1、1课时训练(十九) 全等三角形和等腰三角形|夯实基础|1.如图 19-21,已知 AE=CF, AFD= CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 ADF CBE 的是 ( )图 19-21A. A= C B.AD=CBC.BE=DF D.AD BC2.2016怀化 等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 8 cm,则它的周长为 ( )A.16 cmB.17 cmC.20 cmD.16 cm 或 20 cm3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40,则这个等腰三角形的顶角为 ( )A.50 B.130C.50或 130 D.40或 1404.2016荆门 如图 19-22,在 ABC
2、 中, AB=AC,AD 是 ABC 的角平分线,已知 AB=5,AD=3,则 BC 的长为 ( )图 19-22A.5 B.6C.8 D.1025.2017南充 如图 19-23,等边三角形 OAB 的边长为 2,则点 B 的坐标为 ( )图 19-23A.(1,1) B.( ,1)3C.( , ) D.(1, )3 3 36.2018湖州 如图 19-24,AD,CE 分别是 ABC 的中线和角平分线 .若 AB=AC, CAD=20,则 ACE 的度数是( )图 19-24A.20 B.35C.40 D.707.2016德州 如图 19-25,在 ABC 中, B=55, C=30,分别
3、以点 A 和点 C 为圆心,大于 AC 的长为半径画弧,两12弧相交于点 M,N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则 BAD 的度数为 ( )图 19-25A.65 B.60 C.55 D.458.如图 19-26,在 ABC 中, BD 平分 ABC,BC 的垂直平分线交 BC 于点 E,交 BD 于点 F,连接 CF.若 A=60, ABD=24,则 ACF 的度数为 ( )3图 19-26A.48 B.36 C.30 D.249.2016泰安 如图 19-27,在 PAB 中, PA=PB,M,N,K 分别是边 PA,PB,AB 上的点,且 AM=BK,BN=AK.若 MK
4、N=44,则 P 的度数为 ( )图 19-27A.44 B.66C.88 D.9210.2018包头 如图 19-28,在 ABC 中, AB=AC, ADE 的顶点 D,E 分别在 BC,AC 上,且 DAE=90,AD=AE.若 C+ BAC=145,则 EDC 的度数为 ( )图 19-28A.17.5 B.12.5C.12 D.1011.2016南充 如图 19-29,在 Rt ABC 中, A=30,BC=1,D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,则 DE 的长为 ( )图 19-294A.1 B.2C. D.1+3 312.2015湖州 如图 19-30,已知在 ABC 中,
5、 CD 是 AB 边上的高, BE 平分 ABC,交 CD 于点 E.若 BC=5,DE=2,则BCE 的面积等于 ( )图 19-30A.10 B.7 C.5 D.413.2018淄博 如图 19-31,在 Rt ABC 中, CM 平分 ACB 交 AB 于点 M,过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N,且 MN 平分 AMC.若 AN=1,则 BC 的长为 ( )图 19-31A.4 B.6 C.4 D.8314.2016淮安 如图 19-32, AOB=120,OP 平分 AOB,且 OP=2.若点 M,N 分别在 OA,OB 上,且 PMN 为等边三角形,则满足上述条件的 PM
6、N 有 ( )图 19-32A.1 个 B.2 个C.3 个 D.3 个以上15.如图 19-33,AD 是 ABC 的角平分线, DE,DF 分别是 ABD 和 ACD 的高,有下面四个结论:5图 19-33 OA=OD; AD EF;当 BAC=90时,四边形 AEDF 是正方形; AE2+DF2=AF2+DE2.其中正确的是 ( )A. B.C. D.16.2018金华 如图 19-34, ABC 的两条高 AD,BE 相交于点 F,请添加一个条件,使得 ADC BEC(不添加其他字母及辅助线),你添加的条件是 . 图 19-3417.2018成都 等腰三角形的一个内角为 50,则它的顶
