1、1提分专练(四) 二次函数小综合|类型 1| 二次函数与方程(不等式)的综合1.已知二次函数 y=x2-2mx+m2+3(m是常数) .(1)求证:不论 m为何值,该函数的图象与 x轴没有公共点;(2)把该函数的图象沿 y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与 x轴只有一个公共点?2|类型 2| 二次函数与直线的综合2.2018北京 在平面直角坐标系 xOy中,直线 y=4x+4与 x轴、 y轴分别交于点 A,B,抛物线 y=ax2+bx-3a经过点 A,将点 B向右平移 5个单位长度,得到点 C.(1)求点 C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段 BC恰有一个公共点,
2、结合函数图象,求 a的取值范围 .|类型 3| 二次函数与三角形的综合3.2018黄冈 已知直线 l:y=kx+1与抛物线 y=x2-4x.(1)求证:直线 l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线 l与该抛物线的两交点为 A,B,O为原点,当 k=-2时,求 OAB的面积 .34.2017齐齐哈尔 如图 T4-1,已知抛物线 y=-x2+bx+c与 x轴交于点 A(-1,0)和点 B(3,0),与 y轴交于点 C,连接 BC交抛物线的对称轴于点 E,D是抛物线的顶点 .(1)求此抛物线的解析式;(2)直接写出点 C和点 D的坐标;(3)若点 P在第一象限内的抛物线上,且 S ABP=4S CO
3、E,求 P点坐标 .注:二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象的顶点坐标为 - , .24-24图 T4-14|类型 4| 二次函数与平行四边形的综合5.如图 T4-2,已知点 A的坐标为( -2,0),直线 y=- x+3与 x轴、 y轴分别交于点 B和点 C,连接 AC,顶点为 D的抛物线34y=ax2+bx+c过 A,B,C三点 .(1)请直接写出 B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点 D的坐标;(2)设抛物线的对称轴 DE交线段 BC于点 E,P为第一象限内抛物线上一点,过点 P作 x轴的垂线,交线段 BC于点 F,若四边形 DEFP为平行四边形,求点 P的坐标 .图 T4-2
4、5|类型 5| 二次函数与相似三角形的综合6.在直角坐标系 xOy中, A(0,2),B(-1,0),将 ABO经过旋转、平移等变化后得到如图 T4-3所示的 BCD.(1)求经过 A,B,C三点的抛物线的解析式;(2)连接 AC,点 P是位于线段 BC上方的抛物线上一动点,若直线 PC将 ABC的面积分成 1 3两部分,求此时点 P的坐标 .图 T4-367参考答案1.解:(1)证明:证法一:( -2m)2-4(m2+3)=-120,该函数的图象开口向上 .又 y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+33,该函数的图象在 x轴的上方 .不论 m为何值,该函数的图象与 x轴没有公共点 .(2
5、)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3,把函数 y=(x-m)2+3的图象沿 y轴向下平移 3个单位长度后,得到函数 y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是( m,0),因此这个函数的图象与 x轴只有一个公共点 .把该函数的图象沿 y轴向下平移 3个单位长度后,得到的函数的图象与 x轴只有一个公共点 .2.解:(1)直线 y=4x+4与 x轴、 y轴分别交于点 A,B, A(-1,0),B(0,4).将点 B向右平移 5个单位长度,得到点 C, C(0+5,4),即 C(5,4).(2)抛物线 y=ax2+bx-3a经过点 A, a-b-3a=0. b=-2a.抛物线的对称轴为直线 x
6、=- =- =1,即对称轴为直线 x=1.2 -22(3)易知抛物线过点( -1,0),(3,0).若 a0,如图所示,易知抛物线过点(5,12 a),若抛物线与线段 BC恰有一个公共点,满足 12a4 即可,可知 a的取值范8围是 a .13若 a4,此时 a0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线 l与抛物线总有两个交点 .(2)如图,连接 AO,BO,联立两个函数,得 x2-4x=-2x+1,解得 x1=1- ,x2=1+ .设直线 l与 y轴交于点 C,在一次函数 y=-2 22x+1中,令 x=0,得 y=1,所以 C(0,1),OC=1.所以 S ABO=S AOC+S
7、BOC= OC|xA|+ OC|xB|= OC|xA-xB|= 12 = .12 12 12 12 2 294.解:(1)抛物线 y=-x2+bx+c与 x轴交于点 A(-1,0)和点 B(3,0), 解得-1-+=0,-9+3+=0, =2,=3,抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3.(2) x=0时, y=3,点 C的坐标为(0,3) . y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,点 D的坐标为(1,4) .(3)设点 P(x,y),其中 x0,y0, S COE= 31= ,S ABP= 4y=2y,12 32 12S ABP=4S COE,2 y=4 , y
8、=3.32 -x2+2x+3=3,解得 x=2(x=0舍去) .点 P的坐标为(2,3) .5.解:(1) B(4,0),C(0,3).抛物线的解析式为 y=- x2+ x+3.38 34顶点 D的坐标为 1, .27810(2)把 x=1代入 y=- x+3,得 y= ,34 94 DE= - = .278 9498点 P为第一象限内抛物线上一点,可设点 P的坐标为 m,- m2+ m+3 ,38 34则点 F的坐标为 m,- m+3 .34若四边形 DEFP为平行四边形,则 PF=DE, - m2+ m+3- - m+3 = ,38 34 34 98解得 m1=3,m2=1(不合题意,舍去
9、) .当点 P的坐标为 3, 时,四边形 DEFP为平行四边形 .1586.解:(1) A(0,2),B(-1,0),将 ABO经过旋转、平移等变化得到 BCD, BD=OA=2,CD=OB=1, BDC= AOB=90. C(1,1).设经过 A,B,C三点的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,则有 解得: a=- ,b= ,c=2.-+=0,+=1,=2, 32 12抛物线解析式为 y=- x2+ x+2.32 12(2)如图所示,设直线 PC与 AB交于点 E.11直线 PC将 ABC的面积分成 1 3两部分, = 或 =3,13 过 E作 EF OB于点 F,则 EF OA. BEF BAO, = = .当 = 时, = = ,13 2 341 EF= ,BF= , E - , .32 34 1432设直线 PC的解析式为 y=mx+n,则可求得其解析式为 y=- x+ ,25 75 - x2+ x+2=- x+ ,32 12 25 75 x1=- ,x2=1(舍去), P1 - , .25 253925当 =3时,同理可得 P2 - , . 672349
