1、1提分专练(六) 以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题|类型 1| 以矩形为背景的问题1.2018连云港 如图 T6-1,矩形 ABCD中, E是 AD的中点,延长 CE,BA交于点 F,连接 AC,DF.(1)求证:四边形 ACDF是平行四边形;(2)当 CF平分 BCD时,写出 BC与 CD的数量关系,并说明理由 .图 T6-122.2017日照 如图 T6-2,已知 BA=AE=DC,AD=EC,CE AE,垂足为 E.(1)求证: DCA EAC;(2)只需添加一个条件,即 ,可使四边形 ABCD为矩形 .请加以证明 . 图 T6-23.已知:如图 T6-3,在 ABC中,
2、AB=AC,AD是 BC边上的中线, AE BC,CE AE,垂足为 E.(1)求证: ABD CAE.(2)连接 DE,线段 DE与 AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论 .图 T6-33|类型 2| 以菱形为背景的问题4.2017北京 如图 T6-4,在四边形 ABCD中, BD为一条对角线, AD BC,AD=2BC, ABD=90,E为 AD的中点,连接 BE.(1)求证:四边形 BCDE为菱形;(2)连接 AC,若 AC平分 BAD,BC=1,求 AC的长 .图 T6-445.已知:如图 T6-5,在 ABCD中, E,F分别是边 AD,BC上的点,且 AE=CF,直线 E
3、F分别交 BA的延长线、 DC的延长线于点G,H,交 BD于点 O.(1)求证: ABE CDF.(2)连接 DG,若 DG=BG,则四边形 BEDF是什么特殊四边形?请说明理由 .图 T6-5|类型 3| 以正方形为背景的问题6.2018盐城 在正方形 ABCD中,对角线 BD所在的直线上有两点 E,F,满足 BE=DF,连接 AE,AF,CE,CF,如图 T6-6所示 .(1)求证: ABE ADF;(2)试判断四边形 AECF的形状,并说明理由 .5图 T6-67.如图 T6-7,已知正方形 ABCD中, BC=3,点 E,F分别是 CB,CD延长线上的点, DF=BE,连接 AE,AF
4、,过点 A作 AH ED于点 H.(1)求证: ADF ABE;(2)若 BE=1,求 tan AED的值 .图 T6-768.2018聊城 如图 T6-8,正方形 ABCD中, E是 BC上的一点,连接 AE,过点 B作 BH AE,垂足为点 H,延长 BH交 CD于点 F,连接 AF.(1)求证: AE=BF;(2)若正方形边长是 5,BE=2,求 AF的长 .图 T6-87参考答案1.解:(1)证明:四边形 ABCD是矩形, AB CD, FAE= CDE, E是 AD的中点, AE=DE,又 FEA= CED, FAE CDE, CD=FA,又 CD AF,四边形 ACDF是平行四边形
5、 .(2)BC=2CD.理由: CF平分 BCD, DCE=45, CDE=90, CDE是等腰直角三角形, CD=DE, E是 AD的中点, AD=2CD, AD=BC, BC=2CD.2.解:(1)证明:在 DCA和 EAC中, =,=,=, DCA EAC(SSS).(2)添加 AD=BC,可使四边形 ABCD为矩形(添加的条件不唯一) .证明如下: AB=DC,AD=BC,四边形 ABCD是平行四边形, CE AE,8 E=90,由(1)得: DCA EAC, D= E=90,四边形 ABCD为矩形 .3.解:(1)证明: AB=AC,AD是 BC边上的中线, AD BC,BD=CD.
6、 AE BC,CE AE, DCE=90,四边形 ADCE是矩形, AD=CE.在 Rt ABD与 Rt CAE中,=,=,Rt ABDRt CAE.(2)DE AB,DE=AB.证明如下:如图所示,由(1)知四边形 ADCE是矩形, AE=CD=BD,又 AE BD,四边形 ABDE是平行四边形,9 DE AB,DE=AB.4.解:(1)证明: E为 AD的中点, AD=2BC, BC=ED, AD BC,四边形 BCDE是平行四边形, ABD=90,AE=DE, BE=ED,四边形 BCDE是菱形 .(2) AD BC,AC平分 BAD, BAC= DAC= BCA, BA=BC=1, A
7、D=2BC=2,sin ADB= ,12 ADB=30, DAC=30, ADC=60. ACD=90.在 Rt ACD中, AD=2,CD=1, AC= .35.解:(1)证明:四边形 ABCD是平行四边形, AB=CD, BAE= DCF,在 ABE和 CDF中, =,=,=, ABE CDF(SAS).(2)四边形 BEDF是菱形 .理由如下:四边形 ABCD是平行四边形, AD BC,AD=BC,10 AE=CF, DE=BF,四边形 BEDF是平行四边形, OB=OD, DG=BG, EF BD,四边形 BEDF是菱形 .6.解:(1)证明:四边形 ABCD是正方形, ABD=45,
8、 ADB=45,AB=AD. ABE= ADF=135.又 BE=DF, ABE ADF(SAS).(2)四边形 AECF是菱形 .理由:连接 AC交 BD于点 O,图略 .则 AC BD,OA=OC,OB=OD.又 BE=DF, OE=OF,四边形 AECF是菱形 .7.解:(1)证明:正方形 ABCD中,AD=AB, ADC= ABC=90, ADF= ABE=90.在 ADF与 ABE中, AD=AB, ADF= ABE,DF=BE, ADF ABE.(2)在 Rt ABE中, AB=BC=3,BE=1, AE= ,ED= =5,10 2+211 S AED= ADBA= EDAH,12 12 AH= = =1.8.335在 Rt AHE中, EH= =2.6,2-2tan AED= = = .1.82.6 9138.解:(1)证明:四边形 ABCD是正方形, AB=BC, ABC= C=90, BH AE,垂足为点 H, BAE+ ABH=90, CBF+ ABH=90, BAE= CBF.在 ABE和 BCF中, =90,=,=, ABE BCF(ASA), AE=BF.(2) ABE BCF, CF=BE=2,正方形的边长为 5, AD=CD=5, DF=CD-CF=5-2=3.在 Rt ADF中,AF= = = .2+2 52+32 341