7、角的度数为 . 18.2017北京 如图 19-35,在 ABC 中, M,N 分别为 AC,BC 的中点 .若 S CMN=1,则 S 四边形 ABNM= . 图 19-3519.2016长沙 如图 19-36,在 ABC 中, AC=8,BC=5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,则 BCE6的周长为 . 图 19-3620.如图 19-37,在 ABC 中, AB=AC,BC=5,BD 为 AC 边上的中线,且将 ABC 的周长分成两部分,这两部分的差为 3,则腰长为 . 图 19-3721.如图 19-38,矩形 ABCD 的周长为 16,点 E,F
8、分别在边 AD,AB 上, EF=EC, FEC=90.若 DE=2,则 AE= . 图 19-3822.2017扬州 如图 19-39,把等边三角形 ABC 沿着 DE 折叠,使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处,且 DP BC.若BP=4 cm,则 EC= cm. 图 19-3923.2012包头 如图 19-40,将 ABC 纸片的一角沿 DE 向下翻折,使点 A 落在 BC 边上的点 A处,且 DE BC.下列结论: AED= C; = ; BC=2DE; S 四边形 ADAE=S DBA+S EAC.其中正确的有 个 . ADDBAEEC7图 19-4024.2017宁夏 如图
9、 19-41,在边长为 2 的等边三角形 ABC 中, P 是 BC 边上任意一点,过点 P 分别作PM AB,PN AC,垂足分别为 M,N.(1)求证:不论点 P 在 BC 边的何处,都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高;(2)当 BP 的长为何值时,四边形 AMPN 的面积最大,并求出最大值 .图 19-4125.2017莱芜 已知 ABC 与 DEC 是两个大小不同的等腰直角三角形 .(1)如图 19-42所示,连接 AE,BD.试判断线段 AE 和 BD 的数量和位置关系,并说明理由;8(2)如图 19-42所示,连接 BD,将线段 BD 绕点 D 顺时针旋转 9
10、0到 DF,连接 AF,试判断线段 DE 和 AF 的数量和位置关系,并说明理由 .图 19-42|拓展提升|26.如图 19-43,在 ABC 中, AB=AC,AD,BE 分别为 BAC 和 ABC 的平分线,交点为 O.若 OD=a, ABC 的周长为 b,则 ABC 的面积为 ( )图 19-439A. ab B.ab C.2ab D.12 b2a27.如图 19-44,在 ABC 中, CA=CB, ACB=90,以 AB 的中点 D 为圆心,作圆心角为 90的扇形 DEF,点 C 恰在 上,EF设 BDF= (0 90),当 由小到大变化时,图中阴影部分的面积 ( )图 19-44
11、A.由小变大 B.由大变小C.不变 D.先由小变大,后由大变小28.2018包头一模 如图 19-45,等边三角形 ABC 的边长为 9 cm,点 M,N 同时从点 A 出发,均以 1 cm/s 的速度分别沿 AB,AC 向点 B,C 运动,设运动时间为 t s,以 MN 为边,在等边三角形 ABC 内部作正方形 MNPQ,当点 P 到 BC 边的距离等于(3 -3)cm 时, t= . 3图 19-4529.2018包头样题三 如图 19-46,O 是等边三角形 ABC 内一点, OA=3,OB=4,OC=5,将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60得到线段 BO,连接 AO,下列
12、结论: BOA 可以由 BOC 绕点 B 逆时针旋转 60得到;点 O 与 O的距离为 4; AOB=150; S 四边形 AOBO=6+3 ; S AOC+S AOB=6+ .其中正确的是 .(填写所有正确结论的394 3序号) 10图 19-46参考答案1.B 2.C 3.C 4.C5.D 解析 过点 B 作 BC OA 于点 C,则 OC=1,BC= = = ,点 B 的坐标为(1, ).故选 D.OB2-OC2 22-12 3 36.B 解析 AB=AC,AD 是 ABC 的中线, AD BC. CAD=20, ACD=70. CE 是 ACB 的平分线, ACE=35.故选 B.7.
