,BC= +1,M,N 分别是边 BC,AB 上的动点,沿2MN 所在的直线折叠 B,使点 B 的对应点 B始终落在边 AC 上,若 MBC 为直角三角形,则 BM 的
9、长为 . 图 20-2323.如图 20-24,在 ABC 中, C=90,AC=BC,D 是 AB 边的中点, E,F 分别是 AC,BC 边上的点,且 DE DF.(1)求证: DE=DF;(2)若 AE=12,BF=5,求 S DEF.图 20-248参考答案1.B2.B3.D 解析 本题考查了直角三角形中勾股定理的应用及垂直平分线的性质,先求 BC=6,再得到 DE BC,且 DE 等于 BC的一半,即 6=3.故选 D.124.B5.D6.C 解析 因为 E 为 BC 边的中点, CD AB,DE= ,所以 BE=CE=DE= ,即 CDE= DCE,BC= .在 ABC 中,32
10、32 3AC2+BC2=1+( )2=4=AB2,故 CDE+ ACD= DCE+ ACD=90.故选 C.37.B 解析 因为 CD AB,CD=DE=a,所以 CE= = = a,又 ABC 中, ACB=90,点 E 是 AB 的中点,CD2+DE2 a2+a2 2所以 AE=BE=CE,所以 AB=2CE=2 a.故选 B.28.A 解析 在 Rt ABC 中, AC=3,AB=5,由勾股定理得 BC=4. AF 平分 CAB, CAF= BAF. ACB=90,CD AB, CAF+ CFA=90, BAF+ AED=90, CFA= AED,又 AED= CEF, CFA= CEF
11、, CE=CF.过点 F 作 FG AB 于点 G,由 AF 平分 CAB, ACB=90,得 CF=FG. S ABC= ACBC=6,S12ABC=S ACF+S ABF= ACCF+ ABFG= (3+5)CF=4CF,4 CF=6, CF= , CE= .12 12 12 32 329.D10.2.5 解析 根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 .3 2+42=25=52,该三角形是直角三角形, 5=2.5.1211.5 4.8 12.6 313.8 解析 在 ABC 中, CD AB 于点 D,E 是 AC 的中点, DE=5
12、, DE= AC=5,12 AC=10.9在 Rt ACD 中, ADC=90,AD=6,AC=10,根据勾股定理,得 CD= = =8.AC2-AD2 102-6214.0CD5 解析 根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半可知,当点 D 运动至 A 点时, CD 最长,即为 5.15.( )n 解析 在 Rt A1OB 中, OA1= = ,OA2= = =( )2, OAn=( )n.2OBsin452 OA1sin45222 2 216. 解析 由题意易得 BCD= ACE,由“边角边”证明 ACE BCD,故正确; ACE BCD, CAE= CBD=45. BCD=25,
13、ACE= BCD=25, AED= AEC- CED=(180-25-45)-45=65,故正确; CAE= CED=45, ACE= ACE, ACE ECF, = ,即 EC2=ACFC,ACECECFC在 Rt DCE 中, DE2=2EC2=2FCAC,故正确;过点 D 作 DM BC 于点 M, AB=3 ,AD=2BD,2 BD= ,AC=BC=3,2 DM=BM=1, CM=3-1=2, DC=CE= ,5由可知 DE2=2FCAC,( CE)2=2FCAC,( )2=23FC,2 2 510 FC= ,53 AF=3- = ,故错误 .534317.解:(1) DB BC,BC
14、=4,CD=5, DB= =3.52-42(2)如图,过点 A 作 AE CB,交 CB 的延长线于点 E. DB BC,AE BC, AE DB. D 为 AC 边的中点, BD= AE,12 AE=6,即 BC 边上的高为 6.18.解:(1)4(2) AC=AD, CAD=60, CAD 是等边三角形, CD=AC=4, ACD=60.过点 D 作 DE BC 于点 E. AC BC, ACD=60, BCD=30.11在 Rt CDE 中, CD=4, BCD=30, DE= CD=2,CE=2 ,12 3 BE= ,3在 Rt DEB 中,由勾股定理得 DB= .719.A20.C
15、解析 如图,过点 E 作 EM AB,EN BC,EH AC,垂足分别为 M,N,H,由题意,易得 Rt ABC 的内切圆半径为 2,所以 EM=EH=2.又易证四边形 EMBN 为正方形,所以 BN=2,得到 CN=CH=6.设 EF=x,由 CE 平分 ACB,EF BC,得到 CEF 为等腰三角形,故 EF=FC=x,所以 HF=6-x.在 Rt EFH 中,由勾股定理,得 EH2+HF2=EF2,2 2+(6-x)2=x2,解得 x= .10321. -1222. 或 12+1223.解:(1)证明:连接 CD. ACB=90,AC=BC, A= B=45. D 是 AB 边的中点,12 CD AB, ACD= BCD=45,CD=AD=BD, ACD= B. EDF=90, EDC+ FDC=90. FDB+ FDC= BDC=90, EDC= FDB, EDC FDB(ASA), DE=DF.(2)由(1)中 EDC FDB 可得DE=DF,CE=BF=5.由(1)知 AD=CD.又 ADE+ EDC=90, EDC+ CDF=90, ADE= CDF, AED CFD, CF=AE=12, EF=13, DE=DF= ,1322 S DEF= DEDF= .12 1694