13、A8.A 解析 BD 平分 ABC, ABD= DBC. EF 是 BC 的垂直平分线, FB=FC, FCB= DBC. ABD=24, FCB= DBC= ABD=24.又 A=60, ABC+ ACB=120,即 ABD+ DBC+ ACF+ FCB=120, ACF=120242424 =48.故选 A.9.D10.D 解析 由 C+ BAC=145得 B=35.由 AB=AC 知 B= C=35.由等腰直角三角形的性质可得 AED=45.又 AED= EDC+ C, EDC=45-35=10.11.A1112.C 解析 过点 E 作 EK BC 于点 K.因为 BE 平分 ABC,C
14、D AB,所以 EK=ED=2,所以 BCE 的面积 = BCEK= 52=5.故选 C.12 1213.B 解析 MN BC, ANM= ACB, NMC= MCB. CM 平分 ACB, MCB= MCN= ACB, NMC= NCM, MN=NC. MN 平分12 AMC, AMN= NMC= AMC, AMN= ACB= ANM. A=90, AMN=30. AN=1, MN=2, NC=2, AC=3.12 12 12 B= AMN=30, BC=2AC=6,故选 B.14.D15.D16.答案不唯一,如 CA=CB,CE=CD 等 解析 已知两角对应相等,可考虑全等三角形的判定方法
15、 ASA 或 AAS.故答案不唯一,如 CA=CB,CE=CD 等 .17.50或 8018.3 解析 由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解 .由 M,N 分别为 AC,BC 的中点,得= = , = 2= . S CMN=1, S ABC=4S CMN=4, S 四边形 ABNM=3.CMACCNBC12 S CMNS ABCCMAC 1419.13 20.8 21.322.(2+2 ) 解析 根据“直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”可求得 BD=8,再由勾股定理求得3DP=4 .根据折叠的性质可以得到 DPE= A=60,DP=DA=4 ,易得 EPC=30, PEC=
16、90,所以 EC= PC= (8+4 -3 312 12 34)=2+2 .323.4 解析 由折叠的性质可得 AD=AD,AE=AE. DE BC, AED= C,故正确 . DE BC, = , = ,ADDBAEEC ADDBAEEC12故正确 . DE BC, ADE= B, ADE= BAD.由折叠的性质,得 ADE= ADE, B= BAD, BD= AD=AD,即 D 是 AB 的中点 .同理 E 是 AC 的中点, DE 是 ABC 的中位线, BC=2DE,故正确 . DE BC, ADE ABC, = 2= ,S ADES ABCDEBC 14 S ADE=S ADE= S
17、 ABC,14 S 四边形 ADAE=S DBA+S EAC= S ABC,12故正确 .故答案为 4.24.解析 (1)连接 AP,将 ABC 分割成两个三角形,结合等边三角形的三条边相等,利用面积公式,即可求证结论;(2)设 BP 的长为 x,利用面积的和差关系,将四边形 AMPN 的面积 S 用含 x 的代数式表示,将几何问题转换成代数式求最值问题,在此即是 S 关于 x 的二次函数,运用配方法求出最值 .解:(1)证明:连接 AP. ABC 是等边三角形, AB=BC=AC.设 BC 边上的高为 h. PM AB,PN AC,13 S ABC=S ABP+S ACP= ABPM+ AC
18、PN= BC(PM+PN).12 12 12又 S ABC= BCh, PM+PN=h,12即不论点 P 在 BC 边的何处,都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高 .(2)设 BP=x.在 Rt BMP 中, BMP=90, B=60,BP=x, BM=BPcos60= x,MP=BPsin60= x,12 32 S BMP= BMMP= x x= x2.12 12 12 32 38 PC=2-x,同理可得: S PNC= (2-x)2.38又 S ABC= 22= ,34 3 S 四边形 AMPN=S ABC-S BMP-S PNC= - x2- (2-x)2=- (x-
19、1)2+ ,338 38 34 334当 BP=1 时,四边形 AMPN 的面积最大,是 .33425.解析 (1)通过证明 Rt ACERt BCD 即可解决;(2)通过证明 EBD ADF 即可得解 .解:(1) AE=BD,AE BD.理由:由题意可知, CA=CB,CE=CD, ACE= BCD=90,Rt ACERt BCD, AE=BD.如图,延长 DB 交 AE 于点 M.14Rt ACERt BCD, AEC= BDC.又 AEC+ EAC=90, BDC+ EAC=90,在 AMD 中, AMD=180-90=90, AE BD.(2)DE=AF,DE AF.理由:如图,设
20、ED 与 AF 相交于点 N,由题意可知, BE=AD. EBD= C+ BDC=90+ BDC, ADF= BDF+ BDC=90+ BDC, EBD= ADF.又 DB=FD, EBD ADF, DE=AF, E= FAD. E=45, FAD=45.又 EDC=45, AND=90, DE AF.1526.A27.C 解析 如图,设 DE 与 AC 交于点 N,DF 与 BC 交于点 M,连接 DC. CA=CB,D 为 AB 的中点, DC AB. ACB=90, BD=DC=AD, B= DCN=45. BDM+ MDC=90, MDC+ CDN=90, BDM= CDN, BDM CDN.同理,AND CMD, S 四边形 MDNC=S BDM+S ADN= S ABC,图中阴影部分的面积 S=S 扇形 DEF-S 四边形 MDNC=S 扇形 DEF- S ABC.旋转过程12 12中扇形 DEF 和 ABC 的面积不会改变,阴影部分的面积大小不变 .故选 C.28.329.
